概率论与数理统计课程教学中思政元素的挖掘与实践

李晨　陈丽萍

[摘 要]在“大思政”背景下，课题组探索概率论与数理统计课程思政教育，从介绍国内概率论学者，树立文化自信与结合知识点全方位深度挖掘思政元素两个方面找准“切入点”，科学合理地设计相关教学案例，将思政元素自然和谐地融入专业课的课堂教学中，以期达到“润物细无声”的育人效果。

[关键词]思政元素;概率论与数理统计;课程思政;案例

[中图分类号] G641 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2021）09-0104-03

2016年12月，习近平在全国高校思想政治工作会议上强调，“要坚持把立德树人作为中心环节，把思想政治工作贯穿教育教学全过程，實现全程育人、全方位育人，努力开创我国高等教育事业发展新局面。要用好课堂教学这个主渠道，思想政治理论课要坚持在改进中加强，提升思想政治教育的亲和力和针对性，其他各门课都要守好一段渠、种好责任田，使各类课程与思想政治理论课程同向同行，形成协同效应”。为更好地落实这一重大教育理念，国内各大高校积极开展课程思政的探索与实践工作。课程思政不完全等同于思政课程，不是简单地用德育代替专业教育，而是要全面深入地挖掘、提炼专业课程中蕴含的思想政治文化元素，通过教师巧妙的规划与设计，运用新媒体、新技术，科学合理地将其融入专业课的课堂教学中，做到既教书又育人。

概率论与数理统计是研究现实世界中随机现象及其统计规律性的应用数学学科，是高校经管类和理工类各专业的一门重要基础必修课，其应用广泛，与现实生活紧密联系。20世纪以来，它已广泛应用于工业、国防、金融、国民经济及工程技术等各个领域[1]。在“大思政”背景下，探索概率论与数理统计课程思政的实施途径，首要就是充分挖掘、提炼学科所涵盖的思政教育元素，找准“切入点”，科学合理地设计相关教学案例，将思政元素自然和谐地融入专业课的课堂教学中，最终达到“润物细无声”的育人效果。下面，本文从两个方面谈谈概率论与数理统计课程中思政元素的挖掘、开发设计与融入实践。

一、介绍国内概率论学者，树立文化自信，培养科学精神

虽然国内外概率统计领域人才济济，专家学者甚多，但是为了培养学生的道路自信、文化自信，教师还是应着重介绍国内概率统计方向的优秀专家学者，让学生感受到中国数学家们的思想，学习他们严谨、孜孜不倦、献身科学的精神[2]。

每年的9月10日是教师节，这是1985年1月第6届全国人大常委会第9次会议通过的决议。这样一个和我们的生活紧密相连的重要节日，其提倡者就是我国著名的概率论学者王梓坤院士。王梓坤院士是一位杰出的数学家和教育家，也是我国概率论研究的先驱者和主要学术带头人。他热爱教育事业，毕生从事教育事业，尤其关注如何培养青年成才的问题，并把成才之道归纳成十个字：理想、勤奋、毅力、方法、机遇。王梓坤院士自身成才的经历，在青年成才方面的观点和学习数学、研究数学的思想方法等都是很好的思政元素，将其合理地融入课堂，既能树立文化自信，又能培养学生的科学精神，对青年学生是大有裨益的。

二、结合知识点，全方位深度挖掘思政元素，实践专业课程思政教育

与其他数学课程相比，概率论与数理统计课程更贴近实际生活，在课程思政方面更具有优势。在教学过程中，恰当地引入实际案例，既可以加深学生对知识内容的理解，还可以引导学生发现案例中蕴含的独特内涵，突显案例的隐性育人价值。

（一）立足课程，培养科学精神，树立正确的世界观

概率论与数理统计课程在锻炼和提升学生严谨的逻辑思维能力、科学的推理能力等方面的效果是非常显著的，教师在教学过程中要立足课程本质，在研讨式教学中培养学生的科学精神。

讲授概率论与数理统计课程，应当先介绍这一学科的发展历程，让学生了解这一学科发展史以及发展进程中的一个个难题是如何被解决的。一方面，这能让学生对课程的基本内容、背景、应用及其之间的联系有所了解，对整个学科有一个宏观的系统认识，这些被“线”贯穿起来的知识，也更容易被深入理解且不易忘记;另一方面，它能培养学生的科学观，培养学生用哲学的认识论和方法论来看待世界。课程简史能让学生认识到：知识是不断变化发展的，要学会用运动变化的观点来研究事物;要学会用批判的观点来看待身边的事物，擅于发现问题、提出问题，创新意识很重要;科学研究也需要勤奋与毅力。

在授课过程中，教师不仅要注重教学的严谨性、科学性，提升并培养学生“提出问题—分析问题—解决问题”的能力，还要把解决问题的方法归纳并提升到哲学认识论与方法论的层面上来。

比如，在介绍概率的定义时，频率与概率的辩证关系就是一个思政元素，它体现了偶然性与必然性的对立统一。恩格斯指出：“在表面偶然性起作用的地方，这种偶然性始终是受内部隐蔽的规律支配的，而我们的问题只是在于发现这些规律。” 事件的频率具有偶然性，而事件的概率是客观存在的，具有必然性。试验次数较少时，频率与概率有较大的偏差，这是对立性;试验次数很大时，频率呈现出稳定性，它在事件的概率附近微小摆动，这是统一性。教师可进一步引伸到吸烟与肺癌的关系，间接提醒学生吸烟有害健康，引导学生养成良好的生活习惯。又如n重伯努利试验、中心极限定理，都蕴含了思政元素——从量变到质变的哲学观。

（二）设计案例，在探讨式案例教学中“润物细无声”地进行课程思政教育

苏联教育家苏霍姆林斯基曾说过：“人的内心里有一种根深蒂固的需要——总想感到自己是发现者、研究者、探寻者。”[3]在教学过程中，以学生为主体，引导并鼓励学生在情感、认知、思维或行为上参与互动，这样能有效激发学生的主体作用。在概率论与数理统计的教学过程中，教师应尽量结合实际问题或现实生活，合理地设计生动的问题情境或课程思政情境，利用设问的形式开展探讨式教学，比如分组研讨等形式，逐步引导学生思考并主动参与到问题的研讨中来，在这种互动解决问题的过程中潜移默化地进行思政教育。

举个例子。在日常生活中，有许多涉及隐私的敏感问题，比如校园贷，很多学生深陷其中，无法自拔。2017年9月，教育部发文明确取缔校园贷款业务，任何网络贷款机构，都不允许向在校大学生发放贷款，然而校园贷却屡禁不止。如何对在校大学生参与校园网络贷款的比例进行摸底调查，以建立校园不良网络借贷应对处置机制？事实上，这种涉及隐私的敏感问题的调查，困难重重，大家都会尽量对其避免正面回答或者拒绝回答。那么如何巧妙地设计调查问卷，得到真实的调查结果呢？要掌握这样的方法和技能，得先学习概率论中的一个知识点——全概率公式。这样，就用设问的形式引入了知识点，让学生带着问题来学。讲解完这个知识点，再回过头来解决最初提出的问题，带着学生一起来模拟对某学校在校学生参与校园贷比例进行摸底调查。

例：已知某校有1万名学生，现需要调查该校参与校园贷学生的实际比例，以建立合理的应对处置机制。

问卷调查设计过程如下：在一个无人的房间里有一个纸箱，箱里裝有20个球，其中10个红球10个白球;被测试者事先被告知，从这个箱子中随机抽取一个球，看过颜色后放回。如果学生取的是白球，就回答“你的生日是在7月1日前吗？”这个问题;如果学生取的是红球，就答“你参与网络借贷了吗？”这个问题。学生将结果勾在一张只有“是”与“否”的答卷上，每一位学生都参与了这次测试。

最后，回收1万份答卷，其中4000份答卷回答“是”，那么该校参与校园贷学生的实际比例是多少呢？

解答过程如下：把回答“是”记为事件A，它分为两种情况，一种是学生取到了红球，把它记为事件[B1];一种是学生取到了白球，记为事件[B2]。参与校园贷的比例就是[P（A|B1）]，即在[B1]发生的条件下事件A的条件概率。由全概率公式，有：

在这个公式中，事件A的概率是0.4;纸箱中的红球与白球个数是相同的，所以取到红球的概率与取到白球的概率是相等的，均为0.5;还有一个隐藏的信息，即取到白球的情况下回答“是”的概率约为0.5，把相应的数据带入，我们就可以得到[P（A|B1）=0.3]，即该校参与校园贷的学生的实际比例约为30%。

当然，可能有学生认为这种问卷调查方式夸张了些，比较耽误时间。那就引导学生思考：你能不能提出更方便的操作方式？比如分班级抽签的形式。还可以继续引导学生思考“你的生日是在7月1日前吗？”这个问题，你能想到其他问题来替换它吗？用“你的手机号码最后一位数字是奇数吗？”可以替换吗？然后进一步引导学生讨论：生活中还可能会涉及哪些敏感问题需要调查的呢？

这种对敏感问题的调查方式是可以用到实际工作和生活中的，相信学生也会积极参与进来。通过这个例子，也能潜移默化地让学生们认识到校园贷的危害，意识到要理性消费、合理消费，远离校园贷。

（三）借助专业知识点来解释哲理，辨析俗语，潜移默化地进行课程思政教育

人类认识社会和自然中的很多真知灼见，都可以从数学中得到解释，特别是正确的世界观、方法论在概率论与数理统计中大多都能找到理论支撑。比如，中国有一句俗语：“三个臭皮匠，顶一个诸葛亮。” 诸葛亮是“足智多谋”的形象代表，而这句俗语作为人多办法多、人多智慧多的一种赞誉也是富有哲理的[4]。那么，学生们能不能通过概率的计算对这一哲理给出合理的解释呢？下面我们运用概率的知识，对这个问题做出解答。

我们用[Ai]表示事件“第i个皮匠独立解决了该问题”，i=1，2，3，不妨设每个皮匠单独解决该问题的概率分别为：

计算结果告诉我们，三个智力寻常的“皮匠”居然能解出百分之九十以上的问题，聪明的诸葛亮也不过如此！这就是俗语“三个臭皮匠，顶一个诸葛亮”的概率解释。在讲解事件的独立性时，可以通过这个例题，让学生潜移默化地认识到团结的重要性、集体的重要性。集体是力量的源泉，众人是智慧的摇篮，孤雁难飞，孤掌难鸣，在现实生活中，我们应该群策群力攻难关，团结合作创佳绩。

中华民族有着深厚的文化底蕴，既有广泛流传的歇后语，又有能登大雅之堂的俗语和成语。但也应该认识到，并不是所有的俗语或成语都是至理名言，有的是经不起科学的推敲的，需要仔细辨别。比如，“福无双至”与“祸不单行”，经常被人们用来表达对福、祸的感慨。这两个常用的俗语是否正确呢？接下来我们用古典概型的知识来进行辨析[4]。

“祸”是随机现象，不妨把“祸”看成是一个个的小球，把“人”看成是一个个的箱子，如果小球落入某个箱子里，这个箱子代表的“人”就遭遇到“祸”。我们假定每个小球落入任何一个箱子的可能性相同。为了让学生有一个更直观地了解，我们先用简单的数据来计算一次。把4个小球随机地放入40个箱子，每个箱子至多有一个球的概率有多大？4个球放入40个箱子，共有[404] 种可能的结果，而恰有4个箱子中各有一球的结果数等于从40个箱子中取4个的排列数，于是，每个箱子至多有一个球的概率为：

因此，至少有一个箱子中有两个球（祸不单行）的概率约为0.14，也就是说，如果共有4个“祸”事，可能让40个人碰到，而且每个“祸”事每个人摊上的机会相等，那么，40个人中至少有一人碰上“祸不单行”的可能性约为0.14。

接下来，为深入探究，我们把特殊的数据一般化。假定“祸”事有n个，可能遭遇“祸”事的人有10n个。仍然使用上面的球箱模型，把n个小球放入10n个箱子中，假定每个小球落入任一个箱子的可能性相同。类似地得到，至少有一个箱子中有两个球，也就是“祸不单行”的概率为：

对于不同的n，我们将“祸不单行”的概率计算出来，如表1所示。

从表1可以看出， “祸不单行”出现的概率随着n的增大而增大。假设在某段时间某个范围内发生了50起祸事，该范围内可能遭遇祸事的人有500个，那么，至少有一人遭遇“祸不单行”的概率高达92%。可见，在范围较大的人群中，个别人遭遇“祸不单行”，不足为奇。

借助概率论中的古典概型，分析得到，“祸不单行”这个俗语是有道理的。接下来，继续引导学生类似地来探讨“福无双至”。把“福”想象成球，把人想象成箱子，同理可得，在范围较大的人群中，个别人遇到“福双至”也是不足为奇的。因此，“福无双至”的说法是不科学的。

生活中，有的俗语是至理名言，但有的却是不科学的，我们要学会理性地辨别，科学地看待。借助于这个俗语例题的辨析，还可以进一步延伸，让学生谈谈自己的见解。古人云“书中自有黄金屋，书中自有颜如玉”，但是“尽信书，不如无书”这个道理学生们也应该要知道。“实践是检验真理的唯一标准”，在学习新知的过程中，保持独立思考、勇于怀疑的精神，尤其难能可贵，这也是圣贤人物的治学风范。网络时代，各种各样的观点铺天盖地，教师应引导学生们理性辨别，不要人云亦云。

三、结束语

立德树人是高校立身之本，课堂教学是育人的主渠道。如何在课堂教学过程中实现立德树人这一根本目标，是每一位教师都要认真思考的问题。在“大思政”背景下，探索概率论与数理统计课程思政的实施途径，守好这段渠、种好这份田，使其与思想政治理论课同向同行，形成协同效应，更需要对概率统计课程知识点和思政元素进行深入挖掘，把握好“尺度”和“社会实践的切入点”，在保持专业课原有特色和独立性的基础上适当融入“思政”元素，循序渐进，因势而导，保障科学的“思政”，达到“润物细无声”的育人效果[5]。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 范国兵，陈丽萍，李兰平.概率论与数理统计[M].长沙：湖南大学出版社，2018.

[2] 崔小云.文化自信融入思想政治教育的践行路径探析[J].长春师范大学学报（人文社会科学版），2019（5）：7-9.

[3] 张艳，陈美蓉，王亚军，等.课程思政理念下概率论与数理统计教学改革的探索与实践[J].高教论坛，2019（12）：80-81.

[4] 魏振军.探访随机世界[M].北京：中国统计出版社，2010.

[5] 吴红艳，吴美华.理工科课程实践“课程思政”的道路探索：以概率论与数理统计为例[J].教育现代化，2019（66）：105-107.

[责任编辑：钟 岚]