旋转极小曲面中微分方程通解的解法

张雅静++田玉++尚随明

摘要：微分方程解析解（即通解）的求解方法十分复杂，数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的方面，但大多数都是关心微分方程的解.只有少数简单的微分方程可以求得解析解不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部份性质.本文用加减消元法、微分方程解析解的求法及一些数学技巧给出了旋转极小曲面中微分方程的通解.和其他文献中该方程的解法进行比较，本文的方法更加简单易懂。

关键词：旋转曲面；微分方程；Hamilton量守恒；悬链线；双曲函数

中图分类号：0175.11

文献标识码：A

DOI：10.3969/j.issn 1003-6970.2016.02.002

引言

微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程.微分方程的解是一个符合方程的函数.而在初等数学的代数方程，其解是常数值，微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题，物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解，此外，微分方程在化学、工程学、经济学、图像处理和人口统计等领域都有应用，数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的方面，但大多数都是关心微分方程的解，只有少数简单的微分方程可以求得解析解（即通解），不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质.在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解，近些年，有专家在最优问题中使用了微分方程这一工具，取得了很好的结果，在本文中，我们研究微分方程的通解解法。

众所周知，求不定积分的方法有凑微分法、分部积分法等方法，有时还需要一些技巧才能把一个函数的不定积分求出来.但即使这样，有些函数的不定积分根本就不是初等函数，即常说的不可积分，微分方程通解的求解方法更是复杂，有时求出来的通解还是隐函数的形式，很难显化或无法显化，使我们很难看出函数是哪类曲线的方程.本文讨论了最优问题中旋转极小曲面问题，该问题转化为数学问题就是解微分方程问题，该微分方程属于可求解类型.本文利用解微分方程的分离变量法先求出其隐式通解，并用一些数学技巧把隐式显化，使读者更容易看出该问题最优解的形式.同时将本文中的方程求解方法同其他文献中的方法进行比较，优势明显。

上式是隐函数，u（x）的表达式不容易看出.故运用一些数学技巧将上式显化，通过变形得到

1 正文

曲线C绕定直线旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面，其中C为母线。而旋转极小曲面是指在平面上给定两点错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，Y1，y2>o，x11[x1，x2]，使得它的图像绕X轴旋转后所得到的旋转曲面的面积最小。这样的曲面称其为旋转极小曲面。接下来，本文求解一下这样的曲线究竟是什么曲线。

设u（x1）=yi，i=l，2，并且u（x）>o，其旋转曲面的面积是

本文要找到合适的u，使得，达到极小值，

由Hamilton量守恒公式

H（u（x），p（x））=L（u（x），p（x））-u（x）Lp（u（x），p（x））=c知，若u使得I达到极小值，则u满足Hamilton量守恒公式，在本文中

这是一个可分离变量微分方程，关于微分方程通解的求法，很多文献都有详细的阐述。文献对微分方程的解法做了系统的总结.而方程（2）的解即最小旋转曲面的方程.下面我们求该微分方程的通解.

在文中有一个类似的问题，下面我们给出该问题的求解过程.

例：求长为L的柔软而均匀的绳索，两端系于A和B，在自重的作用下绳索下悬，求悬线的形状。

解因为在平衡状态时，重心应当取最低的位置，在此我们假定绳索是不可伸长的，并设A（xo，yo），B（x1，Y1）为端点的悬线。函数y=y（x）是条件变分：

观察可知，例题与本文研究的问题虽然不同，但要求解的方程是一样的，下面本文给出文作者给出的解法。

首先构造辅助函数

这个方程就是悬链线方程，其中λ，c1，c2由等周条件及边界条件确定。

读者比较这两种方程的解法，易见前者明显优于后者.后者解法看上去简单，但读者首先要知道悬链线的方程，还要十分熟悉双曲函数的性质，才能理解文中的解法.若在文中用了三角函数的性质l+tan?t：sec?t，即令y=tanf，则，按照我们上面给的步骤代入，计算程度会更加复杂.故我们前面给的解法简单、易懂。

3 结论

本文给出了最优问题中旋转极小曲面的方程，其图像是悬链线，并将本文的解题方法同文献中的解法进行了比较，本文的更加简单清晰.最后指出悬链线是一种曲线，它的形状因与悬在两端的绳索因均匀引力作用下掉下来之形相似而名，适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，悬索桥、双曲拱桥、架空电缆电线等都用到悬链线的原理，本文中求解该方程用到了加减消元法和分母有理化的技巧，不然很难将方程的解显化出来并看出其具体形状，和文献中已知结果再求方程的解法完全不同，本文提出的方法更加简单易懂。