基于“立序”视角的小学数学教学思考

钱国华

关键词 小学数学;“立序”;知识之序;认知之序;学习之序

中图分类号 G623.5

文献标识码 A

文章编号 2095-5995（2021）12-0053-03

教学的规范性是建立在学生相关学习规律基础之上的，而“序”是规范性教学的重要尺度。小学数学教学之“序”包括知识之序、认知之序与学习之序。有序的数学教学，能培养学生数学思维能力，调动学生创新思维意识，同时还能引导学生尝试独立思考，让学生的数学认知、思维、学习等从失稳走向稳定，从固化走向灵动。

一、“序”的缺失：聚焦当下数学教学问题

“序”是一切物质演变的趋势与样态。比利时科学家普里戈金曾说，“这个世界上的一切事物都向着自身相对有序的状态发展”，教学也是如此。在教学中，教师要处理的两个根本性的问题就是“选材”和“立序”。“选材”强调教师要因材施教;“立序”则强调教师教学时要循序渐进。当下的数学教学问题现象，有很多可以归结为“序”的缺失，其结果是学生思维模糊，对知识的理解不深刻，具体表现如下：

（一）知识之序缺失导致学生认知模糊

知识之序体现在教材之中。教材内容的编排遵循从简单到复杂、从浅显到深刻的原则。前面的知识是后面知识的基础，教师按照知识序列进行教学，学生便可逐步深入，从整体上把握知识体系。如果教师在教学中忽略了知识之序，那么学生对数学知识的理解就会流于表面。例如，有的教师在教授“分数的初步认识（二）”时，由于没有及时复习“分数的初步认识（一）”中的相关内容，导致学生在建构分数知识体系时显得力不从心，这反映了知识之序的缺失。知识之序是教学的根本，是教学的灵魂，在教学中既不能缺位又不能越位，否则就只能得到“欲速而不达”的结果。因此，教师在进行数学教学设计时必须对教材中涉及的相关内容进行仔细梳理，这样才能引导学生更好地构建知识体系。

（二）认知之序缺失导致学生思维失稳

认知之序包括两个方面，一方面是数学知识的形成规律，另一方面是学生认知、思维和心理的发展规律。认知之序的缺席容易导致学生认知与思维的失稳。在教学中，笔者发现许多教师对学生认知心理之序的理解较为肤浅。例如，在教授“圆的周长”一课时，有的教师忽略了学生的认知之序，为了区分“半圆的周长”和“圆周长的一半”，不惜进行烦琐的公式推演，形成了“πr”（圆周长的一半）“πr+2r”（半圓的周长）等公式，反而对学生识记知识造成了阻碍。实际上，教师可以通过引导学生画图来表征“圆周长的一半”和“半圆的周长”，用图形来表现两者的特点，引导学生自己推导公式，这样才能获得更好的教学效果。学生的思维发展遵循由具体形象思维到抽象逻辑思维发展的规律，忽略学生的认知之序，教学就将事倍功半。

（三）学习之序缺失导致学生理解肤浅

有序是教学的本真追求。教师开展教学，不仅要关注数学知识之序、学生认知心理之序，还要关注学生的数学学习之序。一般来说，学生对数学知识的理解，是从外部的实践活动开始的，而后逐渐过渡到内隐的思维活动。如果教师的教学活动指向不明，学生的数学学习一定是模糊的、不确定的。例如，在教授“10的分与合”一课时，有教师直接通过课件呈现“10的分解”结果，让学生根据课件理解记忆。这样的操作看似是一种“有序操作”，但却没有让学生充分经历从“无序”到“有序”的过程，学生仅仅是依葫芦画瓢，而没有经过自主探索，这就导致学生对知识的理解较为肤浅。所以，教师应通过实践活动有意识地引导学生探索知识，引导学生质疑知识、解构知识和建构知识，帮助学生深刻地理解数学知识，同时促进学生高阶认知和高阶思维的发展。

二、“序”的回归：建立学生对学习过程的科学认知

学生数学学习的“无序化”呼吁学生数学学习之“序”的回归。在小学数学教学中，教师不仅要关注自身的教学之序，更要关注学生数学学习之“序”。“序”的回归，可以帮助教师建立对学生学习过程的科学认知。在数学教学中，学生学习之“序”的回归是根本，教师教学之“序”的回归是保障。那么，我们应当从哪些方面来为学生的数学学习“立序”呢？

（一）知识之序的回归

知识之序主要有两个方面的内容：其一是知识的诞生、发生与发展之序，这要求教师在教学中瞻前顾后，体现数学知识从外在到内在、从现象到本质、从结果到原因的过程;其二是数学知识与相关知识的关联之序。教师在教学时要引导学生发掘数学知识的本源，即本质之源，梳理数学知识的脉络，同时体现数学知识的生成、生发过程。教师把握好数学知识之序，才能让学生学得明白、理解到位。例如，教授“分数的基本性质”时，教师可以先引导学生比较分数和除法算式，让学生认识分数和除法算式的联系与区别，为学生学习分数的基本性质奠定基础。在此基础上，教师可以再引导学生借助动手画图、操作等探索性的活动，探究分数的基本性质，并比较商不变的规律和分数的基本性质。由于循着数学知识的发展脉络和前后关联开展学习，学生的学习过程就会行云流水、自然而然，学生的数学知识建构与统整也在潜移默化中得以完成。

（二）认知之序的落实

所谓认知之序，就是教师教学时要遵循学生的认知心理发展顺序。只有遵循学生的认知心理发展顺序，教师才能有效地帮助学生建构认知结构。认识结构实质上就是外在的知识结构在学生心理上的一种建构。换言之，认知结构是知识结构在学生心理的投射。例如，教授“梯形的面积”时，学生已经学习了“平行四边形的面积”“三角形的面积”等知识，因而对“倍拼法”“剪拼法”等求面积的方法有了一定的认知，在头脑中形成了相应的表象和心理图式。因此，笔者鼓励学生自主探究梯形的面积公式。学生基于各自的认知结构、心理图式，从不同的视角对梯形面积的求法进行了深入的探索。如有学生应用“倍拼法”将梯形转化成平行四边形求梯形面积，有学生应用“剪拼法”将梯形转化成长方形求梯形面积，还有学生将梯形运用“分割法”转化成三角形求梯形面积……由此可见，正是基于已有的认知结构，学生才可以进行多样化的探索，才能获得不同的知识转化策略。

（三）学习之序的重建

小学数学既是“科学性的数学”，又是“心理学的数学”“教育学的数学”。如果说，知识顺序要秉持知识的科学特质，认知顺序要契合心理学的特质，那么学习之序就要契合教育学的特质。优化学生的学习之序，要重点关注学生的数学学习环节与学习方式。当然，学习之序往往是建立在知识之序、认知之序的基础上的。例如，教授“间隔排列”时，笔者根据学生的认知心理特质，遵循其从直观动作到具体形象、再由具体形象到抽象逻辑的认知规律，设计了这样的活动内容和程序：引导学生操作小棒、圆片等工具，将其一一间隔排列，认识两端物体和中间物体，并且思考两端物体和中间物体的关系。这样的教学设计，能有效地将学生外在的操作经验内化为学生的认知表象。在此基础上，笔者引导学生动手画图，分析物体——间隔排列的规律，然后让学生用算式来总结观察的结果，以此深化学生的认知，提升学生的理性思维。

三、“序”的实践：促进学生学习质的提升

著名特级教师吴正宪老师说过：“知识的传授应当立足于知识的逻辑发展。”学生的数学学习应当是循序渐进的，循知识之序、认知之序，建立学习秩序，从而让学生的数学学习获得逻辑演进、无痕推进、不断跃进。可以这样说，“序”是学生数学学习的DNA。相较于碎片式的数学学习，有序性的数学教学，更能促进学生数学学习能力的提升和数学核心素养的生成。

（一）分清知识的主次

把握数学知识之序，要求教师引导学生认知数学知识的来源，把握数学知识“数学知识是谁（什么）”“数学知识从哪里来”“数学知识要到哪里去”等问题。数学知识不仅仅具有纵向的产生、发展的时间轴，更具有横向的与其他相关知识关联的时间轴。

相对于碎片化、无序孤立式的数学学习，有机的、有序的数学学习，更能提升学生的数学学习效能。教学中，教师要区分主要的数学知识与次要的数学知识、数学知识的主要方面与数学知识的次要方面。概言之，就是要把握数学知识的轻与重、主与次、先与后等。例如，教授“十几减9”这一部分的内容时，学生可能会想到很多方法，如“平十法”“破十法”“算减想加法”等。对于这些方法，教师应当予以积极地关注，并鼓励学生采用多样化的算法，发散学生思维。而在讲解时，教师可以重点引导学生学习“破十法”，抓住教学的重点与主要方面，有效地帮助学生解决计算难题。

（二）把握学习的次序

引导学生进行有效的数学学习，归根结底就是要让学生的数学学习先后有序，这里的“序”不仅仅指数学知识的逻辑之序，更指学生数学认知的心理之序。教师通过有效地研究和设计，适当整合和优化教材的教学内容，可以让学生的数学学习更有效、更灵活。苏联著名教育家苏霍姆林斯基说：“每一个学生都可能成为探索者、发现者、研究者。”尊重学生的数学学习之序，能让学生的认知、思维规范化、条理化、有序化，让学生的认知、思维之苗从萌芽走向蓬勃发展。

例如，在教授“认识平面图形”“计算平面图形的周长和面积”时，教师教学通常会遵循“由直线图形到曲线图形”的顺序;在学生学习“数的有关概念”时，教师通常是先让学生认识整数，再让学生认识小数和分数等;在学生学习“统计与概率”相关内容时，教师通常先让学生进行质性描述，然后引导学生进行定量分析，等等。以上教学过程就是遵循整体的认知之序的过程。同样，在教授单一的一个知识点时也要按照一定的顺序展开。如在学习“认识厘米”的内容时，笔者就循着这样的顺序：先通过操作、画图等过程帮助学生建立“1厘米”的表象，然后引导学生建构“厘米尺”，最后引导学生用自己制作的厘米尺度量物体的长度。通过这样的有序化活动，学生逐步学会了度量。他们不仅“知其然”，更“知其所以然”。

（三）培养数学思维

著名数学教育专家曹才翰认为：“所谓的‘认知结构，就是学生头脑中的数学知识按照自己的理解的深度、广度等，结合了自己的感觉、知觉、记忆、思维、想象等，组成的一个内部的有规律地组织。”学生的數学认知是从形象走向抽象的。教师要把握学生数学认知的显与隐，让学生的数学思维、认知逐步深入，从具体形象迈向抽象逻辑，促进学生类比推理、归纳推理与演绎推理能力的共同发展。

教学中，教师可以采用动手探究或问题链等方式，有序推进学生的数学学习，引导学生的数学思维发展由浅入深。例如，教授“因数和倍数”一课时，笔者发现教材中只是简单地让学生根据已有知识经验——“乘法算式和除法算式”去抽象、概括、提炼出因数和倍数的概念，这样不利于学生对知识的心理内化，也不利于学生建构稳定的认知心理图式。因此，笔者引导学生动手操作，用24个小正方形拼成一个长方形，探究长方形的拼法，然后让学生用算式对相关的操作进行表征，比较、研究算式中的每个数之间的关系，从而建构因数和倍数的概念。这样的探究过程，不仅让学生理解了因数和倍数的概念，而且让学生认识到倍数和因数相互依存的关系。

在数学教学中，教学之“序”不是静态的、固化的，而是动态的、发展的，是“有序”和“无序”的辩证和统一。聚焦“有序”，要求教师的教学设计要有组织、有顺序，以学生的学为中心，以学定教、因学施教、顺序而导，促进学生思维、认知与素养实现高阶发展。

责任编辑：刘源