探究和发现线面平行判定定理

黄玉平

立体几何是高中数学的重要章节，它的突出功能是培养学生数学抽象、直观想象、逻辑推理等核心素养。笔者到学校听课时经常发现：一些教师处理立体几何的公理与定理教学时速度很快，发现定理的过程一笔带过，时间主要用来做大量习题，将重心放在解题技巧讲解上。期末考试之后分析数据时发现，学生立体几何得分仍然很低，学生的立体感不好，知识体系混乱，学习效益差。究其原因，问题的根源仍在于课堂教学，在于教师是否能够把握课程标准的要求，是否理解教材，是否理解学生，在设计上是否基于学科核心素养的培养。

以“直线与平面平行的判定”为例，许多教师觉得简单，因教材不要求证明，多数教学设计直接给出定理，只将注意力放在定理的记忆和运用上，甚至是解题技能上，未能真正让学生深入理解知识的形成和产生过程，不能很好地促进学生数学思维的形成，未能实现真正的深度学习。

本文对这节课的设计，重点在于引导学生通过探究和发现，提出直线与平面平行判定定理的猜想，并通过逻辑推理、直观感知和操作确认，验证猜想，或否定重来，或推理证明，最终发现判定定理。

下面将线面平行的判定定理的形成过程设计成一个教学片段，模拟师生的对话来展开。

一、教学目标

（一）学生通过对线面平行的定义进行分析，加深对线面平行概念的理解，通过对公理的进一步分析，寻找线面平行的线索，通对;

（二）学生提出线面平行判定定理的猜想，进行操作与观察，培养空间想象素养;

（二）学生通过尝试与思考，验证猜想的合理性，探索线面平行判定定理，培养创新思维，提升逻辑推理素养。

二、教学方法

采用师生对话的启发式教学法，小组合作学习，发现式学习。教师构建开放的问题情境，引导学生开展小组合作，提出猜想，并进行验证，最后整理给出直线与平面平行的判定定理。

三、教学过程

教师：同学们好！前面我们学习了直线与平面的三种位置关系，请同学们分别用三个图来表示它们。

学生1：画出三个图：

教师：今天这节课，我们来学习直线与平面平行的判定，目标是找到条件A，使直线与平面平行。

即：若A，则。

情境一：分析定义

首先，我们回到线面平行的定义，寻找线索。

教师：根据定义，直线与平面没有公共点。

分别从直线和平面的角度看，可以得到： 直线上所有点都不在平面内平面内所有点都不在直线上

教师：我们试着改成判定线面平行的命题，看是否成立？

教师：猜想一：如果，，那么;这个猜想能成立吗？

学生2：如图1，在直线上找到除A外的一点，它不在平面上，但是直线与平面不行平，猜想不成立。

教师：增加一个点，猜想二：如果，，，那么。是否成立？这个方向正确吗？

学生3：如图1，在直线上找到除A外的两个点，它们都不在平面上，猜想仍然不成立。无论取多少点，这样的猜想都不能够成立。

教师：以上是将直线和平面都看成由点构成的。根据公理一（如图4），我们知道：平面可以由直线构成，这些直线可能怎样排列呢？

学生4：直线可以是互相平行的，也可以是过同一点，如图5和图6：

教师追问：互相平行的直线只能是一个方向吗？

学生4：可以是平面内任意方向。

教师：将平面看成由直线构成的，请同学们仿造前面的例子，提出线面平行判定的猜想。

学生5：直线与平面内所有直线都没有公共点

教师：再具体分析下去，并提出猜想。

学生5：平面内所有直线都与直线没有公共点直线与平面内所有直线或者平行，或者互为异面直线关系

学生6：猜想三： 如果，那么。

学生7：猜想四：如果与是异面直线，，那么。

教师：请每位同学用书本和笔，摆出符合猜想三的条件：先固定两条互相平行的直线，平面经过直线，将平面绕旋转至任意位置，观察结论是否成立，分小组讨论，给出本组的观点。

学生8：猜想三在多数情况下成立。

学生9：猜想三只有一种情况不成立，即当时，结论不成立。

教师：如果在平面内增加一条与平行的直线，结论会怎样？原因是什么？

学生10：结论仍然一样：只有一种不成立，其它情况都成立。

教师：我们可以完善一下猜想三。

學生11：猜想五： 如果，，那么。

教师：如果它是正确的，请证明，如果它是不成立，请举出反例。

学生12：证明（略）

教师：请各位同学再验证猜想四。

学生13：猜想四大多数情况下，直线与平面都是相交，只有一种情况直线与平面平行。

教师：请再观察，并思考，这种情况中，线面平行的真正原因是什么？

学生14：这个平面内有一条与平行的直线！

教师：可以得到怎样的猜想？

学生14：将猜想四增加一个条件，得到猜想六：如果与是异面直线，，，，那么。

教师：请同学们对比猜想五与猜想六，它们相同的条件和不同的条件是什么？作用是什么？

同学15：两个猜想中，相同的条件都是平面内有一条直线与直线平行，猜想六中如果与是异面直线和的条件，与猜想五中的作用是相同的。因此这两个猜想本质上是一样的。

教师：下面我们证明猜想5。

学生16：证明（略）。

教师：猜想5被证明是成立，它就是直线与平面平行的判定定理。

教师：我们将判定定理用最简要而明确的语言表达。

学生17：如果平面外的直线与平面内的一条直线平行，那么平面外的这条直线与平面平行。

教师：定理的条件可以归纳为三条，用三个字或词表达：平行，外，内。定理实质是：由线线平行得到了线面平行。请大家再看看，前面那个图，最能说明这个实质：

学生18：图5。平面可以看成由全部互相平行的直线构成的，根据公理4，只要平行于其中一条直线且不与它们重合，就必然平行于这些直线，从而与平面无公共点。

四、结束语

学生是学习的主体，教学活动只有让学生充分地、真实地参与，才会真正对学生数学素养的形成产生深远的作用。教师具备的知识和经历都比学生丰富，因此教师眼中容易理解的知识，对于学生来说，可能不自然，不直观，不能简单地告知学生结论，对知识的产生过程一笔带过。

在课堂教学中，将知识发生发展的过程中的关键环节设计成开放的情境，让学生通过探索和思考，“跳一跳”，“想一想”，不断提出猜想，验证猜想，可以加深学生对知识本质的理解，同时能促进数学核心素养的持续提高。

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