在猜想、验证中提升小学生数学思维能力

路会芳 徐圆

《数学课程标准》中指出：学生学习应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、推理与交流等数学活动。数学猜想是指人们根据已知的某些数学知识和某些事实，对数学的某些理论、方法等提出一些猜测性的推断，是数学发展的一种思维方式。“没有大胆的猜想，就不可能有伟大的发明和发现。”因此数学的进步离不开猜想，它引导了数学前进的方向。

数学教学同样离不开猜想。猜想可以调动学生学习的积极性，使之理解能力、分析、判断能力等各种智力因素得到充分发挥，从而使整个思维活动处于最积极、最活跃的状态。猜想是发展学生个性，培养学生创新精神的一种有效的方法。因此在教学中注重创造大胆猜想的空间，引导学生在猜想中推理，在验证中提升，增强学生通过主动探究活动从而发现问题、解决问题的能力。

下面以北京版小学数学五年级上册《密铺》一课为例，谈一谈在教学中是如何依据学情引导学生猜想，在猜想——验证——交流的过程中进一步发展学生的空间想象能力、合情推理能力，提高学生的数学思维能力。

一、根据原有认知，点燃学生猜想的火花。

《数学课程标准中》指出：教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发和因材施教。因此在学生理解了“密铺”概念的基础上，教师出示学生已经学过的六种平面图形（正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形、一般四边形），引导学生观察并根据图形的特征猜测能否密铺，点燃学生猜想的火花。运用信息技术，学生将各自猜测的结果上传到学习平台，此时师生能够清晰的看到全班学生猜测情况的统计结果，教师依据学情展开教学，进行有针对性地引导。

根据统计结果，学生认为正方形和长方形能够密铺。正方形能够密铺这一事实在理解密铺特点时进行了演示，学生已经有了直观的认识。“那么长方形能够密铺的理由是什么呢？”教师进行质疑。学生回答：“长方形和正方形都有四条边和四个角，而且四个角都是直角。正方形能够密铺，长方形也能密铺”。学生抓住图形的特征，通过类比推理得出了结论。猜想的结论是否正确呢？教师通过课件采用不同拼摆方法进行了演示，一方面验证猜想的结论，另一方面启发学生在密铺时可以有不同的拼摆方法。

对于平行四边形、三角形、梯形和一般四边形学生猜测的结果则出现了分歧，尤其是一般四边形，大多数同学都认为不能密铺。面对学生的实际情况，教师从平行四边形入手，分别让学生阐述能否进行密铺的理由。认为不能密铺的学生说到：“正方形和长方形的边都是横平竖直的，而平行四边形有两条边是倾斜的，所以不能密铺。”认为能密铺的学生解释道：“正方形和长方形都是特殊的平行四边形，所以能够密铺。”学生在各自阐述理由的过程中相互启发，抓住图形的特征沟通了内在联系，进一步深化对图形特征的认识。学生又利用平行四边形亲自动手进行拼摆，验证平行四边形能够密铺。通过这一过程不仅培养了学生的推理能力，也发展了学生的空间观念。

对于三角形和梯形则在猜想的基础上放手让学生先自主进行验证，再说明理由，用事实来验证猜想。学生在动手操作的过程中一边思考一边在不断调整和修正自己的认知，通过将三角形和梯形转化为平行四边形沟通了它們之间的联系。接下来全班进行展示、交流，学生再次将自己的拼摆情况与交流展示的作品进行对比，肯定自己的结果或进行反思。最终学生达成共识：三角形和梯形都能转化为平行四边形，所以都能够进行密铺。达成共识后教师再次提问：“在刚才我们验证的五个图形中都能够进行密铺，你认为哪个图形最为关键？”学生经过思考后一致认为是平行四边形。因为长方形、正方形都是特殊的平行四边形，梯形、三角形都能够转化为平行四边形。通过这一问题，沟通了五种图形的内在联系，培养了学生有理有据地进行合情推理的能力。

二、精心质疑，让学生的猜想勇往直前

“学起于思、思源于疑”，质疑是开启创新猜想之门的钥匙，学生有了疑问才会去思考、去猜想。有了以上五种平面图形的学习经验，对于一般四边形能否密铺学生也一定有了新的思考。于是教师进行质疑：一般四边形能够进行密铺吗？学生第二次进行观察、猜想，通过投票统计出结果。与第一次猜想的结果进行对比，这次认为能够密铺的人数明显提高，这一结果说明有了前五个图形的学习经验，学生对一般四边形能否密铺有了新的认识。一般四边形到底能否密铺，还要用事实来证明。通过拼摆得出结论：一般四边形也能够密铺。

教师进一步质疑，把猜想逐步引向深入，带领学生勇往直前。我们继续研究正五边形、正六边形和正八边形，你们认为它们能够密铺吗？学生第三次进行猜想、判断，上传自己的猜测结果。虽然学生的观点依然存在着一定的分歧，但学生的猜测一定是与自己的认知紧密联系的，一定在头脑中形成了初步的表象。在这一过程中就是对图形特征的再认识，对密铺的深入理解。接下来学生联系生活实际、结合拼摆的结果验证了三个图形是否能够密铺。

三、寻找内在规律，让学生的猜想内驱力更强

猜想是一种探索性活动，具有一定的规律和方法。在学生通过对多个图形进行观察、猜想、验证后，已经知道了哪些图形能够密铺，哪些图形不能密铺。能够密铺的图形到底具有什么样的特点，存在着怎样的规律，教师又把猜想推向了一个新的高度。此时学生调动自己已有的数学经验，拓展新思路，提出猜想性的推理，从而获得新的结论，实现知识和技能的有效提升。

经过仔细观察，有的学生猜想图形的密铺与边有关，有的学生猜想与图形的角有关。虽然这个问题在本册教材中不要求进行解决，但让学生带着好奇心、带着自己的猜想进一步进行学习，让学生学习、探究的内驱力更强。

四、拓展延伸，引导学生插上猜想的翅膀

学贵有思，学思结合才能不断提高学生的思维能力、解决实际问题的能力和创新意识。学生带着问题走进课堂，也应该带着问题走出课堂。在本节课的学习中，学生已经得出了正五边形不能密铺的结论。在课尾教师提出：是不是所有的五边形都不能密铺呢？请同学们带着你的猜想进行验证，也可以进行相关资料的查找。这一问题又把学生带入了新的思考与猜想中，从课堂延伸到课外引导学生插上猜想的翅膀继续探究。

有位哲人说得好：“知识是创造的基础，想像是创造的翅膀”，而想象的主要形式是猜想。猜想是一种超前思维，具有一定的猜测性，它能激起学生强烈的探究与验证欲望，进而激发学生的创新思维能力。因此在教学实践中我们结合教学内容努力去开发和培养学生的猜想能力，在猜想中激发其探究问题的兴趣，在猜想中培养学生的推理能力，在猜想中提高学生的数学核心素养。