“圆”来如此简单

摘 要：解决“直线型”图形问题，如果巧作“辅助圆”，结合图形性质和圆周角定理等，能够收到事半功倍的效果.

关键词：辅助圆;图形解题;案例释法;优先解法

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）14-0010-02

收稿日期：2021-02-15

作者简介：黄磊（1980.6-），男，江苏省泰兴人，本科，中学一级教师，从事初中数学教学研究.

面对一些“直线型”图形问题，如果忽视图形的几何特征，直接解答往往会增加出错的可能.但是，如果注意挖掘和利用其中的一些隱藏条件，巧作“辅助圆”，往往能简便地解决问题.

一、问题引入，对中考题四种解法的教学反思

泰州中考数学卷案例：第25题.已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC.若点P在线段AB上，如图1，设AB=a，BP=b.当EP平分∠AEC时，求a∶b及∠AEC的度数.

本题当年中考得分率较低，主要失分点是有好多同学第一问就求不出a：b，或者在求出a：b后，绝大多数考生被卡在第二问“求∠AEC的度数”上.

事实上，从参考答案中的解法可以看出，命题者是把这一问作为一个难点来设置的.需设AB、CE交于点G，先证出a∶b=2∶1，得到a=2b.经汇总考卷参考答案、笔者解法和所教学生的解法，加在一起共有4种解法.

第一种：考卷参考答案的解法.

因为EP平分∠AEC，EP⊥AG，所以AP=PG=a-b，BG=a-（2a-2b）=2b-a，因为PE∥CF，所以∠PEG=∠BCG.又∠PGE=∠BGC，所以△PGE∽△BGC.所以

PE∶BC = PG∶GB.即b∶a=（a-b）∶（2b-a）， 解得a=2b.

过G作GH⊥AC，垂足为H.如图2，因为∠CAB=45°，所以HG= 22AG=22×（22b-2b）=（2-2）b.

又BG=2b-a=（2-2）b， 所以GH=GB，又GH⊥AC，GB⊥BC，再证明△HCG与 △BCG全等，所以∠HCG=∠BCG，因为PE∥CF，所以∠PEG=∠BCG，所以∠AEC=∠ACB=45°.所以a∶b=2∶1，∠AEC=45°.

教者评析 此解法综合运用了等腰三角形的性质定理、角平分线性质定理的逆定理，及相似三角形和正方形的性质等，但过程繁琐，考生拿到题目也不容易想到辅助线的作法.

第二种：所教学生的解法.

连接BE，

a=AB=2b，BE=2b，

∴AB=BE，又∠ABE=45°，∴∠EAG=67.5°.在△AEG中，∠AEG=180°-2×67.5°=45°.

教者评析 此法在求∠AEC的度数时，综合用到正方形的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等.

第三种：所教学生的解法.

连接BE，∵∠EBF=45°=∠BCE+∠BEC，BC=BE，∴∠BCE=12∠EBF=22.5°.

∵PE∥CB，∴∠PEG=∠BCE=22.5°.

∴∠AEG=2∠PEG=45°

教者评析 此法综合用到三角形外角的性质、等腰三角形性质定理、平行线的性质.第四种：笔者的解法.

同样先连接BE.

∵BC=BA=BE，以B为圆心，BC长为半径作圆B，∴∠AEC=12∠ABC=12×90°=45°.

教者评析 总结反思上述4种解法，对比之下发现最简洁的思路还是解法4.

二、“辅助圆”应用的情境分析

1.江苏常州中考数学模拟卷案例一

如图3，直线y=x+b（b>0）与x、y轴分别相交于A、B两点，点C（1，0），过点C作垂直于x轴的直线l，在直线l上取一点P，满足PA=PB，点A关于直线l的对称点为点D，以D为圆心，DP为半径作⊙D.其中第 （3）小题，请试说明：直线BP与⊙D相切.

教者分析 回答第（3）小题，如果按照一般思路，要证直线BP与⊙D相切，只要证BP⊥PD.要证BP⊥PD，大多数人的思路是：过点B作直线l的垂线，通过证明三角形全等来证明∠BPD=90°，而证明三角形全等的条件又不齐备，还需证明PC=OC=1，解题过程非常繁琐.仔细分析题目条件，如果结合图形的性质加以解决，则可找到证明∠BPD=90°的简便方法：因为点D是点A关于直线l的对称点，所以根据轴对称图形的性质可以得到PA=PD，再结合已知条件PA=PB，所以PA=PD=PB.以点P为圆心，PA的长为半径作⊙P，则点A、点B和点D都在⊙P上.根据∠BAC=45°，由圆周角定理便能快速证到∠BPD=90°，从而证得BP⊥PD，所以直线BP与⊙D相切.

2.江苏常州中考数学模拟卷案例二

在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（-6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为.

教者分析 本题直接求解较难，但如果注意到题目中的关键条件“∠BCA=45°”，可以把∠BCA看作圆周角，构造以AB为弦，且弦AB所对圆心角为90°的圆：以AB为斜边作等腰直角三角形——△ABP（有两种可能：直角顶点P在x轴上方（如图4）或直角顶点P在x轴下方（如图5），以点P为圆心，PA的长为半径作圆，⊙P与y轴的交点即为符合条件的点C，故点C也有两种可能的位置），过点P作PE⊥x轴，PF⊥y轴，垂足分别为E、F，进而结合题目条件，利用垂径定理和勾股定理求得点C的坐标.

不难发现，“辅助圆”应用题型中的隐藏条件，具有3类共同特征：一是图中包括几条共有端点的相等线段;二是图中含有90°、45°的角或者其他倍角关系的角;三是图中有对角互补的四边形，可利用四点共圆来解题.如果题目条件具备以上三点特征，就可以考虑是否需要构造“辅助圆”，问题解决相应也简洁快捷得多，让人感叹“圆”来如此简单.

参考文献：

[1]郑惠容.巧构辅助圆 妙解几何问题[J].数理化解题研究，2020（01）：18-19.

[责任编辑：李 璟]