看似无圆 实则有圆

摘 要：圆的知识点是初中数学图形知识的一个重要组成部分，在中考中占据很大的比重。在研究考查内容中发现，习题中对于圆的“隐”性考查较为频繁，但是由于学生难以充分地挖掘出隐含条件，以至在解答问题时困难重重。针对这一问题，本文将分析在考试中出现的各种“隐”圆问题，并论述其特点。

关键词：“隐”圆;初中数学;教学策略

中图分类号：G427                                 文献标识码：A                                        文章編号：2095-9192（2021）06-0056-02

引  言

在初中数学考试中，圆知识点一直是重点考查的内容，且考查的方式也在不断变化，对学生学习能力有更高的要求，其中最为重要、考查力度大的是“隐”圆问题。该类问题的难点是如何快速破解题意，找到圆。因此，如何读取问题，挖掘条件，将圆化“隐”为“显”，是主要的解题方向，也是教师教学的重点。

一、借助圆的定义，构造辅助圆

例1：已知∆ABC，在∆ABC外一点D，使得AB=AC=AD，其中∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，求∠CAD的度数。

简析：通过已知条件发现：AB=AC=AD，所以构造一个以点A为圆心，AB长为半径的圆，其中点B、C、D都在圆上，如图1所示。在圆A中，根据圆周角定理：在同圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，所以∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，又因为∠CBD=2∠BDC，所以∠CBD=∠BAC=44°，所以∠CAD=88°.

评析：在这类题中主要是根据圆的定义“到定点距离等于定长的点的集合是圆”构造隐圆，从而将直线形中的角度问题转化为圆形的角度问题，即根据圆周角定理来进行角度的转化。

二、借助同斜边的直角三角形，构造辅助圆

例2：如图2所示，在中Rt∆ABC，∠ABC=90°， ∠ACB=30°，在Rt∆ADC中，∠ADC=90°，∠ACD=45°， 若BD=8，则AB为多少？

简析：因为∠ABC=90°，∠ADC=90°，所以A、B、C、D四点共圆。如图3所示，以AC为直径作圆，则∠ABD=∠ACD=45°，∠ADB=∠ACB=30°。如图4所示，作DE⊥BA延长线，垂足为点E，在DE上取点F，使得DF=AF，在Rt∆ADE中，∠ABD=45°，BD=8，可得BE=DE=，∠ADF =∠BDE-∠ADB=45°-30° =15°。因为AF=DF，则∠FAD=∠ADF=15°，所以∠AFE=30°。设AE=x，则AF=DF=2x，EF=x，所以DE=x+2x=，解得x=-，所以AB=BE-AE=.

评析：本题通过同斜边的直角三角形顶点共圆来构造辅助圆，运用“在圆内，直径所对的圆周角为直角;如果圆周角为直角，那么它所对的弦是直径”来构造辅助圆，然后利用圆周角定理，进行角的转化，使已知角和线段集中在同一个三角形中，再通过构造直角三角形，运用方程思想列等式解题。本题也可以用“一组对角互补的四边形顶点共圆”构造辅助圆。

三、借助圆的半径相等，构造辅助圆

例3：如图5所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得∆AOP是等腰三角形，则这样的点P共有多少个？

简析：由于本题等腰三角形的腰与底边不确定，所以需要分情况讨论。如图6所示，第一种情况：OP=AP。这种情况只需做OA的中垂线即可，中垂线与坐标轴的两个交点P1、P2即为所求的点。

如图7所示，第二种情况：OA=AP。以A为圆心， OA长为半径构造圆，圆与坐标轴的两个交点P3、P4即为所求的点。

第三种情况：OA=OP。依然采用作圆的方式，以点O为圆心，OA长为半径作圆，圆与坐标轴的四个交点P5、P6、P7、P8即为所求的点。综上所述，P点共有8个。

评析：在这类题中主要根据“圆半径相等”构造隐圆，利用“两圆一中垂线”寻找与坐标轴的交点，从而确定等腰三角形的个数。

四、借助定弦定角，构造辅助圆

例4：已知在等边三角形ABC中，AB=4，点D、E分别为BC、AC上的点，且BD=CE，AD与BE相交于点P，求CP的最小值。

简析：因为∆ABC为等边三角形，所以AB=BC， ∠C=∠ABD=60°，又因为BD=CE，所以∆ADB≌∆BEC.

又因为∠APE=∠BAD+∠ABE，所以∠APE= ∠CBE +∠ABE=∠ABC=60°，又因为∠BAD= ∠CBE， 所以∠APB=120°.

因为AB定长，∠APB=120°定角，满足“定弦定角”模型，如图8所示，易得∠AOB=120°，点P的运动轨迹就是以O为圆心，OA为半径的圆弧AB，所以当O、P、C三点共线时，CP取得最小值.

在等腰三角形OAB中，AB=4，∠AOB=120°，易得OB=，在Rt∆OBC中，∠BOC=60°，易得OC=，所以CP=OC-OP=.

评析：∠APB始终为120°，再有定线段AB，直接就由“定弦定角”构造隐圆。本题CP的最小值问题则转化为点与圆之间的最值问题[1]。

五、解题能力的培养

通过对上述四类问题的解析发现，“隐”圆问题考查的范围较广，但是在构造圆的过程中，所运用的都是圆的性质与定义。因此，在平时教学中，教师应注重培养学生的隐圆解题能力。第一，帮助学生建立常见的隐圆模型，把握住条件中的固定形式，熟悉隐圆模型，有利于学生形成几何直观能力，快速构造隐圆[2];第二，加强圆基础知识的关联特性，抓住圆的性质、定理等内容，用整体性教学法寻找圆与直线形几何的关联性;第三，锻炼学生用多种方法解题的习惯，使其注重积累。以上三点教学建议，是加强教学的重要手段，能帮助学生在面对“隐”圆问题时，快速地找到解题的方法[3]。

结  语

隐圆问题的类型还有很多，文中所列的隐圆类型是常考类型。上述四类问题，从表面上看似乎与圆无关，但如果学生能深入挖掘题目中的隐含条件，善于联想所学定理，巧妙地构造符合题意特征的辅助圆，再利用圆的有关性质来解决问题，往往能起到化隐为显、化难为易的解题效果。

[参考文献]

姜黄飞.看似无圆却有圆 盘点“隐圆”那些事[J].数理化学习（初中版），2019（10）：3-5+40.

马艳萍，许峰.牢记形式 不惧隐圆[J].中学数学教学参考，2019（27）：65-66.

栾菊.利用“隐圆”模型优化解题策略[J].课程教材教学研究（中教研究），2020（Z6）：46-47.

作者简介：龚琼莹（1982.3-），女，福建泉州人， 石狮市实验中学九年级数学备课组长，中学一级教师，2015年在石狮市首届中学教师教学技能比赛中，荣获初中数学组二等奖。