非线性(p,q)-差分方程非局部问题的正解

禹长龙 韩获德 王菊芳 邢厚民

摘 要：為了完善非线性量子差分方程边值问题的基本理论，研究了二阶非线性（p，q）-差分方程非局部问题的可解性。首先，计算线性（p，q）-差分方程边值问题的Green函数，研究Green函数的性质;其次，运用Banach压缩映像原理和Guo-Krasnoselskii不动点定理，获得二阶三点非线性（p，q）-边值问题正解的存在性和唯一性定理;再次，给出线性（p，q）-差分方程非局部问题的Lyapunov不等式;最后，给出2个实例，证明所得结果是正确的。结果表明，在赋予非线性项f一定的增长条件下，非线性（p，q）-差分方程非局部问题正解具有存在性和唯一性。研究结果丰富了量子差分方程可解性的理论，对（p，q）-差分方程在数学、物理等领域的应用提供了重要的理论依据。

关键词：非线性泛函分析;非线性（p，q）-差分方程;非局部问题;Banach压缩映像原理;Guo-Krasnoselskii不动点定理;正解

中图分类号：O175.8   文献标识码：A

doi：10.7535/hbkd.2021yx04005

收稿日期：2021-04-28;修回日期：2021-06-06;责任编辑：张士莹

基金项目：国家自然科学基金（11201112）;河北省自然科学基金（A201520811）;河北省教育厅基金（ON2017065）

第一作者简介：禹长龙（1978—），男，河北阳原人，副教授，硕士，主要从事微分方程边值问题、量子差分方程边值问题以及数值计算等方面的研究。

E-mail：changlongyu@126.com

禹长龙，韩获德，王菊芳，等.非线性（p，q）-差分方程非局部问题的正解[J].河北科技大学学报，2021，42（4）：352-359.YU Changlong，HAN Huode，WANG Jufang，et al.Positive solutions for nonlocal problems of nonlinear （p，q）- difference equations[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2021，42（4）：352-359.

Positive solutions for nonlocal problems of nonlinear （p，q）- difference equations

YU Changlong1，HAN Huode1，WANG Jufang1，XING Houmin2

（1.School of Science，Hebei University of Science and Technology，Shijiazhuang，Hebei 050018，China;2.College of Letter and Science，University of California，Berkeley，California 94720，USA）

Abstract：In order to improve the basic theory of boundary value problems for nonlinear quantum difference equations，in this paper，we study the solvability of nonlocal problems for second order three-point nonlinear （p，q）-difference equations.Firstly，the Green function of the boundary value problem of linear （p，q）-difference equation is calculated and the property of Green function is studied.Secondly，we obtain the existence and uniqueness of the positive solution for the problem by the Banach contraction mapping principle and the Guo-Krasnoselskii fixed point theorem in a cone.Next，we get the Lyapunov inequality for nonlocal problems of linear （p，q）-difference equations.Finally，two examples are given to illustrate the validity of the results.The results show that the existence and uniqueness of positive solutions for nonlocal problems of nonlinear （p，q）-difference equations are obtained，under the condition of nonlinear term f certain growth.The research results enrich the theory of solvability of quantum difference equations and provide important theoretical basis for the application of（p，q）-difference equation in mathematics，physics and other fields.

Keywords：

nonlinear functional analysis;nonlinear （p，q）-difference equation;nonlocal problem;Banach contraction mapping principle;Guo-Krasnoselskii fixed point theorem;positive solution

量子微积分，又名q-微积分，是一类无极限的微积分，最早于20世纪初期由JACKSON[1-2]正式提出。1912年，CARMICHAEL[3]研究了线性q-差分方程的一般理论。目前，有关线性q-差分方程的理论取得了很大进展[4-6]。众所周知，线性q-差分方程的应用有其自身的局限性，相对而言，非线性q-差分方程有着更广泛的应用，如正交多项式、基本超几何函数、组合学、相对论、超几何级数、复杂分析和粒子物理等。非线性q-差分方程边值问题（BVPS）的研究可以追溯到2010年[7]。近些年来，关于非线性q-差分方程解的存在性的研究取得了很大进展[8-15]。

双参数量子微积分又称（p，q）-微积分，其作为q-微积分的拓展，起源于1990年[16]。近年来，关于（p，q）-微积分已经取得了一些研究成果[17-19]，但关于（p，q）-差分方程的研究结果尚少[20-22]，尤其是非线性（p，q）-差分方程边值问题的研究仍处于起步阶段。2019年，GHOLAMI[21]研究了（p，q）-差分方程边值问题

（D2p，qu）（t）+f（t，u（t））=0， 0≤t≤1，αu（0）-βDp，qu（0）=0，γu（1）+δDp，qu（1）=0

解的存在性。基于上述基礎，笔者研究了一类二阶非线性（p，q）-差分方程非局部问题

D2p，qu（t）+f（t，u（t））=0， t∈I，u（0）=0， u（1）=αu（η）（1）

的可解性，其中，I=[0，1]，0

1 预备知识

首先给出本研究用到的定义和相关定理。

定义1[19] 函数f（x）的（p，q）-导数：

Dp，qf（x）=f（px）-f（qx）（p-q）x，x≠0。

若f在x=0处可微，则Dp，qf（0）=f′（0）。

注：当p=1时，（p，q）-导数退化为q-导数：Dqf（x）=f（x）-f（qx）（1-q）x，x≠0。

定义2[19] 函数f（x）的（p，q）-积分：

∫f（x）dp，qx=（p-q）x∑.SymboleB@k=0qkpk+1f（qkpk+1x）。（2）

定理1[19] 设0

定义3[19] 设f是任意函数，a是实数，则

∫a0f（x）dp，qx=（q-p）a∑.SymboleB@k=0pkqk+1f（pkqk+1a）， pq<1;

∫a0f（x）dp，qx=（p-q）a∑.SymboleB@k=0qkpk+1f（qkpk+1a）， pq>1。

定义4[19] 设f是任意函数，a和b是2个非负实数且a

∫baf（x）dp，qx=∫b0f（x）dp，qx-∫a0f（x）dp，qx。

定理2[19]（（p，q）-微积分基本定理） 若F（x）是f（x）的原函数且F（x）在x=0处连续，则∫baf（x）dp，qx=F（b）-F（a），其中0≤a≤b≤.SymboleB@。

引理1[21] 交换积分次序公式，设函数f：I→R是连续的，则有

∫t0∫r0f（s）dp，qsdp，qr=∫tq0（t-pqs）f（s）dp，qs， pq<1;

∫t0∫r0f（s）dp，qsdp，qr=∫tp0（t-pqs）f（s）dp，qs， pq>1。

定理3[23] 设E是一个Banach空间，KE是一个锥。若ΩiE，i=1，2，0∈Ω1且Ω1Ω2，令A：K∩（Ω2＼Ω1）→K是一个全连续算子，且满足

1）||Au||≤||u||，对u∈K∩Ω1，且||Au||≥||u||，u∈K∩Ω2，或者

2）||Au||≥||u||，对u∈K∩Ω1，且||Au||≤||u||，u∈K∩Ω2，

则A在K∩（Ω2＼Ω1）中有一个不动点。

2 主要结论

引理2 若y∈C[0，1]，且假设对任意t∈[1，1q]，有y（t）≡0，则（p，q）-差分方程边值问题

D2p，qu（t）+y（t）=0，u（0）=0， u（1）=αu（η）（3）

有唯一解

u（t）=t（1-αη）∫1q0（1-pqs）y（s）dp，qs-αt（1-αη）∫ηq0（η-pqs）y（s）dp，qs-∫tq0（t-pqs）y（s）dp，qs=∫10G（t，pqs）y（s）dp，qs，

其中，G（t，pqs）为（p，q）-差分方程边值问题（3）的Green函数，且

G（t，pqs）=11-αηpqs（1+αt-t-αη），    pqs≤t， pqs≤η，t（1-pqs-αη+αpqs），t≤pqs≤η，t（αη-pqs）+pqs（1-αη），η≤pqs≤t，t（1-pqs），pqs≥t， pqs≥η。（4）

证明 对（p，q）-差分方程（3）两边从0到t两次积分得：

u（t）=u（0）+tDp，qu（0）-∫tq0（t-pqs）y（s）dp，qs。（5）

由边界条件u（0）=0，u（1）=αu（η）可得：

Dp，qu（0）=1（1-αη）∫1q0（1-pqs）y（s）dp，qs-α（1-αη）∫ηq0（η-pqs）y（s）dp，qs，

又由于t∈[1，1q]，有y（t）≡0，则

u（t）=t（1-αη）∫1q0（1-pqs）y（s）dp，qs-αt（1-αη）∫ηq0（η-pqs）y（s）dp，qs-∫tq0（t-pqs）y（s）dp，qs=∫10G（t，pqs）y（s）dp，qs。

证毕。

引理3 若0

1）G（t，pqs）≥0，（t，pqs）∈[0，1]×[0，1];

2）t∈1ξ，ξ-1ξ，G（t，pqs）≥σG（pqs，pqs），其中，σ=1-αξ（1-αη），ξ∈（2，+.SymboleB@）;

3）G（t，pqs）≤G（pqs，pqs）≤Θ，其中，

Θ=pq（1-pq）1-αη，12pq≤1，14（1-αη），12pq>1。

证明 1）经过简单计算，易证G（t，pqs）≥0。

2）当1ξ≤t≤ξ-1ξ时，

G（t，pqs）G（pqs，pqs）=1+αt-t-αη1+αpqs-pqs-αη≥1-αξ（1-αη），     pqs≤t，pqs≤η，tpqs≥1ξ，t≤pqs≤η，t（αη-pqs）+pqs（1-αη）pqs（αη-pqs）+pqs（1-αη）≥1-αξ（1-η），η≤pqs≤t，tpqs≥1ξ，pqs≥t，pqs≥η。

經计算可得，minξ∈（2，.SymboleB@）1-αξ（1-αη），1ξ，1-αξ（1-η）=1-αξ（1-αη），所以，

G（t，pqs）≥1-αξ（1-αη）G（pqs，pqs）。

3）由G（t，pqs）关于t的单调性易证结论成立。

证毕。

注：简单计算知Θ≤14（1-αη）：=Θ1。

考虑空间Cp，q=C（[0，1]，R+），‖u‖=maxu，t∈I，u∈Cp，q。定义积分算子T：Cp，q→Cp，q，

Tu（t）=∫10G（t，pqs）f（s，u（s））dp，qs。

显然，u是BVP（1）的解的充要条件为u是T的不动点。

定义锥K：

K=u∈Cp，q：u（t）≥0，min1ξ≤t≤ξ-1ξu（t）≥σ‖u‖。

定理4 若f：I×R+→R+是连续函数，L（t）∈L1p，q（I，R+），且 tL（t），t2L（t）∈L1p，q（I，R+），对t∈I，u1，u2∈R+满足

|f（t，u1）-f（t，u2）|≤L（t）|u1-u2|。

若Γ<1，则BVP（1）有唯一正解，其中，

Γ=pq（A-pqB）1-αη，A=∫10sL（s）dp，qs，B=∫10s2L（s）dp，qs。

证明：令supt∈I|f（t，0）|=M0，M1=∫10pqs（1-pqs）1-αηdp，qs，选择r>M0M11-δ，Γ≤δ≤1。令Br=

u∈Cp，q：‖u‖≤r，现证TBrBr。对任意的u∈Br，有

|Tu（t）|=∫10G（t，pqs）f（s，u（s））dp，qs≤∫10G（pqs，pqs）f（s，u（s））dp，qs≤

∫10G（pqs，pqs）（|f（s，u（s））-f（s，0）|+|f（s，0）|）dp，qs≤

∫10pqs（1-pqs）1-αη（|f（s，u（s））-f（s，0）|+|f（s，0）|）dp，qs≤

∫10pqs（1-pqs）1-αη（L（s）|u|+M0）≤‖u‖Γ+M0M1≤r。

因此，有‖Tu‖≤r，所以，TBrBr。

再证明T是压缩的。对任意的t∈I，u，v∈Cp，q，有

|Tu（t）-Tv（t）|=∫10G（t，pqs）（f（s，u（s））-f（s，v（s）））dp，qs≤

∫10G（pqs，pqs）L（s）|u-v|dp，qs≤

‖u-v‖∫10pqs（1-pqs）1-αηL（s）dp，qs=

Γ‖u-v‖<‖u-v‖。

因此，‖Tu-Tv‖<‖u-v‖，所以T是压缩的，根据Banach压缩映像原理，T有唯一的不动点。证毕。

推论1 设f：I×R+→R+是连续函数，且L（t）∈L1p，q（I，R+），对t∈I，u1，u2∈R+满足

|f（t，u1）-f（t，u2）|≤L（t）|u1-u2|。

若Γ1<1，则BVP（1）有唯一正解，其中，

Γ1=pq（1-pq）1-αηC，12pq≤1，14（1-αη）C，12pq>1，

且C=∫10L（s）dp，qs。

推论2 设f：I×R+→R+是连续函数，且L1（t）∈C（I，R+），对t∈I，u1，u2∈R+满足

|f（t，u1）-f（t，u2）|≤L1（t）|u1-u2|。

若Γ2<1，则BVP（1）有唯一正解，其中，

Γ2=ΛM，Λ=maxt∈[0，1]L1（t），M=pq[q2（1-p）+p2（1-q）+pq]（1-αη）（p+q）（p2+pq+q2）。

引理4 T是一个正算子，且T（K）K。

证明 显然，T（u）≥0，且有

min1ξ≤t≤ξ-1ξTu（t）=min1ξ≤t≤ξ-1ξ∫10G（t，pqs）f（s，u（s））dp，qs≥

σ∫10G（pqs，pqs）f（s，u（s））dp，qs≥

σmax0≤t≤1∫10G（t，pqs）f（s，u（s））dp，qs=

σ‖Tu‖。

所以，T（K）K。

为了方便，引入以下记号：

Φ（h）：=maxf（t，u）|（t，u）∈[0，1]×[0，h]，（6）

Ψ（h）：=minf（t，u）|（t，u）∈[1ξ，ξ-1ξ]×[0，h]，（7）

ω1：=1Θ1，ω2：=ω1σ。

顯然，0<σ<1，所以0<ω1<ω2。再证明BVP（1）解的存在性。

定理5 设存在正常数a和b，满足Φ（a）≤aω1且Ψ（b）≥bω2，则BVP（1）至少有一个解u∈K，且min{a，b}≤‖u‖≤max{a，b}。

证明 因为0<ω1<ω2，由式（6）和式（7）易证a≠b。令Ω1：={u∈E‖u‖

首先，证明对u∈K∩Ω1，‖Tu‖≤‖u‖成立。

设u∈K∩Ω1，则0≤u（t）≤‖u‖=a，且

f（t，u）≤Φ（a）≤aω1，（t，u）∈[0，1]×[0，a]，

于是有

Tu（t）=∫10G（t，pqs）f（s，u（s））dp，qs≤

aω1∫10G（t，pqs）dp，qs≤

aω1∫10max0≤t，pqs≤1G（t，pqs）dp，qs≤

aω1ω-11=‖u‖。

所以，对于u∈K∩Ω1，有‖Tu‖≤‖u‖。

其次，证明对u∈K∩Ω2，‖Tu‖≥‖u‖成立。

设u∈K∩Ω2，则0≤u（t）≤‖u‖=b，且f（t，u）≥Ψ（b）≥bω2，（t，u）∈[1ξ，ξ-1ξ]×[0，b]，

于是有

Tu（t）=∫10G（t，pqs）f（s，u（s））dp，qs≥

bω2∫10G（t，pqs）dp，qs≥

bω2∫10min1ξ≤t≤ξ-1ξG（t，pqs）dp，qs≥

bω2σΘ1=‖u‖。

所以，对于u∈K∩Ω2，有‖Tu‖≥‖u‖。根据定理3可得，算子T有一个不动点u∈K，则BVP（1）至少有一个正解u∈K且min{a，b}≤‖u‖≤max{a，b}。

证毕。

推论3 设有限序列akn+1k=1，ak

证明 由定理5的简单计算易证。

定理6 设0hω2，h∈[c，d]，则BVP（1）无正解，u*满足c≤‖u*‖≤d。

证明 假设存在u*∈K是BVP（1）的一个正解，满足c≤‖u*‖≤d，则

f（t，u）≤Φ（‖u*‖）≤‖u‖ω1，（t，u）∈[0，1]×[0，‖u*‖]。

由于u*是BVP（1）的一个正解，故有u*=Tu*，则

‖u*‖=∫10G（t，pqs）f（s，u*（s））dp，qs≤

max0≤t，pqs≤1∫10G（t，pqs）f（s，u*（s））dp，qs<

‖u*‖ω1ω-11=‖u*‖，

与条件（1）矛盾，所以BVP（1）无正解u*。类似可证第2种情形。证毕。

定理7 设k（t）∈C（I，R+），k（t）=0，t∈[1，1q]，u（t）∈C（I，R+）且u（t）是边值问题

D2p，qu（t）+k（t）u（t）=0，   t∈I，u（0）=0，u（1）=αu（η）（8）

的非平凡解，则Lyapunov不等式

∫10k（s）dp，qs≥4（1-αη）

成立。

证明 由引理2可知，边值问题（8）等价于积分方程u（t）=∫10G（t，pqs）k（s）u（s）dp，qs，

于是

u（t）=∫10G（t，pqs）k（s）u（s）dp，qs≤14（1-αη）∫10k（s）u（s）dp，qs，

即‖u‖≤14（1-αη）∫10k（s）‖u（s）‖dp，qs。

由u（t）是平凡解可得，∫10k（s）dp，qs≥4（1-αη）。

3 应用举例

例1 考虑非线性（p，q）-边值问题

D214，12u（t）+t+111sin|u|=0， t∈I，u（0）=0， u（1）=12u（12）。（9）

事实上，p=14，q=12，α=12，η=12，f=t+111sin|u|。显然，|f（t，u1）-f（t，u2）|≤111|u1-u2|，则Λ=111，ΛM=111×1163=163<1。因此，由推论2可知，边值问题（9）有唯一正解。

例2 考虑非线性（p，q）-边值问题

D213，34u（t）+t（1+sin|u|）12=0， t∈I，u（0）=0， u（1）=13u（23）。（10）

事实上，p=13，q=34，α=13，η=23，f=t（1+sin|u|）12。取ξ=4，经过计算可得，Θ1=928，ω1=289，ω2=314。

Φ（h）：=maxt（1+sin|u|）12|（t，u）∈[0，1]×[0，h]=1+h12，

Ψ（h）：=mint（1+sin|u|）12|（t，u）∈[14，34]×[0，h]=148，

選择a=27，b=112，则Φ（a）=73≤aω1=84，且Ψ（b）=148≥bω2=156。由定理5可得，该BVP（10）至少有一个正解u*∈K满足

112≤‖u‖≤27。

4 结 语

本文运用Guo-Krasnoselskii不动点定理和Banach压缩映像原理，研究了非线性（p，q）-差分方程非局部问题正解的存在性、唯一性，给出了线性（p，q）-差分方程非局部问题的Lyapunov不等式，丰富了（p，q）-差分方程的可解性理论，为差分方程在李群、超几何级数、空气动力学、控制理论等领域的应用提供了理论参考。在未来的研究中，将利用分叉理论、临界点理论、变分法等方法，深入探讨双参数（或分数阶双参数）量子差分方程的可解性及其应用。

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