反比例函数的图象与性质的应用举例

王永琼

摘 要：反比例函数的图象和性质是初中函数的重点内容，学生在学习反比例函数时相对一次函数有一定难度，主要是反比例函数自变量的取值范围受到了限制，导致函数图象的不连续性，出现了两个分支.因此，在解决问题的时候，要注意到数与形的结合，以及分类讨论问题.本文主要研究反比例函数的图象与性质的简单应用.

关键词：反比例函数;图象;性质

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）14-0008-02

反比例函数的图象与性质的应用，是在学生学习了正比例函数、一次函数，以及反比例函数的概念后，在此基础上进行简单应用.如何应用图象和性质解决问题，学生还是存在一定的困难，也易出错.下面列举五个方面的应用，解决学生学习了反比例函数的图象与性质后的简单应用问题.

一、根据反比例函数的图象性质，确定k值的取值范围

例1 在反比例函数y=k-1x的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是.

分析 根据反比例函数的性质可知，当反比例函数的系数大于0时，在每一个象限内，y都随x的增大而减小，可得k-1>0，从而得k的取值范围k>1.

点评 本题考查了反比例函数的性质：当k>0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小;当k<0时，在每一个象限内，y随x的增大而增大.熟练掌握反比例函数的图象与性质是解答本题的关键.

二、反比例函数图象的对称性

反比例函数y=kx的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形.对称中心是原点，对称轴是直线y=x和图1直线y=-x.

例2 如图1，已知直线y=mx与双曲线y=kx的一个交点A的坐标为（3，4），则它们的另一个交点B的坐标是.

分析

根据反比例函数与正比例函数的图象都关于原点成中心对称，可知由两函数图象组成的图形是中心对称图形，所以两图象的交点关于原点对称.

解 ∵点A与B关于原点对称，∴B点的坐标为（-3，-4）.

点评

本题考查了反比例函数图象的对称性，利用对称性可知，两图象的交点关于原点对称，已知一个交点坐标，即可求另一个交点的坐标.

三、反比例函数值大小的比较

反比例函数值大小的比较，常用的比较方法有三种：①代入求值比较法;②性质法;③图象法.利用第二种性质法比较时，要注意涉及到的点要在双曲线同一分支上，才能用增减性比较函数值大小.

例3 已知A（2，y1），B（-3，y2），C（-5，y3）三个点都在反比例函数y=k2+1x的图象上，试比较y1，y2，y3的大小.

分析 本题有三种解决方法.

方法一 直接代入求值比较.由于反比例函数y=k2+1x中系数k2+1>0，可直接把x1=2，x2=-3，x3=-5代入函数关系式分别求出y1，y2，y3，即可得答案y2<y3<y1.

方法二 利用性质比较，要注意到点A，B，C不在双曲线同一分支上，不能直接用性质法比较y1，y2，y3的大小，而B（-3，y2），C（-5，y3）在双曲线同一分支上，且在第三象限，可用增减性比较大小，当k2+1>0时，在每个象限内，y随x的增大而减少，由-3>-5，即可得到y2<y3<0，又x1=2时y1>0，即可得答案y2<y3<y1.

方法三 图象法，由k2+1>0，可知双曲线两分支分别在第一、三象限，画出草图，再根据各点的横坐标判断出点所在双曲线的大致位置，进而通过图象知道对应的函数值y的大小，即可得出结论y2<y3<y1.这个方法是三种比较方法中最简单的一种.

点评

这道题考查了反比例函数值大小的比较，需熟练掌握反比例函数的图象和性质，熟练应用三种比较大小的方法.在用性质比较法时，若涉及到的点不在双曲线同一分支上，直接用性质比较，则会导致解题出错，这也是学生容易出错的地方.

四、反比例函数中系数“k”的几何意义

过反比例函数图象上的任意一点P作x轴、y轴的垂线则①两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积等于k;

②所作垂线、x轴（或y轴）与线段OP围成的三角形的面积等于12k.

反之亦成立，常应用几何意義来确定反比例函数的解析式或进行相应面积的计算和比较.

例4 如图2，直线l⊥x轴垂足为点P，且与反比例函数y1=k1x（x>0）及y2=k2x（x>0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则k1-k2的值为.

解 ∵据反比例函数“k”的几何意义可知：S△AOP=k12，S△BOP=k22 ，

∴S△AOB=k12-k22=2，∴k1-k2=4

点评 这道题考查反比例函数中系数“k”的几何意义，利用数形结合思想解题是本题的解题关键.

五、反比例函数与一次函数的联系

反比例函数与一次函数的综合应用中，常常涉及到求两个函数的解析式、交点、面积，以及比较两函数值大小的问题.

（1）求函数解析式，常用待定系数法解决.

（2）求函数图象的交点，可把两函数解析式联立在一起得方程组，方程组的解，即为两函数图象的交点坐标. 若一次函数是特殊的正比例函数，已知一个交点的坐标，利用对称性可直接得另一个交点坐标.

（3）求三角形面积.

若三角形有一边在坐标轴上，或平行于坐标轴的直线上，则选择这条边为底，可直接求面积.否则，利用割补法，过三角形的一个顶点作平行（或垂直）于x轴或y轴的直线，把三角形割补成上述情况求解.

（4）比较两函数值的大小.

利用图象法解决.先求出两图象的交点坐标，再过交点作x轴的垂线（或y轴的平行线），把整个图象分为四个区域，在每个区域内根据自变量的取值范围分类讨论，图象在上方的函数值大，下方的函数值小，从而得出结论.

例5 若A（-4，n），B（2，-4）是一次函数y=kx+b和反比例函数y=mx的图象的两个交点.

（1）求反比例函数和一次函数的解析式;

（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积;

（3）观察图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围.

详解 （1）∵把B（2，-4）代入y=mx ，得 m=-8

∴反比例函数解析式为y=-8x

∵把A（-4，n）代入y=-8x，解得n=2，把A （-4 ，2），B（2，-4）分别代入y=kx+b可解得k=-1，b=-2.

∴一次函数的解析式为y=-x-2

（2）∵当y=0时，-x-2=0 ，解得x=-2，∴点C坐标为（-2 ，0）

∴S△AOB=S△AOC+SBOC=12×2×2+12×2×4=6

（3）由图象得，当-4<x<0或x>2时，反比例函数值大于一次函数值.

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、求坐标系中三角形面积问题、两函数值大小比较等，注意掌握数形结合的思想方法，方程思想的应用，利用数形结合的思想解题是本题的解题关键.

总之，在解决反比例函数的图象与性质的应用问题时，需要我们掌握好反比例函数的定义、图象和性质，利用数形结合思想解题是解决问题的关键.以上五个方面的简单应用列举，在反比例函数的图象与性质的应用中考查到的频率比较高，注意把握好解决这几种应用问题的方法技巧，并灵活的加以应用，从而提高自己分析问题和解决问题的能力.

参考文献：

[1]杨金洪.初中数学反比例函数的研究[J].中学课程资源，2020（02）：66-68+32.

[2]王芳.“反比例函数”错解剖析[J].中學生数理化（初中版），2020（12）：6-7.

[3]荆建春.对一道反比例函数压轴题的研究[J].中小学数学（初中版），2020（11）：27-28.

[4]祝明基.一道中考反比例函数试题的解法探究[J].数学教学通讯，2020（23）：81-82.

[责任编辑：李 璟]