对第33届全国中学生物理竞赛复赛第6题的解答的质疑

李 惠 范雪娇

(株洲市第二中学 湖南 株洲 412007)

【原题】(节选)光电倍增管是用来将光信号转化为电信号并加以放大的装置，其结构如图1所示.它主要由一个光阴极、n个倍增极和一个阳极构成；光阴极与第1倍增极、各相邻倍增极及第n倍增极与阳极之间均有电势差V；从光阴极逸出的电子称为光电子，其中大部分(百分比η)被收集到第1倍增极上，余下的被直接收集到阳极上；每个被收集到第i倍增极(i=1，…，n)的电子在该电极上又使得δ个电子(δ>1)逸出；第i倍增极上逸出的电子有大部分(百分比σ)被第i+1倍增极收集，其他被阳极收集；直至所有电子被阳极收集，实现信号放大.已知电子电荷量绝对值为e.求:光电倍增管放大一个光电子的平均耗能，已知δσ>1，n>1.

图1 光电倍增管结构图

原题一共有2小问，笔者只节选了参考解答有误的第1小问，附上其解答结果.

光电倍增管放大一个光电子的平均耗能为

式中np是从光阴极逸出的电子个数，E是消耗的总电能.

1 对结果的质疑及验证

我们把n=0代入原解答得

(1)

显然不正确.

进一步验证n=1的情形.当n=1时，其物理意义是光电倍增管中有np个光电子从光阴极逸出，有ηnp个光电子被收集到第1倍增极上，(1-η)np个光电子被直接收集到阳极上，最后有δηnp个光电子从第1倍增极上逸出，被收集到阳极上.我们分成两步来计算光电倍增管放大以上这些光电子所消耗的电能.第一步，先计算从光阴极直接被阳极收集的光电子所消耗的电能.从光阴极到阳极的电势差为

Vpa=(n+1)V=2V

(2)

一共有(1-η)np个光电子从光阴极到阳极，一共消耗的电能为E1，有

E1=2(1-η)npeV

(3)

第二步，计算从光阴极逸出被第1倍增极收集再从第1倍增极被阳极收集的光电子消耗的电能E2，显然

E2=(η+ηδ)npeV

(4)

最后，把两部分消耗的电能加起来，求得

E=E1+E2

(5)

(6)

那么，把n=1代入原参考解答，会是这个结果吗？

(7)

显然，代入之后的结果式(7)与真实物理意义对应下的结果式(6)不符.

结论：原解答有误.

2 笔者所做的详细解答及验证

为了能让读者清晰地看到加速各部分光电子所消耗的电能，笔者先进行简单的罗列如下：

放大从光阴极到第1倍增极，和光阴极到阳极的光电子消耗的电能为E0，有

E0=[η+(1-η)(n+1)]npeV

(8)

放大从第1倍增极到第2倍增极，和第1倍增极到阳极的光电子消耗的电能为E1，有

E1=[ηδσ+ηδ(1-σ)n]npeV

(9)

放大从第2倍增极到第3倍增极，和第2倍增极到阳极的光电子消耗的电能为E2，有

E2=[ηδ2σ2+ηδ2σ(1-σ)(n-1)]npeV

(10)

放大从第3倍增极到第4倍增极，和第3倍增极到阳极的光电子消耗的电能为E3，有

E3=[ηδ3σ3+ηδ3σ2(1-σ)(n-2)]npeV

(11)

放大从第(n-1)倍增极到第n倍增极，和第(n-1)倍增极到阳极的光电子消耗的电能为En-1，有

En-1=[ηδn-1σn-1+2ηδn-1σn-2(1-σ)]npeV

(12)

放大从第n倍增极到阳极的光电子消耗的电能为En，有

En=(ηδnσn-1)npeV

(13)

接下来，把式(8)～(13)相加得

E=E0+E1+E2+…+En-1+En

(14)

在式(14)等号右边含有两个等比数列，其一是ηnpeV，ηδσnpeV，ηδ2σ2npeV，…，ηδn-1σn-1npeV，我们用级数S1来表示上述等比数列的和；其二是ηδ·(1-σ)nnpeV，ηδ2σ(1-σ)(n-1)npeV，ηδ3σ2(1-σ)·(n-2)npeV，…, 2ηδn-1σn-2(1-σ)npeV，我们用级数S2来表示上述等比数列的和；还剩下两项(1-η)·(n+1)npeV+ηδnσn-1npeV作为第3部分.现在我们来求以上3部分的和.

显然

(15)

S2=ηδ(1-σ)npeV[n+δσ(n-1)+δ2σ2n-2+…+δn-2σn-2·2)]

(16)

构建级数S3=δσS2来错位求和

S3=ηδ(1-σ)npeV[δσn++δ2σ2(n-1)+…+δn-2σn-2·3+δn-1σn-1·2)]

(17)

式(16)、(17)相减得

(18)

把以上3部分相加得

E=E1+E1+E2+…+En-1+En=

S1+S2+(1-η)(n+1)npeV+ηδnσn-1npeV=

(1-η)(n+1)+ηδnσn-1}npeV

(19)

于是光电倍增管放大一个光电子的平均能耗为

(1-η)(n+1)+ηδnσn-1}eV

(20)

我们将n=1代入式(20)中，进行验证

(1-η)(1+1)+ηδ1σ0}eV=

(21)

与式(6)比较，完全吻合.

我们再把文首的n=0的情况代入式(20)中得

(1-η)+ησ-1}eV=

结果与实际的物理意义完全吻合.

综上所述，式(20)才是本题的正确解答，原解答确实有误.