“函数的零点与方程的解”案例分析

官志海

在研究本课内容时，我一直在思考，高中数学为什么要在2007年课改时，新增加这一内容呢？为什么2020年新教材中又把本部分内容放在了必修一第四章第五节《函数应用（二）》的学习内容里面，并改课题为“函数的零点与方程的解”？函数在生产生活中的应用是学习函数主要的目的之一，而本节课的学习重点则放在了函数在解方程方面的应用，使函数的学习从实际应用再到学科内部的应用，把函数的应用价值体现的完整且充分。

函数是中学数学里最核心的概念，它与其他知识有着密切的联系。函数的零点正是一个关键的连接点，它作为纽带将形与数，函数与方程联系了起来。在本节课之前，学生已经学习了函数的基础知识，具备了基本的数形结合的能力。本节课则是利用函数的图象和性质来判断方程的解是否存在及若存在有几个的问题，为下节课“用二分法求方程的近似解”和后续内容的学习如算法和根的分布等问题奠定了基础。

下面是本节课教学过程设计。

师：我国古代数学家已经解决了一部分方程的求解问题，如《九章算术》中就给出了求解一次、二次方程根的方法，这要比西方早三百多年。11世纪，贾宪总结出了三次及三次以上的方程的求解方法。13世纪，秦九韶又总结出了求任意次方程的正根的解法，这些都领先于其他国家。

同学们，以上数学史可以看出我国的数学家在求解方程问题上为世界做出了杰出的贡献。在人类用智慧搭建的无数座从未知通向已知的桥梁中，方程的求解问题是其中璀璨的一座。虽然今天我们已经学习了各式各样方程的解法，但这一切却经历了漫长的岁月。

问题1：  判断下列方程根的个数，并求根。

（1） 4x-3=0 （2） 2x2+5x-3=0

问题2 ： 请画出下列函数的图像，并探索所画的图像与问题1中方程的根有什么联系？

（1） y=4x-3 （2） y=2x2+5x-3

【设计意图】通过问题1及问题2让学生观察并总结方程的根就是函数与x轴的交点的横坐标，从而得出方程的根、函数图像与x轴交点之间的联系，为学生进一步理解零点做好铺垫，同时渗透事物之间联系的哲学观点。

问题3：  对于方程f（x）=0与函数y=f（x）是否也有相似的结论呢？

设计意图：在建构零点概念的这个教学环节中，我用数学文化引入方程的问题，课后鼓励学生收集、阅读方程的历史资料，撰写报告。本环节通过问题1、2的讨论，引导学生用函数的观点认识方程，让学生理解零点是连接函数与方程的结点。尝试用数学眼光观察世界的同时，感悟函数是用运动变化的观点来分析和研究数学中的数量关系，而方程则是动中取静，研究运动中的等量关系，体现数学中的哲学思想进而发展学生数学抽象及直观想象的数学核心素养。

归纳总结：

函数的零点定义：

对于函数y=f（x），我们把使f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点.

练习：求下面函数的零点.

1. f（x）=ln（x-2）

2. f（x）=4x-2x-2

3. f（x）=lnx+x-1

归纳总结：

函数y=f（x）的零点就是方程f（x）=0的根，也就是函数y=f（x）的图象与x轴交点的横坐标。

所以：方程f（x）=0有实数根？圳函数y=f（x）的图象与x轴有交点？圳函数y=f（x）有零点。

设计意图：此环节的设置目的其一：通过求解方程来求零点：其二：对于练习3虽然无法求解但可以借助函数图像及性质猜出零点，为后面难点问题的突破做好铺垫;其三：学生经常将零点写成坐标的形式，教师及时纠正，让学生加深对零点定义的理解。

师：以上三个问题中的零点，可以通过直接解方程轻松得到答案，那么对于不能用公式法求根的方程，我们又该如何处理呢？

问题4： 请思考 f（x）=lnx+2x-6是否有零点？如果有，有几个？

【设计意图】我们知道教科书是利用二次函数来开展研究的，但是二次函数的探究只能发现定理，对于“函数在区间上有零点但端点函数值不一定异号”这一难点问题却很难突破。于是我改为让学生小组合作研究问题4，学生在探究过程中，出现了如下的解决思路：（1）把函数 f（x）=lnx+2x-6零点转化为两个函数y=lnx和y=6-2x的图像交点。（2）利用描点法画函数 f（x）=lnx+2x-6的图像再结合单调性来求解零点个数。帮助学生提升转化与划归及数形结合的能力.

问题5：函数y=f（x）需要满足什么条件，y=f（x）在区间 （a ，b）上一定有零点？

定理：

如果函数y=f（x）在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函数y=f（x）在区间（a ，b）内有零点，即存在c∈（a ，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根。

【设计意图】定理探究是本节课最艰难的环节。我设计的初衷是这样的，给出一个不容易求解的方程，探究零点是否存在以及如果有，有几个的问题。学生在通过画图的过程发现端点函数值正负的变化以后，引导学生质疑评价，端点函数值异号是否是存在零点的充分条件，学生各抒己见最后达成共识。在探究的过程中也锻炼了学生逻辑推理及数学抽象的核心素养。可以说在高中数学中，以“存在”为结论的定理屈指可数，学生对这个定理的理解自然就感觉深奥莫测。于是在定理得出之后呢，我又设置了一个自由发问的时间，学生讨论热烈。

问题6：你对定理的理解还有什么问题？

以下是学生课堂生成的问题：

1.定义在区间[a，b]上的连续函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点，则一定有f（a）·f（b）<0吗？

2.定义在区间[a，b]上的连续函数y=f（x）满足f（a）·f（b）<0，则函数y=f（x）在區间（a，b）上零点个数可能是几？是否一定是奇数？什么条件下才能确定零点唯一？

设计意图：对于定理的理解，学生提出了以上问题。在学生提问，生生互问及教师的追问过程中，学生的思维非常活跃，随机生成的问题让课堂变得丰满和灵动起来。通过师生共同探究对定理有了更加深刻地理解：一方面定理具有一般性，及定理不可逆性，另一方面，教师引导学生感悟之所以从函数的角度求解方程，是因为函数的图象与性质为方程的求解推开了一扇窗，让学生体会用数学思维思考现实世界。在定理探究的讨论中提升学生数学抽象和逻辑推理的能力。

传统理论课的教学，一般的处理就是把知识讲清楚，让学生理解。经过几年的实践，我在理论课的教学中有了一些尝试。在知识层面上，将已有知识和新知识建立关联，通过问题驱动，学生活动，探讨知识的生成过程，深入本质、发现规律;在能力层面上达到解决问题、形成规律;在发展学科思维上，达到举一反三、迁移到同类或他类学习。从知识层面提升到能力，再到思维层面。

即便是教科书上的内容，学生也会提出“为什么”，即便老师告诉学生这就是定理，学生也会提出“条件有所改变为什么不可以”等类似于这样的问题。当这一切内化为学生自发行为的时候，也就超越了课堂教学本身。

■ 编辑/魏继军