溯源明理 平淡求真——谈2021 年新高考数学I 卷的试题特点及教学启示

杨苍洲

（1.泉州第五中学，福建 泉州 362000；2.福建教育学院数学教育研究所，福建 福州 350025）

一、2021 年新高考数学I 卷的试题特点

2021 年新高考数学I 卷的最大特点就是没有“亮点”.所谓的“亮点”，是比喻有光彩而引人注目的人或事物.在命题活动中，为了博人眼球，命题人常常设计一些新、奇、繁、偏的试题，此类试题虽然“引人注目”，往往却忽视了对数学本质的考查.2021 年新高考数学I 卷试题表述简洁明了、清晰到位，背景熟悉亲切、平易近人；内容丰富饱满、思想深刻；解法开放多样，倡导创新.试题基于高中数学各知识板块的核心知识，重点考查考生的数学关键能力，突出理性思维在数学解题中的重要作用，有效检测了考生的数学核心素养.

（一）试题重点考查基础知识

数学概念是学习过程中最原始的知识积累，是数学解题的直接依据.理解概念，并把概念应用于解题，是对学习者的基本要求.本卷注重对高中数学基础知识的全面考查，第5 题考查了椭圆的定义，第8 题考查了相互独立事件的定义，第13 题考查了偶函数的定义，第21 题第（1）问考查了双曲线的定义等，由此可以看出命题者充分关注了对基础知识的考查，重在检测考生对基本概念的掌握与应用水平.

题1：（2021 年新高考数学I 卷第13 题）知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数，则a=______.

本题意在检测考生对基础知识的掌握水平.主要考查函数奇偶性的定义，属于基础题，考生只需掌握奇偶性的定义即可顺利解题.利用偶函数的定义，由f(-x)=f(x)，可得x3(a· 2x-2-x)=-x3(a· 2-x-2x)，整理得(a-1)(2x+2-x)=0，解得a=1.

题2：（2021 年新高考数学I 卷第8 题）有6 个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1 个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）.

A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立

要判断事件A,B是否独立，需判断P(A)P(B)=P(AB)是否成立，因此先计算事件A,B对应概率.由于P(甲)=，P(乙)=，P(丙)=，P(丁)=P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙)，故甲与丙不相互独立；P(甲丁)==P(甲)P(丁)，故甲与丁相互独立；P(乙丙)=≠P(乙)P(丙)，故乙与丙不相互独立；P(丙丁)=0≠P(丁)P(丙)，故丙与丁不相互独立.故选：B.

本题考查了相互独立事件的定义，貌似基础、简单，考后了解了几个考生，发现正确率很低.这是由于考生在学习过程中不重视概念的学习，也是高三总复习“重术轻道”的结果.命题者把它安排在单选题压轴题位置正，是对高中数学教学的警示和导向.

（二）试题重点考查基本技能

《普通高中数学课程标准（2017 年版）》提出了七项基本能力：抽象概括、推理论证、数据处理、空间想象、运算求解以及应用意识和创新意识.通过高中数学的学习，学生应具备应用基础知识解决问题的能力.如，本卷第4 题的求解需要运用“换元”思想，第6题的求解需要运用“消元”思想，这些试题对考生的运算求解能力都有较高的要求.为了提高运算求解能力，就应先掌握换元法、消元法、主元法、配方法、待定系数法等一些常用、具体的运算技能.

题3：（2021 年新高考数学I 卷第4 题）下列区间中，函数f(x)=单调递增的区间是（ ）.

“换元法”是研究函数y=Asin(ωx+φ)（A＞0,ω＞0）图象性质的常用方法.解题时，把ωx+φ看作一个整体，令t=ωx+φ，此时只需要研究y=sint的性质即可得到y=Asin(ωx+φ)的相应性质.

题4：（2021 年新高考数学I 卷第6 题）若tanθ=-2，则=（ ）.

思路一，“齐次化”是求“含sinθ,cosθ式子的值”的常用方法.本题可以将待求的式子进行齐次化处理，然后再化弦为切，代入tanθ=-2，即可得到结果.

思路二，“消元”是解题的常见思路、基本技能.条件和结论的式子中含有sinθ,cosθ,tanθ，也含有θ，2θ，因此，我们考虑进行“消元”.首先对“化同角”，即把“2θ”化成“θ”，消去“2θ”，原式可化为此时待求的式子含有sinθ,cosθ，而已知的式子含有tanθ，因此考虑“切化弦”消去“tanθ”，由tanθ=-2 得，即sinθ=-2 cosθ，因此

本题如果利用tanθ=-2，求出sinθ,cosθ的值，还需要分象限进行讨论，通过齐次化处理，或者通过消元处理都可以避开了这一讨论.

（三）试题重点考查基本思想

化归与转化、数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想是高中数学最重要的，也是最基本的数学思想.［1］“数缺形时少直观，形无数时难入微”，运用数形结合思想解题，可以使得第7 题的解题过程更加直观、简洁；而第15 题，为了推进解题的进展，需要对绝对值内式子的符号进行分类讨论，而后整合所有可能出现的各种情况，这种分类与整合的思想，是一种重要的数学思想方法，也是一种重要的解题策略.

题5：（2021 年新高考数学I 卷第7 题）若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线，则（ ）.

A.eb＜aB.ea＜bC.0 ＜a＜ebD.0 ＜b＜ea

思路一，作出函数y=ex的图象，若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线，则点(a,b)需在曲线y=ex下方，同时，点()a,b也需在x轴的上方.因此应满足0 ＜b＜ea.故选：D.

上述思路主要是运用数形结合思想，化抽象为具体，从图像中直观感知得点(a,b)与曲线y=ex的位置关系，并根据点线的位置关系得到相应的不等关系.我们再来感受一下另一种常规的思路：

思路二，对函数y=ex求导得y′=ex，所以曲线y=ex在点P(t,et)处的切线方程为y-et=et(x-t)，即y=etx+(1-t)et.由题意可知，点(a,b)在直线y=etx+(1-t)et上，可 得b=aet+(1-t)et=(a+1-t)et.令f(t)=(a+1-e)et，则f′(t)=(a-t)et.当t＜a时，f′(t) ＞0，此时函数f(t)单调递增；当t＞a时，f′(t) ＞0，此时函数f(t)单调递减.所以，f(t)max=f(a)=ea.作出函数f(t)的图象如下图所示，由图可知，当0 ＜b＜ea时，直线y=b与曲线y=f(t)的图象有两个交点.故选：D.

比较上述两种解题思路，可以看出思路一比思路二更加直观、快捷.思路一运用的是数形结合思想，数形结合是解决数学问题最常用且有效的方法之一，它在本题中的优势体现得淋漓尽致.

题6：（2021 年新高考数学I 卷第15 题）函数f(x)=|2x-1 |-2 lnx的最小值为______.

本题中函数f(x)的定义域为(0,+∞)，因此我们需要讨论、x＞1 这三种情况，并结合导数研究函数的单调性，即可求f(x)最小值.

由题设知 ：f(x)=|2x-1 |-2 lnx定义域为(0,+∞)，所以当时，f(x)=1-2x-2 lnx，此时f(x) 单调递减；当＜x≤1 时，f(x)=2x-1-2 lnx，有f′(x)=，此时f(x)单调递减；

当x＞1 时，f(x)=2x-1-2 lnx，有f′(x)=2-，此时f(x)单调递增.故f(x)≥f(1)=1，f(x)的最小值为1.

求解含有绝对值的函数的有关问题，往往需要进行分类讨论.分类讨论的关键在于如何确定分类讨论的分界点，含绝对的函数谈论的分界点是由绝对值内数式的符号决定的.为此必须搞清楚讨论的标准.

（四）试题重点考查基本活动经验

解题过程中，思维起点往往不是从零开始的，而是建立在已有解题活动经验的基础上.解题入口的突破，解题思路的形成，解题计划的执行都依赖于已有的解题经验.因此，积累解题活动经验是提高数学能力的有效方法，也是提高数学素养的重要途径.

题7：（2021 年新高考数学I 卷第9 题）有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数，则（ ）.

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样数据的样本极差相同

在《普通高中教科书·数学》必修第二册第九章《统计》（人民教育出版社A 版）的“第9.2.4 节《总体离散程度的估计》的练习第2 题”和“第9.2 节《用样本估计总体》的习题9.2 第4 题”两题都推导了下述结论：数据x1，x2，…，xn的平均数为E(x)，方差为D(x)；数据y1，y2，…，yn的平均数为E(y)，方差为D(y).若yi=axi+b(i=1,2,…,n)，则E(y)=aE(x)+b，D(y)=a2D(x).

上述结论简洁、优美，这也是我们在数学解题活动中积累下的基本活动经验，在后续的解题活动，理应在此活动经验下进行.

本题中a=1,b=c，因此有E(y)=E(x)+c，D(y)=D(x)，由于c≠0，故平均数不相同，方差相同，故A 错误，C 正确.对于B，若第一组中位数为xi，则第二组的中位数为y1=xi+c，显然不相同，错误；对于D，由极差的定义知：若第一组的极差为xmax-xmin，则第二组的极差为ymax-ymin=(xmax+c)-(xmin+c)=xmax-xmin，故极差相同，正确.故选：CD.

题8：（2021 年新高考数学I 卷第9 题）记△ABC是内角A,B,C的对边分别为a，b，c.已知b2=ac，点D在边AC上，BDsin ∠ABC=asinC.

（1）证明：BD=b；

（2）若AD=2DC，求cos ∠ABC.

第（1）步易证.第（2）步的求解，常用下述三种方法.

方法一，“算两次”思想，由∠ADB=π-∠CDB，得cos ∠ADB=-cos ∠CDB，并在△ADB和△CDB中应用余弦定理，即可得到a,b,c的数量关系，结合b2=ac，可求得，cos ∠ABC的值；或在△ADB和△ACB中应用余弦定理两次求解∠A，即可得到a,b,c的数量关系.

方法三，利用平行线进行转化，可过D作DE∥BC，交AB于E，则△BCD中，BD=b，ED=，∠BEC=π-∠B，由余弦定理可得b2=后续同解法二；或可过A作AF∥BD，交BD于F，则△BAF中，BF=3b，AF=2a，BA=c，∠BAF=π-∠B，由余弦定理可得9b2=c2+4a2+4accosB，后续同解法二.

第（2）步中的图形模型：由一个三角形分割成两个三角形的图形，我们把它称之为“爪型三角形”.在解决“爪型三角形”的问题中，我们归纳出三种常见的思维起点：“算两次”思想，向量法，利用平行线进行转化.此三种方法是在“爪型三角形”的求解过程中积累的解题活动经验，在后续的解题活动中，当遇上“爪型三角形”的相关问题时，我们思维就应该从“经验”的码头扬帆启航，乘风破浪.

二、几点教学启示

（一）注重数学定义、定理、概念、法则、公式等的形成过程和内涵

在新授课的教学活动中，应注重数学定义、定理、概念、法则、公式等的形成过程和内涵，而不能只注重新知识在解题过程中的应用.如：2021 年新高考数学I 卷第10 题是平面向量与三角函数结合的试题，从题干中p1,p2,p3三点的坐标形式，我们应联想到三角函数的定义，由此判断出点p1(cosα,sinα)，p2(cso(-β),sin(-β))，p3(cos(α+β),sin(α+β))，A(1,0) 在以O为圆心的单位圆上，且∠xOP1=α，∠xOP1=-β，∠P1OP3=β.在平面直角坐标系中，画出单位圆及点p1,p2,p3,A，理解各答案支所表示的几何意义，不需计算即可从图中看出试题的答案.若只是简单记住三角函数的定义，则难以顺利解题，只有理解三角函数的定义的内涵与外延，体验“三角函数”的定义过程，方能联想迁移、合理应用，从而又快又准地解决问题.

（二）总结解题的通性通法，培养学生的发散性思维

习题课是培养学生知识、方法、技能的重要阵地.在习题、例题的讲授过程中，应注意归纳“多题一法”，总结解题的通性通法；应多进行“一题多解”，培养学生的发散性思维.如，2021 年新高考数学I 卷第20 题考查立体几何，第（1）问，要证“线线垂直”，应转化为证明“线面垂直”；要证“线面垂直”，一般转化为证明“线线垂直”或“线面垂直”.在平时的习题课中，教师要引导学生归纳出“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间互相转化的方法规律，掌握“一法”求解“多题”.在第（2）问中，关键在于根据条件二面角的大小求解三棱锥的高，此类问题一般可以采用几何法或空间向量法.而用几何法求解二面角，又有几种常见的思路：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法等.［2］习题课中，应适时进行一题多解，授于学生多种“渔”的手段，学生也要养成一题多思的思维习惯，在解决陌生问题时方能如鱼得水、左右逢源.

（三）应关注前期学习过程存在的问题，并有针对性地查缺补漏

复习课的主要任务是完成课程的梳理，是强化重点、深化知识、活化技能的过程.复习课除了构建知识网络化之外，还应关注前期学习过程存在的问题，并有针对性地查缺补漏.如2021 年新高考数学I 卷第17题考查递推数列问题，对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.这类分奇偶的双数列问题在平时的练习中较为少见.［3］在《数列》章节的复习课中，若能对数列通项的求法进行全面的归纳总结，并关注到此类“冷门”题型，基于此类问题，总结其解法，揭示此其本质，这对加深数列知识的认识是大有裨益的.