分数阶p-Laplace算子相关的一个重排优化问题

邱 崇

(淮阴工学院 数理学院，江苏 淮安 223001)

重排优化问题是指在某个可测函数所有重排函数组成的集合上的最优化问题，该问题有着丰富的物理背景，在弹性力学、流体力学、波动力学等领域都有重要应用。

19世纪著名物理学家 Thomson (Lord Kelvin) 曾提出如下一个平面流体力学问题：若某一区域流体的涡量场已知，在该涡量场所有可能的分布中能否找到某种分布使得该区域流体动能达到最大或最小？1989年Burton将该问题等价转化为如下的重排优化问题：

max{E(g):g∈R(f)}和min{E(g):g∈R(f)}

其中f为区域Ω上已知的涡量场，g为f的一个重新分布或重排函数，E(g)表示涡量场为g时流体动能，R(f)为f的所有重排函数组成的集合。

利用泛函分析中鞍点定理等工具并结合重排函数集合的凸性等性质，Burton得到了以上两个重排优化问题解的存在性，从而解决了Lord Kelvin的问题[1-2]。之后更多微分方程中的重排优化问题被提出并得到了广泛的研究[3-6]。近年来，非局部算子相关的重排优化问题研究引起了越来越多的关注。

Qiu等[7]考虑了如下方程相关的重排优化问题，

其中Lθs是分数阶Laplace型算子定义如下：

Lθsu(x)

得到了相应重排优化问题解的存在性等结果。已有文献大多讨论的是分数阶Laplace算子相关的重排优化问题[8-13]，而分数阶p-Laplace算子相关的能量泛函重排优化问题尚未见报道。由于分数阶p-Laplace算子不仅具有非局部性而且具有非线性性，因此其相关的重排优化问题研究需要克服更多困难。

本文将考虑如下的分数阶Poisson方程

f(x)为某个可测函数。可以证明，对f(x)∈Lq(Ω)方程(1)具有唯一解，记为uf。

本文将讨论如下的重排优化问题:

其中Φ(g):R(f)→R为能量泛函

1 预备知识与常用引理

设f为有界光滑区域Ω⊂RN上的一个可测函数，其生成的重排函数空间R(f)是指由所有满足条件：

meas({x∈Ω:g(x)≥a})=meas({x∈Ω:f(x)≥a}),∀a∈R

并记:

Ws,p(RN)={u∈Lp(RN):[u]s,p<∞}

为以:

为范数的分数阶Sobolev空间，其中0

W0s,p(Ω)={u∈Ws,p(RN):u≡0,x∈RN〗Ω}

定义1 称u∈W0s,p(Ω)为分数阶Poisson方程(1)的一个解，如果

注意到，方程(1)对应的能量泛函If:W0s,p(Ω)→R为:

本文中常用的引理如下：

引理2 (Burton[2]引理2.1)若f∈Lp(Ω),1≤p<∞，则对任意的g∈R(f)都有g∈Lp(Ω)且‖g‖Lp=‖f‖Lp。

3 分数阶Poisson方程(1)的基态解

其中1

由于p≥2，所以‖u‖→∞时一定有If(u)→∞。因此泛函If是强制的。

=If(v)

因此，综上可得uf是方程(1)的一个基态解。

下面证明uf是分数阶Poisson方程(1)的唯一解。

若记uf(x,y)=uf(x)-uf(y)，wf(x,y)=wf(x)-wf(y),v(x,y)=v(x)-v(y)则上两式即为

相减可得

特别地，令v=uf-wf，则

由Clarkson不等式，可得

(|uf(x,y)|p-2uf(x,y)-|wf(x,y)|p-2wf(x,y))(uf(x,y)-wf(x,y))≥C|uf(x,y)-wf(x,y)|p

所以，

矛盾。因此是方程(1)的唯一解。证毕。

4 最优化问题(Opt)的极小点

根据引理2，‖g‖Lq=‖f‖Lq，由上式即可推知A一定是有限数。

任取{gi}⊂R(f)为一个极小化点列，即

再结合Holder不等式可推出

再结合(4)，得到

由性质1，

5 结论

本文研究了一类非局部算子即分数阶p-Laplace算子相关的一个能量泛函重排优化问题。该算子不仅是非局部算子而且具有非线性性。首先，利用合适的变分框架并使用全局极小原理得到分数阶Poisson 方程的基态解。然后，通过反证法并结合Clarkson不等式得到方程解的唯一性。之后，使用重排优化理论研究了相关的一个能量泛函极小重排优化问题。最后，通过分析极小化序列的性质证明了该重排优化问题的可解性。目前尚未有分数阶p-Laplace算子相关的能量泛函重排优化问题文献发表，因此本文的结果是新的。更多非局部算子相关的重排优化问题研究尚待今后进一步深入开展。