数学思想方法在解析几何教学中的应用

摘 要：高中数学教学中会涉及较多教学内容，并且内容难度相对较大，即便学生具有良好的数学基础，也会在数学学习期间面临一定难度.而后进生在数学学习中会面临更大困难，若教师不能通过正确方法对学生进行学习引导，很容易使学生对数学科目产生畏惧心理.解析几何在高中数学中属于难点知识，为了使学生更高效、轻松的学习解析几何相关知识，本文着重探究数学思想方法在解析几何教学中的应用，为高中数学教师提供相关教学策略，使教师更有效的引导学生掌握正确学习方法，不断攻克数学学习难点，提升学习质量及效率.

关键词：数学思想方法;解析几何;教学;应用

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2021）24-0029-02

收稿日期：2021-05-25

作者简介：赵寿锋（1979.6-），男，河北省滄县人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

将数学思想方法应用于解析几何教学当中，能够在各种思想与解析几何相关知识点相互结合过程中提升教学直观性，使学生在解题过程中不断锻炼自身的逻辑思维能力，同时在相关数学思想方法应用下不断简化和优化解题过程，以减少学生对解析几何相关知识的畏惧心理，帮助学生更轻松、简单的学习数学知识，逐步提升高中数学学习效率，掌握正确的学习方法.为此，有必要对数学思想方法在解析几何教学中的应用深入探究，以此为教育同仁们提供一些教学参考.

一、数形结合思想应用于解析几何教学，提升教学直观性

解析几何在高中数学教学当中属于难点内容，不仅要求学生掌握基础性的知识内容，还需要学生能够灵活的应用有关知识内容.为了达到相关教学目标，高中数学教师可在针对解析几何教学期间，利用数形结合的数学思想建立高效课堂.数形结合思想可以将无形的数学问题变的有形，使学习者更加直观的了解数学问题本质和相关解题思路，同时把抽象、复杂的数学问题转化成具体、简单的问题，便于学生解答.

例1 方程lgx=sinx有（ ）个实根.A.4个  B.3个  C.2个  D.1个

在对此题进行解析期间，无法单通过题目分析得到答案，此时可借助数形结合思想来剖析题目.具体就是将y=lgx的图象和y=sinx图象共同画到一个坐标系当中，如图1，此时可清晰的从图中得到此方程有3个实根.

例2 圆的方程是x2+y2=1，直线l过点P（-3，

-1），直线和圆有公共点，那么直线l倾斜角相应取值范围为（ ）.

A.0，π6  B.0，π6 C.0，π3 D.0，π3

通过分析题意，可明确直线l存在斜率，因此可对直线l作出假设：y+1=k（x+3）.如果经过P作两条与圆O相切的直线PA和PP0，A和P0分别为切点，如图2.基图2于P点的坐标，可知kPA=0，那么从Rt△OAP当中可解出∠OPA=30°.根据对称性，可得∠OPP0=30°，那么∠APP0=60°.综合分析，直线l倾斜角相应取值范围为0，π3.

这种将数形结合思想渗透到解析几何教学内容当中的教学方法，可调动学生高昂的数学学习兴趣，并直观感知数学知识，深化理解有关内容，厘清自身学习思路，关注问题思考，灵活应用有关知识内容，不断提升课堂学习质量与效率.

二、划归思想应用于解析几何教学，提高教学有效性

化归思想也叫转化与归结思想，也是重要的数学思想方法，其本质是使问题从陌生转化到熟悉、从复杂转化到简单、从抽象转化到具体.在所遇到的数学问题无法通过现有方式加以解答期间，可适当进行转化，使答题难度有所下降，进而更容易、有效的解决有关问题.比如在《圆的方程》教学中，高中数学教师就可合理应用化归思想.

例3 圆的方程为：（x-2）2+（y-2）2=2，点P分布在圆上，设坐标为（x，y）.求x+y和yx取值范围.

要解答此题，就要求学生了解题目中代数式x+y以及yx的内在意义.若x+y=t，则可将x+y涉及到的取值范围进行转化，具体是在圆和直线两者存在交点的时候，y轴上直线所保持截距相应取值范围;若y-0x-0=k，则此时可将yx取值范围进行转化，即圆与直线存在交点的时候，直线斜率涉及到的相关取值范围.在化归思想应用下，之前复杂的问题变得简单.

从已知条件可以看出圆心坐标是（2，2），半径为2，若x+y=t，则可得x+y-t=0.因为P点分布于圆上，圆与所有直线均存在交点，直线与圆心间距小于等于圆半径，此时可利用点到直线之间的距离公式计算，得到2+2-t12+12≤2，然后求得2≤t≤6.以同样方法可求得2-3≤k≤2+3.

将化归思想应用到解析几何当中，可使数学问题更快、更好的获得解决，同时还有利于学生深刻理解并掌握有关数学知识，使数学教学质量和效率显著提升.

三、分类讨论思想应用于解析几何教学，锻炼学生逻辑思维

分类讨论思想在数学思想中也是属于重要组成部分，目前在高中数学教学期间应用相对普遍.在对数学问题进行探讨时，可基于有关标准实现分类，之后按照类别实现深入探讨，进而得出结论.分类讨论思想其本质是分解整体问题，之后再逐个击破，以顺利的实现问题解答.简单地说，分类讨论思想提倡先将问题化整为零，之后在单独分析与突破，最终实现集零为整，以此把不能准确把握的问题划分成可以直观入手的若干小问题，最终对问题进行清晰明了的解决，获得最后答案.将分类讨论思想应用到解析几何教学当中，可使学生从整体层面看待问题，培养学生严谨的思维习惯.比如，在直线方程教学期间，教师可将分类讨论思想渗透到例题教学中，以培养学生对问题的整体思考，并通过分类讨论思想顺利解答题目.

例4 平面直角坐标系中，A、B、C、D四点构成矩形，AB落在x轴正半轴，且AB=2，AD落在y轴正半轴，同时A点坐标与原点重合，BC=1.现折叠矩形，使A点落在线段DC上，若折痕所在直线的斜率为k，求折痕所在直线的方程.

在对这一问题进行解答期间，要先分析已知条件，对折痕所在直线涉的斜率进行解析，此时可分为两种情况进行讨论，分别是k=0和k≠0.

首先分析k=0情况下，A点D点保持重合，那么折痕所在直线相关方程为y=12.在k≠0情况下，矩形折叠后，A点落在CD线段上，设为M，其坐标为（a，1），此时以折痕所在直线为中心，A、M两点保持对称，可得kAM·k=-1，再次求解得到a=-k，此时M点坐标为（-k，1）.设N为AM线段中点，那么其坐标可表示为（-k2，12），求解可得折痕所在直线的方程是y=kx+k22+12.综上，在k=0的情况下，y=12;在k≠0的情况下，y=kx+k22+12.

此题目中实现直线方程求解期间，要对位置关系、斜率存在以及截距相等情况下斜率等不等于0进行分类讨论.若没有应用分类讨论思想，学生在解题中容易忽略k=0情况，进而影响到正确结果.解析几何教学中，教师通过为学生传授分类讨论思想，能够帮助学生建立正确的解题思路，强化解题能力，提升教学质量与效率.

将数学思想方法渗透于解析幾何教学当中，能够使学生更加有效、深刻的理解与学习数学基础知识，提升知识应用效果，掌握正确学习方法，不断提高个人综合素质和数学学习能力.因此，高中数学教师要正确认识各种数学思想方法，并积极通过有效策略将数学思想方法有针对性、有目的的应用到解析几何教学中，以全面提升教学效率及教学质量，使学生更加轻松、简单的学习数学知识.  参考文献：

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[责任编辑：李 璟]