余国胜
[摘 要] 用四种不同的方法给出了一道代数题的解法,能够帮助学生进行发散性思维,加深对所学知识的理解和运用,达到触类旁通、举一反三的目的.
[关 键 词] 上三角形矩阵;逆矩阵;一题多解
[中图分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603(2021)36-0158-02
本文讨论一道代数题:上三角形矩阵的逆矩阵仍为上三角形矩阵.运用四种不同的方法证明这样的结论,启发学生在寻找不同解法的过程中深化对书本知识的理解和认识.通过一题多解,可以提高学生对所学知识的领悟力,有效激发学生的发散性思维,提升综合解决问题的能力.具体来说:B=(bij)是上三角形矩阵,设C=(cij)是它的逆矩阵,则C是上三角形矩阵.
一、四种不同的证明
方法1.直接按定义求
考查BC=E的第j列的第j+1,j+2,...n个元素,则有
bj+1,1c1j+bj+1,2c2j+…+bj+1,jcjj+bj+1,j+1cj+1,j+bj+1,j+2cj+2,j+…+bj+1,ncnj=0,
bj+2,1c1j+bj+2,2c2j+…+bj+2,j+1cj+1,j+bj+2,j+2cj+2,j+…+bj+2,ncnj=0,
…
bn-1,1c1j+bn-1,2c2j+…+bn-1,n-1cn-1,j+bn-1,ncn,j=0,
bn1c1j+bn2c2j+…+bn,n-1cn-1,j+bnncn,j=0.
由于i>j时,bij=0,即bnj=…=bj+1,j=0.故有
bj+1,j+1cj+1,j+bj+1,j+2cj+2,j+…+bj+1,n-1cn-1,j+bj+1,ncnj=0,
bj+2,j+2cj+2,j+…+bj+2,n-1cn-1,j+bj+2,ncnj=0,
…
bn-1,n-1cn-1,j+bn-1,ncn,j=0,
bnncn,j=0.
B是可逆的上三角形矩阵,B=b11b22…bnn≠0.所以bii≠0,i=1,2,…,n.要证明C是上三角形矩阵,只需验证任意j
bn-1,n-1cn-1,j+bn-1,ncn,j=bn-1,n-1cn-1,j=0.
由bn-1,n-1≠0得cn-1,j=0.这样从后面式子到前面式子可依次推出
cnj=cn-1,j=…=cj+1,j=0.
所以对任意i>j,有cij=0,即C是上三角形矩阵,后面的三种方法都需要借助下面的引理:
引理:两个上三角形矩阵的乘积仍是上三角形矩阵.
证明:设B=(bij),C=(cij)均为上三角形矩阵,即当i>j时有bij=cij=0,令A=BC=(aij),证明当i>j时有aij=0.
aij=bi1c1j+bi2c2j+…+bi,i-1ci-1,j+biicij+…+bincnj.
它的前i-1项中有
bi1=bi2=…=bi,i-1=0.
而后面的项中有cij=…=cnj=0,因此它的每一项皆为零,故当i>j时有aij=0.
方法2.用分块运算和数学归纳法证明
对n作数学归纳法,n-1显然成立.设对于n-1阶上三角形矩阵的逆矩阵结论成立,对n阶上三角形矩阵B来证明它的逆也是上三角形的,将B写成如下的分块矩阵:
B=b11 β0 B1,
其中b11≠0,B1是n-1阶上三角形可逆矩阵,由归纳假设,B1-1仍是上三角形的.作如下乘积
b11-1 0 0 B1-1b11 β 0 B1=1 b11-1β0 En-1,
1 -b11-1β0 En-11 b11-1β0 En-1=1 00 En-1=En,
于是
B-1=1 -b11-1β0 En-1b11-1 0 0 B1-1.
上面兩个矩阵皆为上三角形矩阵,根据引理,B1-1仍是上三角形的.
方法3.用线性变换的思想
由于B是上三角形可逆矩阵,则b11≠0,则可以通过若干次初等列变换使得
b12=b13=…=b1n=0.
初等列变换相当于右乘了一个上三角形初等矩阵.此时所得矩阵b22≠0,则可以通过若干次初等列变换使得
b23=b24=…=b2n=0.
…
依次类推通过一系列初等列变换可以把A变为对角矩阵,最终变为单位矩阵,由引理,B-1仍是上三角形的.
方法4.用哈密顿-凯莱定理
设B是一个上三角形可逆矩阵,f(λ)=λE-B是B的特征多项式,则
f(B)=Bn-(b11+b22+…+bnn)Bn-1+…+bB+(-1)nBE=0.
即B(Bn-1-(b11+b22+…+bnn)Bn-2+…+bE)=(-1)n+1BE.
由于B≠0,再根据引理
B-1=(Bn-1-(b11+b22+…+bnn)Bn-2+…+bE).
二、结论
本文从定义、数学归纳法、线性变换和哈密顿-凯莱定理证明了上三角形矩阵的逆矩阵仍为上三角形矩阵.由此可见,掌握一题多解有助于线性代数的概念的理解和运用.因此,教师在线性代数教学中,应该有针对性地对学生进行一题多解的专项训练.
参考文献:
[1]王萼芳,石生明.高等代数(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2019.
[2]王萼芳,石生明.高等代数辅导与习题解答[M].北京:高等教育出版社,2007.
[3]高云峰,杨丽娟.线性代数[M].上海:同济大学出版社,2015.
[4]王侃民.线性代数[M].上海:同济大学出版社,2005.
◎编辑 鲁翠红