基于ARMA-GARCH模型的医疗卫生指数股票对数收益率序列分析

郑骏骏

由于新冠肺炎疫情影响，选取上证380医药卫生指数进行时间序列模型实证分析。首先，对指数序列进行描述性统计分析，建立ARMA模型，然后通过模型检验发现模型的残差存在条件异方差性，再进行GARCH模型的建模，随后通过AIC值选择得到ARMA（2，3）-GARCH（1，1）模型，最后通过检验得到充分的模型确定其有效性，得出上证380医药卫生指数的日对数收益率序列存在波动聚集性和ARMA-GARCH也使用于板块指数分析的结论。

一、引言

伴随着我国科技水平的不断发展，我国医疗质量水平持续改善，医疗技术能力不断提升，人们对医疗服务的需求也越来越高。同时，新型冠状病毒肺炎疫情之下，广大股市投资者对于医疗板块的股票关注度有所提升。股票市场的波动性一直以来都是统计学的热点研究领域，基于近期的医疗板块股票的大幅波动和关注度的提升，并且以往的学者在这方面的研究涉及较少。因此，本文选取医疗板块指数的股价数据作为研究对象是具有一定价值的。

在金融市场中存在着诸多不确定性，股票收益的波动幅度也就是风险是随着时间的变化而变化的。Engle（1982）提出了首个波动率建模的系统框架，即一种自回归条件异方差模型（ARCH），该模型中Engle用误差项表示为前一时刻的函数，由此得到当前时间的误差项条件方差。Bollerslev（1986）在ARCH模型的基础上进行了改进，提出了一个推广形式的ARCH模型，被称为GARCH模型。本文基于ARMA-GARCH模型研究医药板块股票的对数收益率序列的波动率。

二、模型简介

（一）ARMA（p，q）模型

自回归滑动平均（ARMA）模型是由统计学家BOX和Jenkins在20世纪70年代提出的一种较高精度的时间序列模型。其模型可表示为：

其中是{Yt}是收益率序列，{εt}是白噪声序列，即是一个具有有限均值和有限方差的独立同分布随机变量序列，p和q是非负整数，分别表示自回归项和滑动平均项的项数。ARMA模型是AR模型和MA模型的结合，其中包含AR项和MA项。

（二）ARCH效应及GARCH（m，s）模型

ARCH模型的基本思想是基于先前的信息集合下，某一时刻的噪声服从一个分布，它的方差是一个随时间变化的量（即为条件异方差），扰动项本身是序列不相关的，但是序列是相互不独立的。假设at服从ARCH（m）模型，若at满足下式

其中{t}是均值为0、方差为1的独立同分布随机变量序列，其中a0>0，对i>0有ai≥0。GARCH模型是ARCH模型的推广形式，对于一个对数收益率序列rt，令at=rt-μt为t时刻的新息，假设at服从GARCH（m，s）模型，若at满足下式：

其中{t}是均值为0、方差为1的独立同分布随机变量序列，这里a0>0，ai≥0（αi+βi）<1。αi和βi分别表示ARCH项和GARCH项的参数。

三、实证分析过程

（一）数据选取与预处理

本文选取上证380医药卫生指数作为研究对象并运用R统计软件进行数据分析，选取2015年5月27日至2020年5月26日的日收盘价，共计1218个样本数据，样本数据来源于CSMAR数据库。本文对上证380医药卫生指数日收盘价先取对数再作差分处理，即计算对数收益率序列。对数收益率序列计算公式如下：

其中，Pt表示t时刻的指数收盘价，表Pt-1示时刻的指数收盘价，rt表示日对数收益率。

（二）描述性统计分析

根据预处理之后的日对数收益率序列作描述性统计，统计结果见表1：

根据表1可以看出，通过JB检验统计量对对数收益率序列的正态性检验的结果显示，p值<2.2e-16远小于0.05，即表示对数收益率序列不服从正态分布。

从图1可以看出，上证380医药卫生指数日对数收益率序列具有明显的非堆成性并且在0附近波动，且存在簇集特征，即大的波动伴随着大的波动，小的波动伴随着小的波动。

（三）单位根检验

在建立ARMA模型前需要对序列的平稳性进行检验，本文采用单位根检验法（ADF检验）检验对数收益率序列的平稳性。

H0：日对数收益率序列存在单位根（即序列非平稳）

H1：日对数收益率序列不存在单位根

经过计算ADF检验统计量的p值为0.01小于显著水平α=0.05，故拒绝原假设，序列不存在单位根，即为平稳时间序列。

（四）自相关性和偏相关性检验

本文采用R统计软件的系统自动定阶函数，根据AIC值来进行模型选择。最终，拟合得到ARMA（2，3）模型，结果如表2所示。

由表2的结果可知，模型的系数均是显著的，然后进行模型的诊断，对残差序列进行Box.test检验，得到的p值为0.3318，大于显著性水平α=0.05，故不拒绝原假设，说明模型是充分的。

（五）ARCH效应检验

从上文中绘制的日对数收益率序列的时序图中发现序列可能存在异方差性。于是，考慮建立波动率模型。首先要进行ARCH效应的检验，本文采用Ljung-Box统计量Q（m）对序列{}进行检验。

H0：序列不存在ARCH效应

H1：序列存在ARCH效应

通过R统计软件的检验，Q（m）统计量的p值<2.2e-16，小于显著性水平α=0.05，故拒绝上证380医药卫生日对数收益率序列不存在ARCH效应原假设，可以继续建立波动率方程。

（六）条件方差GARCH族模型

由上面的检验得知，上证380医药卫生日对数收益率序列具备GARCH效应，假设残差序列服从t分布，这里只讨论模型的低阶的情况，分别建立低阶GARCH模型，根据AIC值选择最优模型。建模的过程具体如下：