数值模拟技术在“材料力学”教学中的应用研究*

乐建波，况小春，计燕华，程 栋

（景德镇陶瓷大学，江西 景德镇 333403）

0 引言

“材料力学”课程是机械类、建筑类等工科专业的基础课程，对培养学生工程结构设计等方面的理论分析和工程实践能力有着重要贡献[1-2]。然而，由于该门课程具有概念散、数学公式多、内容复杂抽象、学习难度大[3]的特点，传统的教学方式易导致学生学习主动性差、理论知识掌握不牢靠、工程运用能力不足等问题。随着新兴技术的发展，这种教学方式显然未必符合高素质人才培养的需求。

为解决上述问题，国内众多院校在“材料力学”的课程体系、教学内容以及教学方法等方面做了大量的改革，取得了不少成果。如王云洋等[4]通过材料力学低碳钢拉伸实验教学改革来提高学生的实践动手能力、分析问题和解决问题的能力；卢玉林等[5]以不同开孔板的力学性能为例，对实验中所包含的材料力学知识点进行串联，并与钢结构课程的知识点进行了有效衔接，以此达到激发学生学习动力；耿红霞[6]通过学生自主设计结合工程实际的双轴拉伸实验的方法，达到加强锻炼学生分析问题、解决问题的实践能力，实现实验课程由传统模式向探究模式的转变；李丽君等[7]将CAE方法应用到压杆稳定教学中，使欧拉公式抽象的理论教学变得形象生动，弥补了缺少实验的不足，丰富了学生的知识；胡可军等[8]通过MSC.Marc软件建立拉伸试验、应力集中、圣维南原理和偏心拉伸的数值模型，展示了其在“材料力学”教学中应用情况，提升了学生对“材料力学”课程基本概念和基本理论的掌握，激发了学生对“材料力学”课程的学习兴趣；李一帆等[9]提出了将数值模拟方法引入到“材料力学”教学中来，将“材料力学”的教学与数值模拟技术紧密结合在一起，使“材料力学”教学中难以讲解清楚的现象直观地展现在学生面前，同时提高了学生力学分析的基本技能和计算机操作与软件应用的能力。这些教学手段有助于提升学生对“材料力学”中抽象概念的理解能力与应用能力，但实验设备昂贵，且实验耗材大，使底子薄、基础差、经费紧张的一般院校更加困难；加上数值模拟技术的应用也只是借助其良好的视觉效果帮助学生理解，未做到理论计算与数值计算相结合，不能提升学生动手建模及工程应用与分析能力。因此，有必要进一步将数值模拟技术的应用融合到“材料力学”的教学研究中去。

在本课题组中，笔者通过数值模拟方法对材料力学中T形截面铸铁梁的受力变化情况进行理论分析，采用线模型建立T形截面铸铁梁的物理模型，构建了梁的数学模型，并进行数值求解。在此基础上，将理论计算与数值模拟计算得到的梁的受力变化情况进行比较，以验证数值模拟技术能融合到材料力学教学中，并可提升学生的建模和分析问题能力。

1 物理模型

以“材料力学”课程中的T形截面铸铁梁为例，其截面尺寸和荷载如图1所示。该梁为外伸梁的一种基本形式，其特点是左端采用固定铰支座进行固定，在距梁右端1 m处采用活动铰支座进行固定。在这两种固定方式的作用下，梁的左端可在平面内转动，右端能在平面内转动的同时可在水平方向左右移动。为简化计算量，在建立物理模型时采用线模型，并根据材料力学中各向同性的基本假设设置材料的特性为各向同性，T形梁的简化物理模型如图2所示。T形梁的基本参数如表1所示。

图2 T形梁的简化物理模型Fig.2 Simplified physical model of T-beam

表1 T形梁的基本参数Table1 Basic parameters of T-beam

2 数学模型

工程中对于受弯的梁除强度有要求外，往往对刚度还有一定的要求，即要求梁的弯曲变形不能过大，否则也将导致梁的失效。在“材料力学”课程中求解梁的弯曲变形时，首先需要建立力偶的平衡方程将支座对梁的支撑反力一一求解出来，其次将梁上所有外力联立起来，构建梁的分段弯矩方程，最后再利用二次积分法得到梁的挠度方程，从而得出梁的变形。因该T形梁的中间有集中力作用在C处，还有一个支座作用在梁的B处，故需将该梁分成三段，分别建立相应的方程。

根据材料力学中的求解思路，第一步得出梁的力偶的平衡方程：

式中：FRA、FRB分别为A、B两处的支反力，kN；F1、F2分别为作用在梁上C处和D处的外载荷，kN；lCB，lBD分别为相应梁段的长度，m。

以A点为原始点，建立与梁平行的x轴，向右方为正方向，与x轴垂直的纵坐标为梁弯曲的位移，即梁的挠度。利用已求出的支撑反力分别求出梁各段的弯矩方程，再进行二次积分得出挠度方程，如下所示。

AC段的弯矩方程和挠度方程（0≤x≤1）：

BD段的弯矩方程和挠度方程（2≤x≤3）：

式中：E为梁的弹性模量，Pa；I为梁横截面对中性轴的惯性矩，cm4；W1、W2、W3分别为AC、CB、BD三段所对应的挠度，即梁承受载荷后在纵向的位移量，mm。

为清晰看出力随轴向的变化情况，并判断梁的危险位置，在“材料力学”中常需绘制剪力图与弯矩图。而对于符号的判定也有相应的规则，在剪力符号的判定中利用了顺逆时针的判定方法，即若左端的外力合力向上，则会使靠近左端的梁呈现出顺时针转动的趋势，则该段处的剪力为正，反之则相反，靠近右端剪力的判定可采用同样的方法判定；在弯矩符号的判定中也有类似的方法，但归纳为若两端的合力向上使梁呈现下凹趋势，则该段梁上的弯矩为正，反之则为负；挠度判定的规则是若梁向下弯曲时则挠度为负，向上则为正。根据上述方法，可以得出AC段的剪力为横值2.5 kN，CB段的剪力为横值-6.5 kN，BD段的剪力为横值4 kN；C截面处最大正弯矩为2.5 kN·m，挠度为-0.66 mm，B截面处最大负弯矩为-4 kN·m，D截面处挠度为-2.14 mm；T形梁的剪力图和弯矩如图3所示。

图3 T形梁剪力图和弯矩图Fig.3 Shear force diagram and bending moment diagram of T-beam

3 结果分析

模拟T形梁受载荷时所得到的剪力分布云图如图4所示，从图中可以看出模拟得到的剪力数值与上述计算结果一致，在AC、CB、BD三段处的剪力均为横值，分别为2.5 kN、6.5 kN、4 kN，且在CB段的剪力值最大。但此模拟结果无法判定出各段剪力的正负号，需进一步给出模拟结果。

图4 T形梁剪力分布云图Fig.4 Shear force distribution Cloud diagram of T-beam

模拟T形梁受载荷时所得到的剪力图、弯矩图及挠度图如图5所示，从图中可以看出模拟结果与上述计算结果一致，在剪力图中AC、CB、BD三段的剪力均为横值，分别为2.5 kN、-65 kN、4 kN，且在CB段的剪力值最大，在弯矩图中各段的分布数值及符号均与上述计算结果相同，且在C处的弯矩为2.5 kN·m，B处的弯矩为-4 kN·m，在挠度图中各段的分布数值与上述计算结果一致，且在C处的挠度为0.66 mm，D处的挠度为2.14 mm，此挠度符号与上述所述的规则相反，但梁弯曲程度的研究不受影响。

模拟T形梁受载荷时所得到的挠度分布云图如图6所示，从图中可以发现梁受到相应载荷后所呈现的弯曲变形趋势与理论分析一致，且在C处的挠度为0.66 mm，D处的挠度为2.14 mm，而A、B处因受到支撑的限位约束作用，不产生位移，故该处的挠度均为0 mm。

图6 T形梁挠度分布云图Fig.6 Deflection distribution Cloud diagram of T-beam

4 结论

本课题组以材料力学中的T形截面梁为例，采用线模型建立了T形梁的简化物理模型，通过对比分析数学模型与数值模拟所得的剪力、挠度及弯矩分布情况，得出以下结论。

1)采用数值模拟方法建立以线模型为基础的T形梁简化物理模型，能有效描述T形梁受载时梁轴线方向上的剪力、挠度及弯矩分布情况，模拟结果与理论计算结果相吻合，可用于“材料力学”的教学指导；

2)梁在集中载荷或支撑处截面上的剪力会发生突变，突变值等于该处的合力，而在集中载荷或支撑处左右端截面上的剪力为横值；

3)梁在集中载荷或支撑处的弯矩存在极值，当该处的合力朝下作用时，弯矩为正值，反之为负；因此该T形梁在C处的极值弯矩为2.5 kN·m，B处的极值弯矩为-4 kN·m；

4)梁在集中载荷处的挠度值最大，在支撑约束处挠度值最小，因此该T形梁在C处的挠度值为0.66 mm，B处的挠度值为0 mm，D处的挠度值为2.14 mm。