Dini型多线性Caldern-Zygmund算子在Herz型Hardy空间上的有界性

王美仲,叶晓峰

(华东交通大学 理学院, 江西 南昌 330013)

0 引言

近些年来,多线性算子理论得到了快速发展,Coifman和Meyer首先在文献[1-2]中提出了多线性算子。这一理论的提出使调和分析取得了重要的突破。

定义1[3]定义在{(Rn)m(x=y1=y2=…=ym)}之外的一个局部可积函数k(x,y1,…,ym)被称为w(t)型m-线性c-z核。如果存在这样一个常数A>0,使得

(1)

且(x,y1,…,ym)∈(Rn)m+1，x≠yj,对于j∈{1,2,…,m}，有：

(2)

(3)

如果

记T：φ(Rn)×…φ(Rn)→φ′(Rn)是一个具有w(t)型C-Z核的m-线性c-z算子,其φ∈S(Rn),S(Rn)为施瓦兹函数空间。

令Bk={x∈Rn:|x|≤2k},Ek=BkBk-1且χk=χEk,w∈Dini(a),k∈Z。其中χE表示集合E的特征函数。

定义3[4]设α∈R且0

(4)

其中

(5)

当p=∞时作相应修改。

其中

(6)

当p=∞时作相应修改。

1 乘积Herz型Hardy空间的有界性

定义4[4]设α∈R且0

本文只讨论了齐次Herz型Hardy空间的情况,对于非齐次的情况类似,这里省略了非齐次Herz型Hardy空间的讨论。这些空间有下列的关系：

与Hardy空间的理论一样,对Herz型Hardy空间也有很多相关的研究。根据中心原子给出了Herz型Hardy空间的特征分解。

① 对某个r>0, suppa⊂B(0,r)={x∈Rn:|x|≤r}；

④ 对某个r≥1, suppa⊂B(0,r)。

若a(x)满足①～③,则Rn上函数a(x)称为中心(α、q)原子。

若a(x)满足②～④,则Rn上函数a(x)称为限制型中心(α、q)原子。

(7)

下确界取遍f的所有如上的分解。

(8)

下确界取遍f的所有如上的分解。

定理

为了估计I1,考虑当l1≤k-2,l2≤k-2,x∈Ek,对于l1和l2，设l1≤l2且al1是中心(α1,q1)原子，则

代入I1有

故对于I11,当0

对于I2,因为l1≤k-2,l2≥k-1,且x∈Ek。又因al1是中心(α1,q1)原子，则有

代入I2有

对于I4,由于T是从Lq1(Rn)×Lq2(Rn)到Lq(Rn)有界的，则

=CI41×I42。

对于I41,当0

根据I1,I2,I3,I4，本文有

最后对f1,f2所有的分解取下确界得

对于非齐次Herz型Hardy空间也有上述类似的结论,这里省略了证明。