一道2021年八省联考题解法赏析

李昌成

(新疆乌鲁木齐市第八中学 830002)

一、题目呈现

题目(2021年八省联考第7题)已知抛物线y2=2px上三点A(2,2)，B，C，直线AB，AC是圆(x-2)2+y2=1的切线，则直线BC的方程为( ).

A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0

二、总体把握

此题以直线和圆相切，直线和抛物线相交为背景，以直线方程为出口，综合考查有关圆锥曲线的技能技巧，考查学生的能力和素养.考生普遍反映难做,因此，我们有必要厘清其本质，探究其解法，为学生做好示范引领工作，使其在同类问题上不在犯难.仔细研究发现，本题内涵丰富，思路开阔，解法较多，是一个复习的好素材.

三、解法探究

视角1 直接求出B，C的坐标，用两点式求解方程.

①

②

③

④

⑤

⑥

故选B.

评析此解法思路简单，容易上手，但是过程较繁，运算量偏大，基础不扎实，计算不过关的学生难以得出正确答案.因此，我们必须另辟蹊径，避开大运算.

视角2 利用抛物线的平均性质作答.

以下同解法1.

评析抛物线的平均性质将问题转化为解方程，题目难度与运算量都降低了,不失为一种好解法，当然需要学生平时积累此知识，学习不能仅限于教材，正所谓知识在书中，题目在书外.

视角3 利用同构原理，设而不求.

整理,得2x-(yB+2)y+2yB=0.

进而3×2xB+12yB+8=0.

所以3xB+6yB+4=0.

⑦

同理3xC+6yC+4=0.

⑧

于是点B，C都在直线3x+6y+4=0上.故选B.

评析本解法依托同构原理，运算简洁.需要学生对同构原理有一定的认识，合理得出方程⑦⑧，利用解析几何的基本原理得解.

视角4 利用抛物线的平均性质和同构法作答.

由点斜式方程得直线BC的方程为3x+6y+4=0.选B.

评析本解法中斜率的处理办法避开了繁杂的代数运算，紧紧依托同构思想整体处理，思路清晰，是处理定值问题的通解通法.

视角5 利用极限思想求斜率，依据排除法得解.

解法5 结合解法1，由对称性知，直线AD与抛物线y2=2x的另一个交点为T(2,-2).事实上，当已知圆的圆心不变，半径趋于0时，两条切线趋于一条线，即AD.

评析本解法利用运动的观点，极限的思想，将问题等价转化为导数问题，非常巧妙，将几何与代数有机联系在一起，值得关注.对于打开学生思路大有裨益.

视角6 利用已知结论作答.

以下同解法4.

评析解析几何中有很多的结论，这些结论经常是专家命题的背景，在日常学习中我们都要做有心人，主动积累，灵活运用，使学习达到一定的高度，提高解题的速度和准确率.所谓秒杀，都是日积月累的迸发.

四、两个思考

1.本题中点A的横坐标不是2，问题又会怎样呢？

2.若把本问题中的抛物线换成适当的椭圆或双曲线，结果又怎样？

五、两个认识

1.关于深度学习认识

深度学习是一种与浅层学习相对应的学习方式，它本质是为学生的发展服务.我们知道，事实性知识、概念性知识、程序性知识、元认知知识，与之对应的学习方式是接受与记忆、理解与探究、操作与体验、反思与感悟等.无论是哪种学习方式，只要能引起学生在认知、情感、技能等方面发生系统的变化，学科核心素养和关键能力得到整体提升，就是深度学习.我们的教学追求知识习得后学生的学科能力、学科思想、学科经验以及核心素养得到改变，产生积极的学习方式改变、价值观念改变、行为方式乃至整个生活方式的改变.本题貌似很难，有人采取了放弃的态度，而有人进行了深度研究，结果是明显的，久而久之学生的差异就出现了，因此我们倡导真实的深度学习.

2.关于一题多解再认识

一题多解有利于激发学生的学习兴趣；有利于促进学生的学习积极性和主动性；可以充分提高学生学习的参与度；有利于学生对知识本质的掌握；还有利于开阔学生的思维，提高思维的品质，培养学生的高阶思维.因此，我们在教学中，应当提倡一题多解，搭建适当的研究平台，把握提升学生素养的机会.