关于x的方程ax=logax的根的表示

甘志国

(北京丰台二中 100071)

有很多文献给出了指数函数与其反函数图象公共点个数即关于x的方程Γ:ax=logax的根的个数的结论，比如文献[1]及其文末列出的参考文献.

当a已知时，由下文的定理可给出方程Γ的根的表示，在表示方法中除一步或两步用到了求单调函数的反函数外，其他步骤均是乘方或与常数的四则运算.

进而可得欲证结论成立.

①

②

③

因而ρ(x)在(0,1)上单调递增且函数值的取值范围是(0,e-e).

进而可得欲证结论成立.

引理4 若f(x)单调递增移浞春莊-1(x)，则f(x)=f-1(x)⟺f(x)=x.

证明用反证法可证，这里略去过程.

证明(1)当0

再由引理3可得结论(1)成立.

(2)当a>1时，y=ax是增函数，再由引理4,1可得结论(3)(4)(5)均成立.

注在定理(3)中，可得x31=τ-1(a)(此时τ-1(x)单调递增珁=τ(x)(1e)的反函数).因此，当a已知时，定理给出了方程Γ的根的表示，在表示方法中除一步或两步用到了求单调函数的反函数外，其他步骤均是乘方或与常数的四则运算.

推论2 若a∈[e-e,1)∪(1,+∞)，则ax=logax⟺ax=x.