浅谈平面向量数量积中的一题多解教学

刘春

摘要：著名数学教育学者波利亚在其著作《怎样解题》中说过：“掌握数学意味着什么？就是说善于解题。”[1]他认为中学教学的首要任务就是“加强解题的训练”，甚至美国数学教师联合会把解题提高到了“学校数学核心”这一高度。而“一题多解”可以开阔学生思路，发散学生思维。尤其是平面向量自2000年回归高考后，数量积求法问题就一直是高考选填题中的热点内容，经常处于压轴题位置。而学生掌握情况不尽如人意，因此笔者将以19年天津高考卷（理）14题的教学为例，浅谈一题多解在教学中的应用。

关键词：一题多解;数量积;图形;建系

题干：在四边形ABCD中，AD//BC，，AD=5，∠A=30°，点E在线段CB的延长线上，且AE=BE，则_____________.

关于本题教学过程如下：

问题1：数量积求值的方法有哪些？

生1：定义法 投影法

生2：特值法

生3：向量分解法

生4：坐标法

生5：利用极化恒等式

问题2：这道题不适宜用哪些方法？说明理由

生6：不适用定义法，因为目标向量模长夹角均不清楚

生7：也不适用投影法，目标向量关系太模糊，投影不容易看出来

生8：亦不适用极化恒等式法，两向量所在的有向线段起点不重合，并且移到同一起点后终点连线所在有向线段模长也不是定值

生9：该题干具有太多数量关系，几何关系，相互制约，不宜特殊化

师：同学们回答的都很好，数量积的求值方法是很多的，但是对于特定的题目我们要找到最适合他的方法就需要我们清楚每种方法下所对应的典型条件

问题3：回到这个问题本身，当你看到题干中如此多的数量和几何关系，你的第一想法是什么？

学生齐答：画图

师：看来同学们都很有数形结合的思想，那么现在请同学们在草稿本上画出图形

教师巡视，并搜集情况，发现大家的作图方式大概有如下两种

问题6：

使用向量分解法如何求解？其理论依据是什么？适用于这个题吗？

师：向量分解法主要用于处理当目标向量关系（模长关系，夹角关系）不明确，可依据平面向量基本定理，将目标向量用基底表示出来，把目标向量的数量积问题转化成为基底间的数量积问题

问题7：本题中你会选取哪两个向量作为基底？原因是什么？

生10：我会选取作为基底，原因是的模长和角度都是已知的

师：那请你在黑板上板书你的过程

学生板书如下

此时有学生“蠢蠢欲动”，教师继续提问

师：你还有别的分解方法吗？

生11：可以不分解向量，只将向量分解成为，因为与间的夹角和他们的模长都是清楚的

教学反思

1.教师要少讲精讲

一题多解的教学尽量做到“一题一课”，题目不宜过多，要让学生既见树木，又见森林，一题多解主要是从不同的角度进行思考，而角度的确定需要老师做一定的引导，比如案例中的问题1和问题2，不能瞎想，思考要有依据。

2.學生要参与进来

问题是课堂教学的心脏，解决问题就是课堂教学的过程[2]，问题的提出大多数情况下由老师来完成，但问题的解答，思考问题的过程都一定要让学生来完成，比如课堂上让学生上黑板来写，以此保留多个同学的解题思路，拒绝只有学优生唱独角戏，并通过对比各种方法的异同点，让学困生有思路，培养其学习的自信心与热情。

参考文献：

[1]G.波利亚.怎样解题[M].涂泓.上海.上海科技教育出版社.2018

[2]乔荣凝.阳光教师的学思课堂[M].北京.北京师范大学出版社.2021.