“动静法”解函数背景下几何最值问题

摘 要：中考不仅有选拔功能，也有反馈功能，教师可以通过中考试题以及中考改编题发现学生的认知水平，从而为指导教学提供依据.“动静法”解函数背景下动态几何最值问题，特别是动态下三角形面积最值问题，考虑用三角形的面积等底乘高的一半，或者铅垂高水平宽的一半.这类综合题是初中重点知识、思想方法的考查范围，能从不同角度充实、优化学生的认知结构，是平时教学中的优质例题，具有良好的教学价值.

关键词：动静法;几何最值;底乘高的一半;铅垂高水平宽的一半

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）14-0012-02

收稿日期：2021-02-15

作者简介：张春花（1989.3-），福建省莆田人，硕士，中学二级教师，从事数学教学研究.

一、题目呈现

如图1，抛物线y=x2-x-4与直线y=-2x+2交于A、B两点，

直线与y轴、x轴的交点分别为点E、点F.直线AB下方的抛物线上有一动点P，记点P的横坐标为t.当△ABP的面积最大时求t的值，并求出△ABP面积的最大值.

二、特色解读

题目简约，内涵丰富，指向核心素养.

现在人的眼里，简单即是美，体现在数学题目上也一样.本题图像简单唯美，文字简约，体现数学的简约美.简约外形下对动态下求三角形面积最大值这一核心问题考查到位，而且此题考查函数背景下的几何最值问题，具有较好的延展性，题目不变，可以把问题变式为求线段最短，求三角形周长最短等等，可以从多角度变式探究，此题不失为一道内涵丰富的课堂例题.

本题以二次函数为载体，综合考查了初中阶段“图形与几何”“数与代数”的重点知识：二次函数，一次函数，相似三角形，三角函数等，不仅为高中学习二次函数奠定了基础，也对学生的思维发展产生了积极作用.

三、解法欣赏

由已知条件中抛物线与直线交于A、B两点，联立直线与抛物线的解析式可以求出点A、B的坐标，进而根据两点之间的距离公式得到A、B两点间的长度;由已知条件中直线与y轴、x轴的交点分别为点E、点F，根据直线的解析式可以求出点E，点F的坐标，进而求出OE=2，OF=1，EF=5，这样我们就得到直角三角形EOF是确定的，这些都是本题的定量条件;由已知直线AB下方的抛物线上有一动点P，记点P的横坐标为t，则动点P的坐标满足抛物线的解析式，从而得到P的坐标为P（t，t2-t-4），又动点P在直线AB的下方，这样可以得到t的范围在A、B两点的横坐标之间，这是本题的變量条件.

分析完本题的条件，再来看本题的问题，当△ABP的面积最大时求t的值，并求出△ABP面积的最大值.通过分析已经知道AB的长度，从静态视角下考虑只要找到AB边上的高长度最大时所对应的点P即可.从动态视角下考虑可以利用相似或三角函数转化表示出AB边上的高DP关于变量t的关系式，也可以考虑利用“化斜为直”转化.

1.静态法——利用直线平移，化动为静

思路分析 要求△ABP面积的最大值，AB的长度固定，只要找到点P到直线AB的距离最大值即可，将直线AB进行平移，很明显平移到直线与抛物线只有一个交点的时候，即直线与抛物线相切时的切点P到直线AB的距离最大.联立直线与抛物线的解析式，根据Δ=0得到k的取值，进而得到切点P的坐标.解法1 利用直角三角形求面积

由于A，B，P三点的坐标都已知，根据两点的坐标公式可以得到AB，AP，BP的长度，通过勾股定理的逆定理可以得到此时△ABP是直角三角形，利用直角三角形的面积公式可以求得t=-12时△ABP面积的最大值为1258.

解法2 利用“化斜为直”求面积

因为A，B，P三点的坐标已经求出来了，所以可以利用“割补法”求出ΔABP的面积.采用割法——“化斜为直”利用三角形面积等于铅垂高与水平宽乘积的一半来求，前面求A，B，P三点的坐标同解法1，过点P作CP∥y轴交直线AB于点C，根据直线的解析式可以得到点C的坐标，根据两点的坐标公式可以得到CP长度，利用三角形面积等于铅垂高（CP长度）与水平宽（A，B两点的水平距离）乘积的一半可以回答本题的问题.

2.动态法——构造函数法

思路分析 从动态角度思考这道动点问题，根据ΔABP的面积等于底乘高的一半，已知AB长度，只要用变量t表示AB边上的高DP即可，考虑利用相似，锐角三角函数把变量CP的长度转化成DP的长度.

解法1 利用相似构造函数

过点P作CP∥y轴交AB于C，DP⊥AB交AB于D，因为点C，P的横坐标相同，且点C在直线y=-2x+2上，所以Ct，-2t+2，进而得到CP的长度，利用△CDP与ΔEOF相似转化得到DP与CP的数量关系，进而得到DP关于t的二次函数，然后根据三角形的面积等于底乘高的一半就成功的构造出△ABP的面积关于t的二次函数，最后利用二次函数的性质回答本题的问题.

解法2 利用三角函数构造函数

因为解法1中两个相似三角形是直角三角形，所以可以考虑利用锐角三角函数转化，由于DP与CP是∠PCD的对边与斜边的关系，所以考虑用锐角正弦三角函数转化.解题过程同解法1一样，只是在求DP与CP关系式时用正弦三角函数转化，同样得到DP关于t的二次函数.

解法3 利用“化斜为直”构造函数

解法1，2是根据△ABP的面积等于底乘高的一半，利用相似，三角函数把变量CP的长度转化成DP的长度求解，解法3考虑把△ABP的面积“化斜为直”直接利用CP（铅垂高）的长度求面积.△ABP的面积等于铅垂高（CP长度）与水平宽（A，B两点的水平距离）乘积的一半.

四、教学导向

“动静”视角思考函数背景下几何图形中含有“动态”元素题

函数背景下几何最值问题，一题多解，可以提高同学运算能力，拓宽解题思路，对于几何图形中含有“动态”元素（点，线段等）的问题一般都有两种视角思考的思路，视角1静态下数形结合找到题目中要的动态元素位置;视角2动态下通过线段，面积等建立“动态”元素间的函数关系，用函数思想来处理，然后利用函数的性质求出限制条件下的最值.

怎样构造函数表达式？解决步骤：一、根据题意和几何图形的性质对所给条件进行转化，合理设置参数，将点坐标转化为线段长;二、合理利用面积，特殊图形（如直角三角形、矩形、圆等），特殊关系（如全等、相似、三角函数、勾股定理）将这类问题转化为函数问题;三、利用函数性质求解.

“动静法”除了可以解决三角形面积最值外，还可以求解线段长、三角形或者四边形的周长最值.此题的问题是求△ABP的面积最大时t的值，并求出△ABP面积的最大值，题目不变，对问题进行变式，变式一：过点P作CP∥y轴交直线AB于点C，求CP最小时t的值，并求出CP的最小值;变式二：过点P作DP⊥AB交AB于点D，求DP最小时t的值，并求出DP的最小值;变式三：求△CDP周长最小时t的值，并求出△CDP周长的最小值等等变式，可以做多角度变式探究，这些变式题的做法都可以从以上总结的“动静法”两种视角思考.

参考文献：

[1]罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版总社，2016.

[2]庞彦福.初中数学有效教学[M].北京：北京师范大学出版社，2015.

[责任编辑：李 璟]