因式分解方法拓展

陆小燕

因式分解的方法较多，教材中只介绍了提公因式法和公式法，而在实际解题过程中有时还要用到分组分解法、配方法、添项拆项法、十字相乘法，现举例介绍这四种方法.

一、分组分解法

先把给定的多项式进行适当分组，再应用提公因式法、公式法来解决问题，这种方法就是分组分解法.

例1 分解因式m2 - mn + mx - nx = .

分析：本题不能直接提公因式，可先分组，通过两次提公因式来达到目的. 将第一、二项分为一组，提公因式m后为m（m - n），第三、四项为一组，提公因式x后为x（m - n），这样两组之间又有公因式m - n，再提公因式即可达到分解因式的目的;也可将第一、三项分为一组，提公因式m后为m（m + x），第二、四项分为一组，提公因式 - n后为-n（m + x），这样两组之间又有公因式m + x，再提公因式后即可达到分解因式的目的.

解：方法1：原式 = （m2 - mn） + （mx - nx） = m（m - n） + x（m - n） = （m - n）（m + x）.

方法2：原式 = （m2 + mx） + （- mn - nx） = m（m + x） - n（m + x） = （m - n）（m + x）.

【同类演练1】 分解因式a2 - b2 - 2b -1 = .

反思：对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法：四项式一般采用“二、二”分组或“三、一”分组，五项式一般采用“三、二”分组. 分组的目的是为了提公因式或运用公式.

二、配方分解法

将多项式中某些项配方成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解，这种方法就是配方分解法.

例2 分解因式x4 + 64.

分析：x4和64都可化为完全平方的形式，对照完全平方公式，只要加上并减去16x2，则可将x4 + 64转化为平方差的形式，进而达到分解因式的目的.

解：原式 = x4 + 16x2 + 64 - 16x2 = （x2 + 8）2 - （4x）2 = （x2 + 4x + 8）（x2 - 4x + 8）.

【同类演练2】 分解因式x2 - 6x - 7.

反思：正确处理16x2 - 16x2的分组至关重要，如果将原式转化为x4 - 16x2 + 64 + 16x2，原式 = （x2 - 8）2 + （4x）2，则无法继续分解，因此在组合时要预见下一步分解的可行性. 一般情况下，二次三项式若能分解因式，则一定可以用配方法来解决. 必须注意：x2 + 4x + 8和x2 - 4x + 8都不是完全平方式，不可以再分解因式.

三、添项拆项法

对于有些多项式，可把它拆成若干部分，再用提公因式法、公式法进行因式分解，这种方法就是添项拆项法.

例3 分解因式x4 - 27 x2 y2 + y4.

解析：这是一个含x，y的四次三项式，易知它不能直接应用提公因式法和公式法这两种基本方法来分解. 但若将 - 27 x2 y2拆分为 - 2 x2 y2 - 25 x2 y2，则x4 - 2x2 y2 + y4可运用完全平方公式，再与 - 25x2 y2运用平方差公式，即可达到因式分解的目的.

解：原式 = （x4 - 2x2 y2 + y4） - 25x2 y2 = （x2 - y2）2 - （5xy）2 = （x2 + 5xy - y2）（x2 - 5xy - y2）.

【同类演练3】 因式分解a2 - 4ab + 3b2 + 2bc - c2.

反思：为了用分组分解法来解决问题，常需对原多项式进行拆项和添项. 拆项和添项是把原多项式的某项分裂为两项或多项，或者添上一些项并同时减去这些项，以便直接运用平方差和完全平方公式，这是分裂中项和添加中项的目标. 解决这类问题要谨防不顾总目标、胡乱分拆的现象.

四、十字相乘法

对于形如x2 + px + q的多項式，如果存在a和b，使得ab = q且a + b = p，则多项式x2 + px + q可因式分解为（x + a）（x + b），这种方法就是十字相乘法，其分解形式如下图.

例4 分解因式：（1）x2 + 3x + 2;（2）x2 - 3x + 2.

分析：（1）存在a = 1，b = 2，使得ab = 2且a + b = 3;

（2）存在a = - 1，b = - 2，使得ab = 2且a + b = - 3.

解：（1）x2 + 3x + 2 = （x + 1）（x + 2）;

（2）x2 - 3x + 2 = （x - 1）（x - 2）.

【同类演练4】 分解因式：（1）6x2 + 5x - 6;（2）25x2 - 5x - 6.

反思：利用十字相乘法可对形如x2 + px + q的多项式进行因式分解，但并不是所有的形如x2 + px + q的多项式都可在实数范围内进行因式分解，例如x2 + x + 2在实数范围内就不可因式分解. 对于a不为1的二次三项式ax2 + bx + c，可尝试运用十字相乘法，若a = a1·a2，c = c1·c2，b = a1c2 + a2c1，则ax2 + bx + c = （a1x + c1）（a2x + c2）.

同类演练答案：

1. （a - b - 1）（a + b + 1） 2. （x + 1）（x - 7） 3. （a - b - c）（a - 3b + c）

4. （1）（3x - 2）（2x + 3） （2）（5x + 2）（5x - 3）