同构换元法求解含指对数混合式的问题

杨苍洲

(福建省泉州第五中学 362000)

有一类混合指对数式的函数导数压轴试题，常常可以通过指数与对数的互相转化，实现局部同构，并对同构部分的式子进行换元，从而化繁为简，并结合重要不等式进行求解，我们把此方法称为“局部同构换元法”.要掌握这种解题方法:

有了上述的两个基础知识，我们就可以应用“局部同构换元法”解决求函数的最值、不等式的证明、恒成立问题求参数等问题.

一、同构换元法求函数最值

利用重要的不等式进行放缩，是求函数最值的一种常见方法.因此，含有复杂的指对数函数问题，可以通过局部同构换元，并结合重要不等式进行放缩，把函数放缩至某常数，则该常数可能为函数的最值.此时，需注意在函数的定义域内是否存在对应的变量使得函数取得该最值.

A.a=bB.a

C.a>bD.a,b的大小关系不确定

解法1f(x)=xex-lnx-x-2=elnx+x-(lnx+x)-2，易知et-t≥1，当且仅当t=0时，等号成立.

所以elnx+x-(lnx+x)-2≥1-2 =-1.

所以当且仅当lnx+x=0时，f(x)取得最小值-1，即a=-1.

所以ex-lnx-2-(x-lnx-2)-2≥1-2 =-1.

所以当且仅当x-lnx-2=0时，g(x)取得最小值-1，即b=-1.

因此a=b，故选A.

解法2f(x)=xex-lnx-x-2=xex-ln(xex)-2，易知t-lnt≥1，当且仅当t=1时，等号成立.

所以xex-ln(xex)-2≥1-2=-1.

故当且仅当xex=1时，f(x)取得最小值-1，即a=-1.

因此a=b，故选A.

二、同构换元法证明不等式

证明含有指对数式的不等式，可以尝试先对原不等式进行转化，从而构造出相同的式子，并进行换元，然后构造关于新元的函数，并求解含新元函数的最值，从而实现不等式的证明.

例2已知函数h(x)=(ax-1)·ex，a∈R.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若a=1，求证：当x>-1时，h(x)≥exln(x+1)-x-1.

解法1 (1)略；

(2)不等式(x-1)·ex≥exln(x+1)-x-1，等价于(x+1)·e-x-ln(x+1)+x-1≥0，等价于eln(x+1)-x-[ln(x+1)-x]-1≥0.

易知et-t-1≥0.

令t=ln(x+1)-x，故上式成立，不等式得证.

解法2 (1)略；

(2)不等式(x-1)·ex≥exln(x+1)-x-1，等价于(x+1)·e-x-ln(x+1)+x-1≥0，等价于(x+1)·e-x-ln[(x+1)·e-x]-1≥0.

易知t-lnt-1≥0.

令t=(x+1)·e-x，故上式成立，不等式得证.

三、同构换元法求参数范围

在含参不等式的恒成立问题中，若能构造出几个熟悉不等式的形式，那么就可以猜测参数的临界位置及其范围，并对其进行证明.如此可使得解题目标、方向更加明确.

A.(-∞,1-e] B.(-∞,-3]

C.(-∞,-2] D.(-∞,2-e2]

ex·x-3-ln(ex·xa)-1≥0.

(*)

易知t-lnt-1≥0，当且仅当t=1时，等号成立.

(1)当a≤-3时，由x∈(1,+∞)知，xa≤x-3，ex·xa≤ex·x-3.

所以ex·x-3-ln(ex·xa)-1≥ex·x-3-ln(ex·x-3)-1≥0，故(*)恒成立，满足题意.

(2)当a>-3时，由x∈(1,+∞)知，xa>x-3，ex·xa>ex·x-3.

所以ex·x-3-ln(ex·xa)-1

又因为当x=x0时，ex·x-3-ln(ex·x-3)-1=0，此时ex·x-3-ln(ex·xa)-1<0，不满足题意.

综上，a≤-3.

(*)

易知et-t-1≥0，当且仅当t=1时，等号成立.

令t=x-3lnx，则ex-3lnx-(x-3lnx)-1≥0，当且仅当x=x0(其中x0满足x0-3lnx0=1)时，等号成立.

(1)当a≤-3时，由x∈(1,+∞)知，lnx>0，alnx≤-3lnx，x-3lnx≥x+alnx.

所以ex-3lnx-(x+alnx)-1≥ex-3lnx-(x-3lnx)-1≥0，故(*)恒成立，满足题意.

(2)当a>-3时，由x∈(1,+∞)知，lnx>0，alnx>-3lnx，x-3lnx

所以ex-3lnx-(x+alnx)-1

又因为当x=x0时，ex-3lnx-(x-3lnx)-1=0，此时ex-3lnx-(x+alnx)-1<0，不满足题意.

综上，a≤-3.

由上述三例可知，此方法的应用：一在于如何进行适当的恒等变形，从而得到相同的式子；二在于心中要有几个重要的不等式及其变式.此方法的应用一般都可以有两条途径，即，若能利用不等式t-lnt-1≥0解题，也应该能利用不等式et-t-1≥0解题.