无条件极值判别法在条件极值问题上的实现*

谭毓澄 邓长寿 彭 虎

(九江学院理学院 江西九江 332005)

拉格朗日乘数法是求条件极值的非常重要的方法，但关于其中的乘数不同的人有不同的理解.文献[1]把它理解为一个特定的数，文献[2]则理解为一个独立的变量，其实经典的理解[3]是把乘数看成变量的函数.对参数的不同理解直接影响拉格朗日乘数法的后续探讨.文章基于把乘数理解为变量的函数，导出了关于条件极值存在的若干结论.论文对定理1给出了详细的推导过程.定理2与定理3的证明可统一归于定理4的证明中.关于条件极值存在的充分条件，一些文献[1-2,5-6]已给出不少结论，但限于没有找到恰当的数学形式，所得结论或是不具有一般性，或是操作性不好.

1预备知识

引理1设ai,bi,cij(i,j=1,2,…,n)均为实数，则

证明

2 条件极值存在的充分条件

2.1单条件下的一元复合函数情形

拉格朗日乘数法本质上还是来源于无条件极值的方法.设函数f(x,y)，φ(x,y)均存在连续的二阶偏导数，条件φ(x,y)=0，在一定条件下可确定y关于x的函数.此时z就是关于x的一元复合函数，所求的极值问题实际上就是一元函数的无条件极值问题.考虑复合函数二阶可导情形，要找到函数的极值点，自然首先寻找一阶导为零的点.即解方程组：

为了使数学形式更具有美感，令；

则上述方程组等价于该形式：

(1)

构造拉格朗日函数：

L(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y),

则方程组(1)即为：

(2)

在此把方程组(2)简称为拉氏方程组.从上文可看出λ确实是变量x,y的函数，但方程组(2)形式上又是把λ当成数值对待.把方程组(1)记为方程组(2)的形式完全是出于记忆的方便.若由拉氏方程组解得了P0(x0,y0,λ0)，则得到了原极值问题的可能极值点M0(x0,y0).到底M0(x0,y0)是不是极值点？一般教材[3-4]都是建议按问题的实际意义或几何意义来加以判断.下面利用z关于x的二阶导数在点M0(x0,y0)的符号加以考察.

即：

简化得：

记

(1)当Dxx(P0)>0时，点M0(x0,y0)为条件极值的极小值点；

(2)当Dxx(P0)<0时，点M0(x0,y0)为条件极值的极大值点.

例1 求函数z=xy在条件3x+2y=1下的极值.

解：令f(x,y)=xy，φ(x,y)=3x+2y-1，L(x,y,λ)=xy+λ(3x+2y-1)

Lx=y+3λ,Ly=x+2λ,Lxx=0,Lxy=1,Lyy=0φx=3,φy=2

由拉氏方程组可得点P0(1/6,1/4,-1/12)，于是

故点M0(1/6,1/4)为本题的极大值点.

2.2 单条件下的二元复合函数情形

对极值问题u=f(x,y,z)，s.t.φ(x,y,z)=0

进行类似上述的分析.不妨设方程φ(x,y,z)=0确定了z关于x,y的二元函数，并设f(x,y,z)，φ(x,y,z)有连续的二阶偏导数.此时需如下的判别量：

定理2 设f(x,y,z)，φ(x,y,z)有连续的二阶偏导数，并设φz≠0.现考虑函数f(x,y,z)在条件φ(x,y,z)=0下的极值.若按拉格朗日乘数法求得P0(x0,y0,z0,λ0)，M0(x0,y0,z0)，则：

(1)当HP0为正定矩阵时，点M0为极小值点；

(2)当HP0为负定矩阵时，点M0为极大值点；

(3) 当HP0为不定矩阵时，点M0不是极值点.

2.3两个条件下的一元复合函数情形

下面考虑带两个约束条件的极值问题

u=f(x,y,z)，s.t.φ(x,y,z)=0,ψ(x,y,z)=0

此时拉格朗日函数定义为：

L(x,y,z)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)+μψ(x,y,z)

设按极值点存在的必要条件求得点P(x,y,z,λ,μ)，则：

另引入记号：

按隐函数求导，以及复合函数求导，在可能极值点(x,y,z)处二阶导为：

记

定理3 设f(x,y,z),φ(x,y,z),ψ(x,y,z)有连续的二阶导，现考虑函数f(x,y,z),在φ(x,y,z)=0,ψ(x,y,z)=0条件下的极值，记点P0(x0,y0,z0,λ0,μ0)为解拉氏方程组所得的点，又记点(x0,y0,z0)为M0，并设约束方程在M0某领域确定了两个可导的隐函数，则：

(1)当Dxx(P0)>0时，点M0为条件极值的极小值点；

(2)当Dxx(P0)<0时，点M0为条件极值的极大值点.

例2 求u=xyz在条件x+y=1,x-y+z2=1条件下的条件极值.

解：设u=f(x,y,z)=xyz,φ(x,y,z)=x+y-1,ψ(x,y,z)=x-y+z2-1

L(x,y,z,λ,μ)=xyz+λ(x+y-1) +μ(x-y+z2)

由拉氏方程组解得：

又：

Lxx=0,Lxy=z,Lxz=y,Lyy=0,Lyz=x,Lzz=2μ

注意到Fz≠0，可把u理解为关于z的一元复合函数.

据此点

故点M3不是问题的极值点.

2.4一般情形下极值存在的充分条件

一般地，对于多元函数多条件的极值问题可继续采用前述方法.此时，描述起来更复杂些.为此，先介绍一些记号.

考虑条件极值问题f(x1,…,xn)s.t.hr(x1,x2,…,xn)=0,r=1,2,…,m

设方程组hr(x1,x2,…,xn)=0, (r=1,2,…,m)确定了m个关于(x1,x2,…,xn-m)的函数，并且函数hi(x1,x2,…,xn), (i=1,2,…,m)有连续的二阶偏导数.令：

设

由拉氏方程组可得λr的多种表达形式.如：

i∈{1,2,…,n-m};k∈{n-m+1,,…,n}

定理4 对于条件极值f(x1,…,xn)s.t.hr(x1,x2,…,xn)=0,r=1,2,…,m.

若f(x1,…,xn)，hr(x1,x2,…,xn) (r=1,2,…,m.)，均有连续的二阶偏导数.并且约束方程确定了m个关于(x1,x2,…,xn-m)的隐函数.记：

(i=1,2,…,n-m;j=1,2,…,n-m)

(1)当HP0为正定矩阵时，则M0为条件极值问题的极小值点；

(2)当HP0为负定矩阵时，则M0为条件极值问题的极大值点；

(3) 当HP0为不定矩阵时，则M0不是条件极值问题的极值点.

证明：设u=f(x1,x2,…,xn)，显然u是关于(x1,x2,…,xn-m)的复合函数.

(3)

依据复合函数与隐函数求导法则有：

然后针对Dij展开项找左端的对应项.

(r=1,2,…,m;p,q=n-m+1,n-m+2,…,n)

并逐项检查左端对应的项.

又λr=

(4)

将此行列式中的第k列与第p列交换位置并与(4)式相减，然后利用引理1即得：

注意到，

于是，

λrF∂xp/∂xiF∂xq/∂xj.至此证明了等式(3)两端关于函数f,hr(r=1,2,…,m)二阶偏导的系数都相等，故等式(3)成立，从而定理4得以证明.

解：设

于是，

Lx1x1=2λ3,Lx1x3=1,Lx1x4=0,Lx1x5=1,Lx3x3=2λ3,Lx3x4=0,Lx3x5=1,Lx4x4=2λ3

Lx4x5=0,Lx5x5=2λ3,Lx1x2=2x2,Lx2x3=0,Lx2x4=1,Lx2x5=0

F0=4(x3-x5),F∂x3/∂x1=4(x1-x5),F∂x4/∂x1=0,F∂x5/∂x1=4(x3-x1)

进而有，

=32x2(x3-x5)2

故，

事实上，由条件方程组可解得：

即：

由此可验证上述答案的正确性.

3结语

就数学而言，形式与内容往往是一体的.恰当的数学形式可以救活一个公式，也可以救活一种理论.从形式中去把握数学的统一性与启发性，也是数学修养的重要组成部分.