导数中的恒成立问题探索

贺香惠

【摘要】导数是数学当中非常重要的内容，它为研究函数的性质提供了强有力的工具，在高中阶段是一项重点教学内容.导数题目在历年高考中频繁出现并且占据较大分值，在大学高等数学中，导数虽然不再作为教学内容，但是在解答其他题目中会经常用到.本次研究中对导数恒成立问题进行分析.

【关键词】高中数学;导数;隐零点;恒成立

一、引 言

高考数学中经常出现导数恒成立题目，并且占据较大分值.导数恒成立题目可以系统地检验学生对导数知识的掌握情况，同时考查了学生的逻辑推理能力、运算能力、归纳整合能力，包括一系列数学思想，也渗透数学的核心素养.导数恒成立在数学中属于难度系数较大的题目，教师在日常教学中通常会使用通性通法解答导数恒成立题目，通性通法的实质性原则就是将导数恒成立问题转化为函数问题，利用数形结合对函数的单调性与极值进行研究分析，值得注意的是，在解答导数恒成立题目时需要区分好能成立、恰成立之间的区别.

二、函数性质

通过将导数恒成立问题转化为函数问题，分析函数性质进而解决问题可以进一步促进学生对题目的理解与掌握[1].运用函数性质解答题目需要重点分析函数的单调性、极值、最值，以求解导数恒成立问题.

题目1：求证：ln x+1x≤1恒成立.

证明不等式恒成立问题，可以转化为对应函数的最大值问题，可以令f（x）=ln x+1x，求导函数f ′（x），得到f ′（x）=-ln xx2，由导数性质得知，在（0，1）区间内导数为正，（1，+∞）区间内导数为负.故当x=1时，函数求得极大值[2].在定义域内，如果有唯一的极大值，那么函数的极大值与最大值是相等的，因此，进一步得知函数最大值f（1）=1，得证.

三、构造函数

构造函数在解答许多函数题目的过程中都会被运用，实质上就是对不等式两端进行整合处理，经整合后一个新的函数由此诞生，整合得出的函数可以用于解决题目问题[3].

可以使用构造函数的方法解答两个函数与导数恒成立问题.常见的函数恒成立问题主要有以下类型：f（x）≥g（x）与f（x）-g（x）≥0性质一致，f（x）≤g（x）与f（x）-g（x）≤0性质一致.

题目2：在定义域内恒成立问题可转化为ln x≤x-1恒成立，即ln x-x+1≤0恒成立，在此基础上使用构造函数进行解答.在构造函数思想下，不等式恒成立问题被转化为函数单调性问题，分析函数的相关性质，使导数恒成立题目难度适当下降，答题失误率也有所下降.

恒成立问题除了证明以外，还有很多在恒成立的条件下，求参数范围的问题，也可以采用构造函数的思路进行讨论，讨论新构造的函数的性质问题.

题目3：设函数f（x）=ex-e-x.若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围.

解：令g（x）=f（x）-ax，则g′（x）=f ′（x）-a=ex+e-x-a.

（1）若a≤2，当x>0时，g′（x）=ex+e-x-a>2-a≥0，故g（x）在（0，+∞）上为增函数，

∴x≥0时，g（x）≥g（0），即f（x）≥ax.

（2）若a>2，方程g′（x）=0的正根为x1=lna+a2-42.

此时，若x∈（0，x1），则g′（x）<0，故g（x）在该区间为减函数.

∴x∈（0，x1）时，g（x）

综上，满足条件的a的取值范围是（-∞，2].

构造新函数解决问题也是数学中转化思想的重要应用，在这个过程中提高了学生的逻辑思维能力，提升了数学素养.

四、参变分离

有些恒等式中含有参数，通常会使用离散变量的方法，其本质是通过同解变形的方式分离题目参数中的主元、方程、不等式，目的是使函数关系更加明显，进一步使用函数关系解答题目可降低答题难度[4].

对于解答函数恒等式的题目来说，分离变量是一种常用的重要方法.使用分离变量解答题目的好处在于，可以有效地将函数中的参数消除，进一步转化为具体参数，以简化题目.

题目4：若不等式1+1nn+a≤e对任意的n∈N都成立（其中e是自然对数的底数），求a的最大值.我们可以尝试将题目转化为（n+a）ln1+1n≤1，由1+1n>1，知a≤1ln1+1n-n，求确定函数G（x）=1ln（1+x）-1x的最大值问题.

但是，有的时候参变分离后函数的最值问题不容易求出，这个时候需要用到求二阶导数，隐零点求最值.比如，参变分析之后得到a≤ex-ln xx-1x.

令h（x）=ex-ln xx-1x，h′（x）=x2ex+ln xx2，但是一階导数的根不容易找到，再令g（x）=x2ex+ln x，容易判断g（x）为增函数，且有一个零点，不妨设为x0，则使得x20ex0+ln x0=0，即x0=ln1x0，h（x）min=h（x0）=ex0-ln x0x0-1x0=1.为了加强对隐零点的熟练应用，还可以做一些变式练习.

五、洛必达法则

还有很多是题目参变分离之后无法用常规的方法求解的最值问题，尤其是端点值无意义的时候，我们需要用到洛必达法则.由洛必达法则可知，函数f（x），g（x）满足：

（1）lim f（x）x→a=lim g（x）=0x→a.

（2）a点的某去心邻域中，均有f ′（x），g′（x），同时g′（x）≠0.

（3）limx→af ′（x）g′（x）=A，即limx→af（x）g（x）=limx→af ′（x）g′（x）=A.

可以对分子、分母分别求导、极限，从而对未定式的值进行确定，这就是洛必达法则.

值得注意的是，在解题过程中运用洛必达法则是对分子、分母分别求导，不是对商求导，求导结束后进一步求极限得到最值[5].高中阶段的同学已经具备接受洛必达法则的能力，如果在实际解题过程中运用洛必达法则，那么将大大提高解题效率.

使用洛必达法则解题时大致思路如下：

lim g（a）=lima→1ln12+a21-a2

=lim121+a-1-2a=lima→111+a-2a-1=-12-2=14.

通过洛必达法则可以快速得出a在趋近于1的情况下函数的极限值.

在解题过程中使用洛必达法则可以在一定程度上降低计算量，增强学生解题信心[6].一些同学并不擅长使用函数性质、构造函数、参变分离的方法对导数恒成立问题进行解答，因此，教师在实际教学过程中可以向学生拓展洛必达法则解答题目，有效弥补了部分学生的解题障碍.

六、高中阶段导数教学策略

1.先学后教

在新课程教育背景下，“分数至上”的应试教育理论正在逐渐被淘汰，应试教育下老师讲学生听这种模式也在渐渐被替代.先学后教，就是给学生更多的自我思考与学习机会，先学实质上就是学生在课前进行深度的预习，将自我学习过程中不明白的问题记录下来，带着问题去上课.这种教学方法是可以实现老师与学生双赢的一种途径，既提升了学生的学习效率，也提升了教师的教学效率.对于学生已经自我领会的知识点，教师在课堂上不再需要重点解析，而对于学生有异议的知识点，教师需要在课堂上予以重点解答.

2.与实际生活相结合

数学作为一门自然科学与实际生活中的种种现象是密不可分的.实质上，高中数学中的导数就是物体的变化率，而物体变化率又涉及高中物理学中的平均速度，借助物理学讲解数学导数可以构建出更多生动的教学应用场景.除物理学外，在经济学中也涉及许多关于导数的知识[7].所以说，教师在讲解导数时不要把导数仅仅看作考试题目、数学知识，而要尽可能与物理现象、经济现象等贴近生活实际的问题构建联系，让学生学习导数不再机械化，而是学以致用.

3.注重培养学生的抽象思维

在新课程教育背景下，教师需要赋予学生更多探索问题的机会与时间.学生经过自主学习掌握了导数的定义，明确了导数的实质性问题是对物体瞬时变化率的描述，理解了导数的思想与意义.教师需要培养学生用数学知识解答生活中的问题，培养其抽象思维，这样不仅使学生进一步巩固了数学知识点，也实现了对数学知识的应用.

4.强化学生推理论证能力

导数恒成立是高中数学阶段重点教学内容，也是高考数学重点题目.函数的单调性与导数恒成立之间有着密切的联系.在学习函数单调性的过程中，教师就可以借助函数单调性引导学生了解导数恒成立问题，帮助學生实现深入学习，使学生的推理能力得到提升.学生凭借强大的推理能力可以提升并掌握知识之间的关联性能力.

5.日常重视总结解题规律

导数恒成立是高考重点题目，因此，历年的高考数学中导数相关题目占据较大的分值，并且导数恒成立一般会作为解答题，占据的分值在15—20范围内.高考题型变幻莫测，很难保证在考试中遇到前所未见的题目，但是千变万化的题型终究离不开导数的本质.因此，学生需要注重对导数本质的理解，同时，在日常学习中注重对导数题目解题规律、技巧的总结.当总结一定的规律、技巧后，再结合导数的本质，面对任何类型的导数题目时都会应付自如.

七、建 议

对于高中数学阶段解答导数恒成立相关问题时，本次研究提出以下建议：

1.学生的课堂地位

在数学课堂上，教师需要培养学生的创新思维.而要培养学生的创新思维，教师在课堂上就不能限制学生的思维，需要赋予学生充分的课堂主体地位，调动学生积极思考，并以探索的方式尝试用多种方法解答题目.

2.课后的反省与总结

在每一次数学课结束后，学生需要对课堂内容积极地进行反思和总结，不要仅仅拘泥于教师的解题方法与思路，而要在课后总结中发现一定的创新之处，最终发掘真正适合自己的方法.

3.教师引导

在大学阶段，学生需要面临高等数学的学习.高中数学还属于初等数学阶段，因此，在高中阶段学好数学对于学习高等数学具有鲜明的指导作用.

八、结束语

导数恒成立问题是数学学习中一个重要的知识点，在高中数学教学中是重点教学内容，在高考数学中占据较大分值.历年高考中关于导数恒成立题目的变化层出不穷，让许多考生防不胜防，但是，只要学生在学习中抓住了导数恒成立问题的本质，就可以轻松解答问题.本次研究中对导数中的恒成立问题进行探索，首先举例使用函数性质对导数恒成立进行解答;使用构造函数的方式解答导数恒成立题目;有些导数当中含有参数讨论，对于这些问题本次研究提出使用离散变量的方式对题目进行解答.除上述方法外，本次研究还提出了洛必达法则，相比其他的解题方法，使用洛必达法则解答导数恒成立题目可以更加简便、精确.

【参考文献】

[1]潘荣杰.揭示原有函数本质特征 助力导数综合问题解决[J].数学通报，2019，58（11）：42-45，66.

[2]舒华瑛.“导数与函数”高考题解题策略探析[J].延边教育学院学报，2019，33（01）：128-130，134.

[3]邓慧丽.高中导数应用试题题型的分析与研究[D].西安：西北大学，2018.

[4]马晓红.导数：求参数的取值范围的利器[J].科技经济导刊，2016（31）：136-137.

[5]陈小明.恒成立与存在性成立问题在函数最值中的应用[J].科学咨询（科技·管理），2015（29）：122，124.

[6]杨洁.新课标中函数恒成立问题的解法[J].凯里学院学报，2014，32（06）：171-173.

[7]刘移山，夏慎谦.导数在中学数学不等式中的应用[J].科技信息，2013（20）：351.