“猜想——验证“在数学创新模拟教学中的运用

赵占国

美国著名数学家哈尔莫斯指出：“学习数学的唯一方法是做数学。”研究表明：人们在学习时，如果仅靠听和看最多能获取30%的新知，如果动手做的话，可以达到90%以上。这里的“做数学”实际上是数学的创新模拟。数学的创新模拟要求我们在教学中必须根据学生的实际情况、教学内容和教学环境创设赋予启发的现实背景，唤醒学生，使其在自然情境中进行自主探究性学习，在“模拟”过程中积累经验，亲身经历前人创造知识、发展知识和形成知识的过程，模拟前人的创新路径，亲身经历体验发现创造知识的历程，并通过自己的深刻思考，在探索过程中，获得自己的感受和理解并内化为自己的知识建构。将掌握数学知识、数学思想和数学方法与亲身经历融会贯通，在数学知识的创造过程中获得快乐，感悟成功的喜悦，使学生的个性得到发展。下面就怎样通过观察、模仿、联想、猜想、验证等活动将思考方法交互整合，让学生在研究数学知识、应用数学知识、创造数学知识的过程中获得全面、持续、和谐发展，并依据培养小学生数学核心素养的要求，结合自己的教学与实践初探，谈一谈“猜想——验证”在小学数学创新模拟教学中的运用。

一、利用新旧知识之间的关联引发学生思考，主动经历“猜想——验证”，促进学生在模拟的过程中创新

对于新知识与旧知识密切相关的内容，应创设一个引起兴趣的问题情境，充分引导学生调动其原有知识和经验，利用知识之间的合理联系，把握新旧知识的联系点，形成一个引导学生进行“猜想验证”过程的引擎，促使学生利用原有知识和经验，对问题提出假设验证，然后从不同角度进行创新模拟，从而产生利用旧知识“创造”新知识的“正迁移”方式。

如，在探究“一个数除以分数的计算方法”教学时，在回顾“分数除以整数等于分数乘以这个整数的倒数”的基础上，让学生探究：“修路队小时修路20米，1小时修多少米？”

引导学生根据“工作总量÷工作时间=工作效率”，列出解决问题算式：20÷，让学生观察发现：除数是分数，该怎样计算呢？

学生甲：“可以把分数化成小数来计算，20÷=20÷0.4=50（米）。”

学生乙：“我不同意！因为当除数（分数）不能化成有限小数时，用这种方法就行不通。”

学生丙：“我们已经知道分数除以整数（0除外），用分数乘以这个数的倒数来计算。所以，猜想一个数除以分数只要用这个数乘以分数的倒数就可以了。”

即：20÷=20×=50（米）。

教师略显疑惑并问道：这种猜想对吗？怎样验证？以此来启发引导学生探究“一个数除以分数”的算理与算法。（指导学生根据题意画出线段图，并根据线段图来推算出1小时能修多少米？）

有学生观察后发现：从图中可以看出，如果把小时修的米数看作1份，那么1小时修的米数应该是20米的倍。求1小时修多少米，就是求20米的倍是多少。

又有学生发现：

从小时修20米，可以得到小时修：20÷2=10（米），1小时是5个小时就是：20÷2×5=20××5=20×=50（米）。

在学生的相互启发下，还有学生发现：

可以利用商不变的规律，将除数乘得到1，被除数也乘，从而得到20÷=（20×）÷（×）=50（米）。

三位同学都从不同的角度对猜想进行了验证，于是归纳得到：一个数除以分数的计算方法（用一个数乘以除数的倒数）。

以上分析过程，充分调动学生的学习积极性，通过“猜想——验证”的过程，激发他们学习的积极性和主动性，使学生经历从多角度进行探索新知的体验;学生获得了通过利用自己原有知识信息获取新知的成功感受，增强了学生积极探索、主动交流表达、主动运用、主动完善的能力，使主动探索成为学生的需求和期望，从而引导学生在“模拟”的过程中“创造”新知。

二、基于和顺应学生的思考现实，巧定式思考促成学生猜想并主动进行验证

从学生的思维现实出发，尊重学生的想法，引导学生合理解释自己的想法，使“猜想—验证”的过程自然发生，并在验证猜想的过程中有新的发现，在模拟的基础上获得新知。

如，教学平行四边形的面积计算，理解和掌握平行四边形面积的推导分析过程是教学之重点，启发引导学生找到“新旧”知识的转化是难点。教学过程中，同时出示一个a=6 cm，b=4 cm的长方形和一个平行四边形（a=6 cm，h=4 cm，b=5 cm），问：谁的面积大？一名学生“坚定”表示：长方形的面积=长×宽：6×4=24（cm2），我猜想平行四边形的面积是两条邻边相乘的积：6×5=30（cm2）。

然后询问：你是怎么认为的？学生：根据长方形的面积=长×宽，猜测平行四边形的面积也可能是相邻边的乘积。

老师不急于否认，对学生的积极思维给予肯定：同学们运用原有知识做出大胆的猜测，这种学习精神很值得鼓励。那么，这种猜想是否正确呢？下面请大家一起来进行验证。

首先问：要知道哪个图形的面积大？该怎么办呢？

有学生说：可以用数方格的方式来比较分析它们的大小。通过数发现：长方形共有小方格6×4=24（个）;平行四边形中可直接数出有18个整格，不满一格的通过拼一拼，一共可以拼出6个，这样18+6=24（个）。

然后继续问：对于这个平行四边形，是否有更好的方法来计算小方块的数量？然后，一个学生发现，通过沿高剪切，将其平移，然后拼接在一起，它们就可以形成一个长方形，并快速数出它的24个小方格。这时教师顺势而问：通过刚才数方格的操作，你发现了什么？使学生明确：长方形和平行四边形都含有24个面积单位，面积都是24 cm2。发现平行四边形面积计算的猜想是错误的，而且相邻两边相乘的积大于实际面积。更重要的是，学生发现平行四边形可以变换成长方形，变换后形状变了，但面积没变。并从数方格的过程中获得计算平行四边形的面积的发现。

本教学案例，从学生的实际思维出发，顺应学生的思考现实，巧借学生的定式思维促进猜想，然后从多个角度、多种方式进行探索和验证，通过验证发现猜想错误的同时获得正确的结论并打破学生的定式。使不同层次的学生有机会发现和创新，培养学生良好的思维品质。更有价值的是验证过程中巧妙地渗透了转化的数学思想。为学生后续的学习创造了条件。

三、根据对问题解决过程中发现的规律进行合理假设验证，使思维更具深度和广度，培养模拟创新能力

小学数学中许多有价值的数学规律都源于解决实际问题过程中的发现。因此，在解决问题教学的过程中既要注重算理和发现规律，又要合理估计结果，并能根据估计结果和条件作出猜想、推广，使学生逐步具备能从不同视角将观察、分析、假设、验证等方法有机融通，在发现问题、提出问题和解决问题的过程中，培养学生思维的灵活性和创造性。

如，“乘法分配律”的教学，学生从观察解决实际问题而得到的两个等式中，发现“两个数的和与一个数相乘，可以先用这两个数分别与这个数相乘，再把所得的积相加，结果不变，即“（a+b）×c=a×c+b×c”的计算规律时，放手让学生举例对发现的规律进行验证，在验证的基础上鼓励学生大胆猜想：根据刚才的发现，你還能想到什么？于是便有学生提出：“当两个数的差与一个数相乘时，即（a-b）×c，也具有这样的规律。”这时候，举例验证便成为自觉，通过举例验证，发现猜想是正确的。此时成功的体验使学生兴趣盎然，多个数相加（或相减）与一个数相乘，即（a±b±c）×d也满足这一规律，继续猜想便成为学习的自然。通过这一系列猜想与验证，使学生的思考更加深刻和全面，创新模拟能力得到培养。

总之，数学猜想是一种数学想象力，即人类探索数学规律和本质的思维策略。它是基于已有的事实和经验，是一种通过非逻辑手段获得的假设，属于合理推理。若逻辑体系表现为：从问题的提出—反复思考—联想、感悟—提出假设—验证结论等关键过程是其基本思维模式。