Loewner理论100年[Ⅰ]

吴牮

摘要：由著名数学家Charles Loewner在上个世纪二十年代创立的Loewner理论已有近100年的历史，该理论深刻而优美，它是单复变函数几何理论的重要组成部分。以Loewner理论为基础形成的Loewner方法作为一种强有力的分析技巧，近100年来不断地在几何函数论的极值问题、控制理论、随机过程及统计物理、断裂力学等领域发挥着重要作用，焕发出强大的生命力。在参阅相关文献的基础上并结合笔者自己的一些工作与体会，对该理论及其早期发展应用的主要成果、相关学者的贡献作一个较为粗浅的总结与评述。

关键词：Loewner 微分方程 ;单叶函数 ;裂纹映射 ;极值问题

一、分析學家Charles Loewner

Charles Loewner（Ch. 勒夫纳），著名的美籍捷克数学家，早期在捷克时曾用姓名Karel Löwner ， 在德国时曾用姓名Karl Löwner。 1893年5月29日， Loewner出生于捷克共和国一个犹太商人家庭，其家在离布拉格约30公里的拉尼镇，其父亲Sigmund Löwner在镇上经营着一家店铺. Loewner于1917年即获得布拉格大学数学博士学位，导师是著名的数学家Georg Pick。取得学位后他主要以教师为职业，先后在柏林大学、布拉格大学、路易斯维尔大学、布朗大学、叙拉古大学、斯坦福大学任职，于1968年1月卒于美国斯坦福。Loewner专长于经典分析，研究工作涉及复分析、泛函分析、李群与半群理论，早年即在单复变几何函数论的Bieberbach猜测（比伯巴赫猜测）的研究中取得重大突破——用其独创的基于所谓Loewner微分方程的参数表示法证明了关于S族单叶函数的系数不等式|a3|≤3成立。由于众所周知的原因，和许多犹太人一样他从欧洲移居到了美国，移居美国后把姓名改为Charles Loewner。在战乱年代客居他乡，Loewner经历了不少的艰辛，例如：作为一个颇有名望的学者为了生活却不得不四处奔波谋取普通教师职位，由于美国当时许多学校研究水平并不高（注：与欧洲相较而言），一般高校数学系很少开设高级的研究水平的课程，故初到美国时Loewner只能屈就低薪讲授大量的初级课程，每周授课学时竟高达24小时，后来在少部分有兴趣的学生要求下，才无薪义务地讲授一些高级课程。不管怎样，其一生从教50年，悉心培养出了不少优秀学生，日后卓有建树的如：Lipman Bers， Roger A. Horn， Adriano Garsia，特别值得一提的是我国四川大学已故数学家蒲保明教授即是Loewner在叙拉古大学执教时的博士生。（参[1]、[2]）

二、Loewner基本定理

Loewner早年专攻函数论，在几何函数论方面颇有建树。周知，进入二十世纪后古典复分析有了多方面的突破与进展，其中发端于复平面上共形映射原理的几何函数论的快速发展尤其引人注目，几何函数论的中心课题之一是Bieberbach猜测：即对于标准化后的S族单叶函数，其幂级数的系数满足：|an|≤n。L.Bieberbach（比伯巴赫）本人在1916年只证明了|a2|≤2，以后再无进展，直到1923 年Loewner发表了其著名的|a3|≤3的证明，但其论文中最要紧的是包含了以Loewner微分方程刻画复平面上单裂纹区域族的一个定理，现习称为Loewner基本定理（见[3]、[4]、[5]），该定理用当前通行的术语简介如下。

记复平面上单位圆盘D={Z|：|Z|<1}上定义的，满足f'（0）=f'（0）-1=0 的全体单叶解析函数构成族S，S的一个子族SL，即单裂纹族，意即任意f（z）∈SL，将单位圆域D映为，C为开复平面，为从有穷远点W0到∞的Jordan弧，如图1所示。

原始的Loewner理论主要是对一特定的裂纹映射f（z）∈SL引入实参数，当参数连续变化时，依参数和裂纹界产生一连续变化的裂纹映射从属族（或称从属链、Loewner链），该从属族可用一偏微分方程进行刻划，其核心思想是利用裂纹族对参数的连续依赖性导出单位圆盘到裂纹区域共形映射的某种局部分析性质，这可以看着是对复平面上单连通区域共形等价一般定性结论的一种进一步定量描述，是一个极深刻和基本的成果。

Loewner的成果一经发表，便迅速确立了该理论在复分析中的重要地位，其重要性表现在以下两方面：

①首先，它是对共形映射基本定理（Riemann映射定理）的重要补充，即在特定区域上定量地描述映射函数的特征，从另一个角度看，该理论在共形映射的具体实现方面，也提供了一种较为一般的处理方法，即将SL中的映射函数通过Loewner微分方程表示成为了半显形式。周知，具体、直接地求出任意两区域间的共形映射函数的通用方法是不存在的，人们退而求其次地给出一些间接的或适用于某类区域的方法，¦£.¦¬.§¤§à§Ý§å§Ù§Ú§ß（戈鲁辛）在其名著[6]中做了归纳，该书第三章所讨论的的几种方法均是共形映射具体实现的较为一般的方法，其中就包括Loewner方法，这些方法应该说都是对以黎曼映射定理为核心的复变函数几何理论的补充和完善。

②.其次 ，裂纹族SL中的函数在族S中是稠密的，鉴于此，用SL中函数去逼近S中的函数，从而由SL中函数的性质通过逼近，刻画出S族函数的性质，以此为出发点，产生出了力量非凡的所谓Loewner参数表示法，自1923年Loewner证明他的系数不等式（，则|a3|≤3）开始直到以后几十年间，各国学者将这种方法应用于几何函数论许多问题的研究，取得极好的效果。1984 年L.De Branges彻底证明Bieberbach猜测，Loewner方法是基础之一，而实际上是其整个证明的最本质、最重要的基础。

如此看来，Loewner理论虽然历来和证明诸如Bieberbach猜测等等有关单叶函数极值问题的研究紧密相关，但从一个更高的层面上看，它实际上应该是对单复变函数几何理论在一个特定方向上的发展与补充，Loewner理论的定位也绝不应该是专为某问题而诞生的一种特殊、专用技巧，它应该是经典复变函数论理论体系中的重要一环。

三、Loewner理论的早期发展及应用

Loewner的理论在1923年以后50年间主要有三个方面的发展，一是对该理论的进一步推广，二是设法求解Loewner方程，三是将Loewner方法应用于单叶函数极值问题的研究。以下就此三个方面做一个简要介绍。

（1）Loewner理论是如此精巧，以至于要对其进行些微的有价值的改造总显得十分困难的。早期的推广最为重要的应该是前苏联专家§±.§±. §¬§å§æ§Ñ§â§Ö§Ó（库法列夫）的工作，他在Loewner理论方面的工作主要是致力于扩张该理论。他依然在复平面上讨论问题，但却在一个高度上以一个更广的视角来理解Loewner理論赖以成立的几何背景，从而进一步发掘出区域核收敛（kernel convergence）这个具有几何特征的分析概念所蕴含的内涵，并以此为重要基础建立了广义的Loewner方程（参[7]、[8]）。而Ch.Pommerenke早年的若干研究工作如[9]、[10]，试图对Loewner方程侧重于从从属原理给出一种更加分析化的描述，但是对Loewner定理本身并无实质性改进。在国内杨维奇在多连通区域上进行了Loewner方程的研究，得到一种Loewner方程在多连通区域上的繁琐推广（参[5]），虽然看不出其有效的实际用场，但在理论上有一定意义。夏道行1959年率先成功地将Loewner理论引入拟共形映射领域（见[11]），这在当时看来是一项相当重要的工作，代表当时国内几何函数论研究水平的新高，也是夏道行当年在调整其研究方向到泛函分析领域之前在复分析方面若干工作的典范和顶峰之作。

②Loewner方程的求解是一个有趣且有价值的研究课题，首先Loewner方程作为一个非线性偏微分方程，研究其解法本身就有意义，另外该方程的特解、通解的几何意义和应用也十分有趣。这方面§±.§±.§¬§å§æ§Ñ§â§Ö§Ó、J.Becker在上世纪40年代、70年代的工作具有代表意义，§¬§å§æ§Ñ§â§Ö§Ó在[12]中讨论了定理A中方程得到裂纹解的条件，他证明了只要k'（t）在[0，∞）上连续，则方程有裂纹解，即f（z，t）将单位圆域单叶地映射为具有裂纹的单位圆域。但裂纹解存在的充要条件是什么至今不得而知。Becker对Loewner方程的通解最先进行了讨论（见[13]、[14]），周知，Loewner—§¬§å§æ§Ñ§â§Ö§Ó方程为

其中P（·，t）∈P对t∈[0，∞）存在，即为所谓正实部函数;且对任意t∈[0，∞），p（z，·）对z∈D可测。

Becker证明该方程存在唯一的单叶正则解：f（z，t）=etz+…，他还证明方程的其他解g（z，t）在D上全纯，在[0，∞）上局部绝对连续，并且对于z∈D局部一致地成立着，这里f（z，t）是正则解，是整函数。特别地，如果g（·，t）在D单叶，并且g（0，t）=g'（0，t）-et对t≥0成立，则g（z，t）=f（z，t）。Becker工作的意义在于在单复变情形下将Loewner理论的纯分析方面的信息在最一般的情形下给予发掘，工作有难度，也代表了一个方向，由此引发了一系列后续研究，包括近年来在多复变方面的相关工作（参[15]）。

在国内，龚昇仿[19]中的方法，于1953年讨论了特征函数k（t）为特殊形式时方程单叶解的形式，同时还利用Loewner方程研究了单叶函数的系数（参[16]、[17]）。中山大学林伟研究了由Loewner方程定义的特殊单叶映射（见[18]）。作为当年的青年数学工作者，龚昇与林伟的这几项工作意义确实有限，带有习作性质，但对当时国内刚刚兴旺起来的单叶函数论的研究来讲应该是起到了一定推动作用的。

③ Loewner方法的应用方面最成功的是前苏联专家¦£.¦¬.§¤§à§Ý§å§Ù§Ú§ß（戈鲁辛），§¤§à§Ý§å§Ù§Ú§ß 的研究工作大部分和复变函数的各种解析函数族的极值问题有关。特别是对单叶函数的研究，继Bieberbach、Littlewood、Koebe、Loewner等人的工作后，他得到了S族、∑族函数进一步的精细、深入的结果，如：得到经典偏差定理的精细补充形式，利用函数模平均的估计，得到S族函数系数的精细估值，首先提出并研究了系数模之差估计的问题——即通常所说的戈鲁辛问题。§¤§à§Ý§å§Ù§Ú§ß 在相关工作中将深刻的Loewner方法的应用发挥到一个新的高度，得到许多有关S族、Σ族函数的精密估计结果，特别是利用Loewner方法，并借助于令人惊叹的简洁精妙的技巧得到了S族函数旋转定理的最后精确形式，这项成果是惊人的，可列入单叶函数论最重要的经典定理之一。§¤§à§Ý§å§Ù§Ú§ß 将Loewner方法应用于单叶函数论，从成果的量和面上讲迄今无人能及，从他应用Loewner方法所得结果的重要性来看，除1984年L.De Branges（德.布兰杰斯）以Loewner方法为基础证明Bieberbach猜测这项成果以外，亦无出其右者。相关材料可参看[4]、[19]。

四、结语

Loewner理论自1923年创立以来，在二十世纪的大部分时间里基本活跃于函数论领域，对其他领域的影响及溢出效应并不显著。这可能与人们的惯性思维有关，即主要将其作为一种解决问题（主要是函数论中的极值问题）的强有力的方法技巧来看待而忽视了该理论在几何函数论中的实际定位，故而缺少了深入发掘该理论不同用途的动力及开拓相关视野的主动性;也或许是其他学科领域有关方向的发展尚未达到需要该理论的程度。不过进入二十一世纪后，情况发生了改变，Loewner理论在一些交叉学科领域获得了重大应用，大放异彩，相关情况我们将另文介绍。

参考文献：

[1]梁宗巨，数学家传略词典[M].济南：山东教育出版社.1989.

[2]英文维基百科， http：//en.wikipedia.org/wiki/Charles_Loewner.

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[7]§¬§å§¶§Ñ§â§Ö§Ó，¦°.¦°.，§°§Ò §à§Õ§ß§à§á§ñ§â§Ñ§Þ§Ö§ä§â§é§Ö§ã§Ü§í§ç §ã§Ö§Þ§Ö§Û§ã§ä§Ó§Ñ§ç §Ñ§ß§Ñ§Ý§Ú§ä§Ú§é§Ö§ã§Ü§Ú§ç §æ§å§ß§Ü§Õ§Ú§Û，§®§Ñ§ä§Ö§Þ .§ã§Ò.，13（55），1943， 87-118.

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[15] H.Hamada，Polynomially bounded solutions to the Loewner differential equation in several complex variables，J.Math Anal.Appl，381（2011）179-186.

[16]龚昇，关于戈鲁净—楼五纳微分方程[J]，数学学报，Vol.3，No.3（1953）231-246.

[17] 龚昇，单叶函数之偏差定理及系数[J]，数学学报，Vol.3，No.3（1953）225-229.

[18]林伟，关于楼五纳微分方程式的几种单叶映射[J]，中山大学学报，1957年第1期，1-9.

[19]戈魯辛，单叶函数轮中的一些问题[M]，北京：科学出版社 1956.

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