抓住数学概念本质 破解解析几何难题

贾龙春 王翠花

【摘 要】“圆锥曲线”是高中数学教学中的一大难点，学生感觉到最困难的地方一是“想不到”，即找不到解决问题的入手点;二是“消不掉”，即无法将要求的几何对象表示出来，由于含有多个变量，参数消不掉。本文通过列举实例，解决学生在圆锥曲线中遇到的问题，以期为广大教师提供参考。

【关键词】概念本质;解析几何;高中数学

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）22-0140-03

高中数学中的“圆锥曲线”的本质特征是用代数方法研究平面几何问题，研究的载体是曲线的方程，其基本思维特征是“根据题意画出图形—分析几何对象特征—将几何特征代数化—进行代数运算”。通过引导学生解决圆锥曲线问题，能够培养学生直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养，发挥数学学科的育人价值[1]。

1   抓住几何对象的几何特征，解决学生“想不到”的问题

在解决圆锥曲线问题的过程中，需要分析几何对象的几何特征。题目出现的主要几何对象可能是一个，也可能是两个或两个以上。如果只有一个几何对象，需要研究它的几何性质，通过抓住其几何性质，找到解决问题的突破口;如果有两个或两个以上的几何对象，需研究几何对象之间的位置关系，通过位置关系找到解决问题的突破口。这样就可以解决学生“想不到”的问题。

例1：（2020年高考海南卷第21题）已知椭圆C：（a>b>0）过点M（2，3），点A为其左顶点，且直线AM的斜率为。

（1）求椭圆C的方程;

（2）若点N为椭圆C上任意一点，求?AMN面积的最大值。

【分析】（1）要求C的方程，需要确定参数a，b的值。

方法1：由已知条件，椭圆C：（a>b>0）。过点M（2，3），将点M的坐标代入椭圆C：（a>b>0）的方程，得到一个关于a，b的等式;点A为椭圆C的左顶点，所以A点的坐标为（?a，0），由于直线AM的斜率为，根据斜率公式，再得到一个关于a，b的等式;两个等式联立方程组，求出a，b的值，得到椭圆C的方程。

方法2：根据已知条件，已知椭圆C：（a>b>0）过点M（2，3），点A为其左顶点，且的AM斜率为。可以直接求出直线AM的方程，利用直线方程可以直接求出它在x轴上的截距，从而得到a的值，把a的值代入椭圆方程，求出b的值。

（2）当点N为椭圆上任意一点，如何求?AMN面积的最大值？先根据题意画出椭圆C，再画出AM，通过图形可以看出，直线AM与椭圆C交于两个定点A，M，所以椭圆C的弦AM的长度是一个定值，即?AMN的一边是定值。只需要求出?AMN的一边AM上的高的最大值即可，即需要求出点N到直线AM距离的最大值。

方法1：过点N作平行于直线AM的直线，可以发现，在直线AM的上下方可以作出多条平行直线，?AMN的面积最大时，点在N直线并且当这条直线与椭圆C相切时，点N到直线AM的距离最大，并且最大值就是这两条平行线间的距离。

方法2：利用椭圆C的参数方程，设点N的坐标为（4cos θ，sin θ），求出椭圆C的弦AM的长是一个定值，表示出点N到直线AM的距离d，先求出d的最大值，再求?AMN面积的最大值。

【解答】（1）方法1：由题意可知，点A的坐标为

（?a，0），则

由①得，a=4，代入②得，=1，解得b2=12。

方法2：由题意可知直线AM的方程为：y?3=?（x?

2），即x?2y=?4。

当 y=0时，解得x=?4，所以a=4。

椭圆C：（a>b>0），过点M（2，3），可得=1，

解得b2=12，所以C的方程：=1。

（2）方法1：设与直线AM平行的直线方程为：x?2y=m，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时?AMN的面积取得最大值。

联立直线方程x?2y=m与椭圆方程=1，可得：3（m+2y）2+4y2=48。

化简可得：16y2+12my+3m2?48=0，所以?=144m2

?4×16（3m2?48）=0，即m2=64，解得m=±8。与AM距离比较远的直线方程：x?2y=8，直线AM方程为：x?2y=?4。

點N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d== ，由两点之间距离公式可得|AM|==。

所以?AMN的面积的最大值：=18。

方法2：由（1）可知，A点的坐标为（?4，0），M的坐标为（2，3），由两点之间距离公式可得|AM|==，直线AM的方程为：y?3=（x?2），即x?2y+4=0。

设点N的坐标为（4cos θ，sin θ），则点N到直线直线AM的距离为

d=

=

=

d的最大值为d== ，

所以?AMN面积的最大值：=18。

【反思】解决第一问求圆锥曲线的方程时，要注意观察应用题设中的每一个条件，明确直线、椭圆的条件，利用函数与方程的思想方法，通过列方程组、解方程组的方法，求出参数的值，得到方程。解决第二问时，需要先画出图形，分析几何对象的几何特征，抓住几何对象的几何特征是解决问题的入手点。同时，强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题。

2   明确主变元与次变元，解决学生“消不掉”的问题

在解决圆锥曲线问题的过程中，将几何特征代数化后，需要进行代数运算，往往会遇到多个变量参与运算的问题，增加了学生运算的难度，学生不知道如何将多变量的问题转化成少变量的问题，即不知道在运算过程中应消掉谁保留谁才能得出问题的结果。要解决这个问题，还需要明确问题中的变量分为主动点与次动点，在运算过程中，主动点的坐标就是主变元，次动点的坐标就是次动元。在实际运算过程中，通常消去次动元，保留主动元。这样学生在运算过程中，就有了明确的方向，就能够解决“消不掉”的问题。

例2：（2019年高考北京卷理科第18题）已知抛物线C：x2=?2py经过点（2，?1）。

（1）求抛物线C的方程及其准线方程;

（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线 y=?1分别交直线OM，ON于点A和点B。求证：以AB为直径的圆经过 y轴上的两个定点。

【分析】（1）如何求抛物线C的方程及其准线方程？根据题意，抛物线C：x2=?2py经过点（2，?1），所以点

（2，?1）的坐标满足抛物线的方程，将点（2，?1）的坐标代入方程x2=?2py，求出p的值，得到抛物线C的方程，再根据方程，求准线方程。

（2）如何证明以AB为直径的圆经过 y轴上的两个定点？需要求出该圆的方程，利用方程求出圆与 y轴的两个交点，且这两个交点的横坐标为0，纵坐标为常数即可。先画出本题的图形。画开口向下的抛物线C：x2=?2py，设抛物线的焦点为F，过点F作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，连结OM，ON，作直线 y=?1分别交直线OM，ON于点A和点B。

由于直线l交抛物线C于两点M，N，所以直线l一定存在斜率。设直线l的斜率为k，抛物线x2=?4y的焦点为（0，?1），可以利用点斜式直接写出直线l的方程;将直线l的方程与抛物线x2=?4y联立，设两根为x1，x2，即M，N的横坐标分别为x1，x2，利用韦达定理，得到关于x1，x2，k的关系式，可以用它们表示出点M，N的坐标;从而可以利用x1，x2进一步分别表示出直线OM，ON的斜率，表示出直线OM，ON的方程，再分别与直线 y=?1联立，用x1，x2表示出点A和点B的坐标，可以表示出圆心和半径，从而写出圆的方程，求出圆与y轴的两个交点，最后解决

问题。

【解答】（1）将点（2，?1）代入抛物线方程：22=

2p×（?1）可得：p=2，故抛物线方程为：x2=?4y，其准线方程为：y=1。

（2）由题意可知，直线l的斜率存在，焦点坐标为（0，?1），设直线方程为 y=kx?1，与抛物线方程x2=?4y联立可得：x2+4kx?4=0。

故x1+x2=?4k，x1x2=?4。

设M（x1，?），N（x2，?），

则kOM=?，kON=?。

直线OM的方程为 y=?x，与y=?1联立可得：

A（，?1），同理可得B（，?1）。

易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：（，?1），

圆的半径为：，

且==2k，

=2×

=2。

则圆的方程为：（x?2k）2+（y+1）2=4（k2+1）。

令x=0整理可得：y2+2y?3=0，解得：y1=?3，y2=1。

即以AB为直径的圆经过 y轴上的两个定点（0，?3），（0，1）。

【反思】本题第一问求抛物线的标准方程与准线方程，利用待定系数法，将已知点的坐标代入抛物线的方程，通过解方程，求出参数 p的值，进一步求出准线方程，解题过程体现了函数与方程的思想。本题第二问，由于点M、N的运动引起了点A、B的運动，从点的角度分析，点M、N为主动点，点A、B是次动点;从变量的角度分析，直线l的斜率是主变量，而点M、N横坐标为次变量，在求方程的过程中，用点M、N的坐标表示直线点OM、ON的方程，在运算的过程中，用直线l的斜率表示运算结果，使变量由多到少，达到解决问题的目的。解决问题的过程中，体现出了化归与转化的数学思想方法，有利于提升学生的数形结合能力，发展学生直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养。

总之，平面解析几何的运算难度主要体现在运算量较大、讨论内容较多。因此掌握常用的运算技能，可以在很大程度上简化运算过程，优化学生的思维过程，从而解决学生“算不对”的问题。学生需要掌握的常用的运算技能有：利用定义，回归本质;设而不求，整体代入;根系关系，化繁为简;巧设参数，方便运算。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[S].北京：北京师范大学出版社，2017.

【作者简介】

贾龙春（1969～），男，汉族，宁夏同心人，本科，高级教

师。研究方向：高中数学教学，高三备考，考试命题，教学管理。

王翠花（1970～），女，汉族，宁夏平罗人，本科，高级教师。研究方向：高中数学教学，高三备考，考试命题，班级管理。