着眼常规 揭示本质 聚焦核心素养——例谈一道中考试题的解法

◎秦贵平 (湖北省长阳土家族自治县龙舟坪学区，湖北 宜昌 443501)

为进一步体现学业水平考试的选拔功能，压轴综合性试题必不可少，这类题往往综合性极强，考生不容易找到解题的突破口，无从下手，导致得分率低.解决这一类问题，往往需要学生有较强的综合能力和数学素养，找准“题眼”和切入点是解题的关键.

1.试题呈现

(2017年湖北襄阳市中考试题)如图1，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A(10,0)，抛物线y=ax2+bx+4过B，C两点，且与x轴的一个交点为D(-2,0)，点P是线段CB上的动点，设CP=t(0

(1)请直接写出B，C两点的坐标及抛物线的解析式；

(2)过点P作PE⊥BC,交抛线于点E,连接BE,当t为何值时∠PBE=∠OCD？

(3)点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N.当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值.

2.试题分析

问题(1)(2)学生一般没有思维障碍，能够顺利解答，本文不再赘述.问题(3)以二次函数为背景，综合考查四边形、二次函数相关知识，命题者在这里设置了P、Q两个“动点”，两个点同时运动导致了图形并不唯一存在，综合考查了四边形、三角形、二次函数相关知识.因此，透过题目表象，如何在运动中求静，即探索动点静止时的特殊位置、特殊图形变成了本题的解题关键.基于此，本文从“模型思想”和“辅助圆”两个视角出发，探究解题路径，寻求直接、自然的解答.

3.解法探究

3.1 常规出发，寻求自然

本题实则是在运动中探究特殊四边形的存在性问题，从特殊图形存在性问题的一般处理策略看，我们都是先假设存在，然后根据图形的定义、性质来解决问题本身.因此，如何确定动点的位置，是解决这一类问题的关键.此题中，四边形PMQN已经是平行四边形，那么如何才能使四边形PMQN是正方形呢？我们常规第一反应就是直角，构造“一线三等角”模型，那么此题中如何确定这个直角便成了解决本题的关键？我们注意到矩形COAB，因此我们从∠CQB入手，如果∠CQB是直角，那么一箭双雕.一方面，通过构造“K”图相似，确定点Q的位置；另一方面，平行四边形PMQN成了矩形，这样只需一组邻边相等便可以解答此题.

解法1如图2，假设四边形PMQN为正方形，则：

∠PMC=∠PNB=∠CQB=90°，PM=PN.

∴∠CQO+∠AQB=90°.

又∵∠CQO+∠OCQ=90°，

∴∠OCQ=∠AQB,

∴Rt△COQ∽Rt△QAB，

设OQ=m，则AQ=10-m

∴m(10-m)=4×4，解得：m1=2，m2=8.

3.2 抓住本质，探求直接

题中有两个动点P、Q，加之图形复杂，含参量多，计算量大，令很多考生望而生畏.通过上述解答，我们发现表面上运动的Q点实际上只有两个点，为什么呢？我们冷静下来认真读题、审题，挖掘题中的关键信息和条件，这些条件背后隐含的数学本质是什么，与题中所求解的结论有什么联系，层层剖析，重点突破关键信息，动中求静，我们产生以下第二种思考.

解法2如图3，以CB为直径构造⊙H与x轴交于点Q，连接HQ，

过点H作HF⊥x轴于点F，得HF=4，HQ=5.

∴OQ=OF-QF=2.

“圆”是中学数学中必须掌握的重要知识，构造“辅助圆”是解决相关数学问题的重要方法.在解题教学中，如果能根据题设和已知条件构造符合题意特征的辅助圆，这样将题中的固定角转化成圆周角，使得问题顺利解决，同时也体现了一种数形结合思想，代数问题和几何知识互相渗透，综合应用，不仅能够更好地解决问题，还能更好地培养学生分析问题的能力.虽“图中无圆”但必须做到“心中有圆”，教师应帮助学生体会 “‘圆’来可以更简单”的喜悦.

3.3 举一反三，拓展延伸

无独有偶，笔者在收集各地中考试题时，发现2020年襄阳中考试题再现“辅助圆”.可见在平时的解题教学中，要注重好的、常见方法的积累.要真正领悟某一类题型的类型和处理策略，从而达到“会当凌绝顶，一览众山小”的境界，这需要长期的积累和内化.

试题再现：(2020年襄阳市中考试题)在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，DE⊥DA且DE=DA.AE交边BC于点F，连接CE.探究证明：当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由.(结合本文讨论主题，题目有删减.)

此题常规性方法，容易想到用相似解决.但是倘若能够抓住∠AED=∠ACD，∠ADE=90°这两个关键信息，构造如图所示的“辅助圆”，问题迎刃而解.具体解答过程，本文不再赘述.

4.解后反思

4.1 着眼常规，通性通法，积累活动经验

解题是一位数学教师专业成长中必须经历的一个重要过程，是数学教师的基本功.但教学的终极目的是发展学生，如何通过教师的影响让学生形成解题能力才是关键.很多时候，老师们都有这样的抱怨：“为什么某个题讲了很多遍学生还不会呢？”裴光亚先生说：“数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间的交往互动与共同发展的过程”，我想这是对这一“抱怨”的最好解释，也许很多时候我们真的只是做了一个参考答案的“搬运工”.换个角度，也许很多时候忽略了一个问题：学生是不是真正参与了整个解题的思维过程？如本题中，学生若对特殊四边形存在性问题的处理策略没有形成自己的经验，可能就会无从下手.在平日教学里，教师要以“教学资源”为背景，让学生充分感知思维过程，这样的教学活动多了，学生便会积累成基本经验，进而形成能力.

4.2 盘活课堂，教学相长，打造高效课堂

早在先秦时代，我国著名古籍《礼记》就提出“学然后知不足，教然后知困.知不足然后能自反也，知困然后能自强也.”这个观点的核心就是教学相长，要做到这一点并非一件容易的事情，首先教师自身要有扎实的专业功底，有前沿的教育理念，有开阔的教学视野.教学是一个双向选择的过程，单靠教师个人的“功夫”是远远不够的.笔者曾经也有这样的困惑，经常会出现自我认为课堂讲得非常精彩，学生也听得非常认真，甚至沾沾自喜，自我陶醉的感觉，可学生成绩没有得到提升，这是因为教师在很多时候只关注了“讲”和“教”，忽视了教育对象的学习状态.我们还应更多地走下讲台，多站在学生的角度思考，他们怎么看待问题.教学不仅是简单的知识传授，更多地还要关注思维的启发，要尽可能地达到“解一题，通一类”的效果.

4.3 揭示本质，发展能力，聚焦核心素养

裴光亚先生把教师的教学分为三种境界，六个层次，教师的成长，必须经历从经验型教师到研究型教师的跨越，经历从初师到大师的跨越.教学是一个发现学生、发展学生,发现自我、发展自我的过程，是师生共度的生命历程.[1]聚焦核心素养，整合教学资源，揭示知识板块之间的联系，形成数学思维和素养是每一位教师追求的至高境界.

函数及其思想方法是整个数学学习的重头戏，中学阶段函数很好地解释了运动和变化这一数学精髓，用数的形式更好地揭示了数学的“内在本质”和图形的“外在美”.因此用函数作为载体，综合几何问题，搭建运动变化的平台成了命题者的一个最好选择.回看各地中考试题，压轴综合题不是呈现某一个难点知识，这类题往往都是多个知识点、多种思想方法的综合体，既考查教材所要求的方程思想、代数运算、几何性质，又考查考生灵活运用这些知识解决问题的能力.因此在教学中，教师除了注重知识的讲授以外，还应该注重提炼重要的思想方法，挖掘试题考查的本质，总结与之对应的处理策略，发展学生能力，发展教师自我，达到共赢境界，始终盯准数学核心素养的提升.