全空间上一类Kirchhoff型问题正基态解的存在性

吴燕林， 钱晓涛

( 阳光学院 基础教研部，福建 福州 350015 )

并证明了该问题至少存在一个正基态解.该结果补充了文献[1-4]关于正基态解的存在性结果.

0 引言

本文考虑如下Kirchhoff型问题：

(1)

其中：a,b>0;N=2,3;非线性项幂次40,且Q(x)∈L∞(RN).

为了得到问题(1)的正解，本文定义如下泛函：

1 预备知识

给出一些记号：H1(RN)和Ls(RN) (2≤s≤2*)均为标准的Sobolev空间，⇀和→分别表示弱收敛和强收敛，Br(x0)表示以x0为中心、r为半径的球.当无特别指出时，默认为收敛是n→∞情况下的.固定p∈(2,2*)，则由H1(RN)的嵌入性质可定义如下：

以下首先证明泛函I具有山路几何结构.

因此存在t0>ρ，使得I(t0u0)<0.令e=t0u0，由此引理1得证.

引理2{un}在H1(RN)中有界.

证明由{un}是泛函I的一列(PS)c*序列可知

因此un→0于H1(RN).于是有I(un)→0，这与I(un)→c*≥α>0矛盾.引理3证毕.

为了得到方程(1)的基态解，定义如下的Nehari流形：

Λ={u∈H1(RN){0}:G(u)=0}，

其中G(u)=〈I′(u),u〉.

证明对于任意的u∈Λ，有

令δ=(p-2)σ2，由此即可证得引理4成立.

2 主要结果及其证明

定理1问题(1)至少存在一个正基态解.

令vn(x)∶=un(x+yn)，则由全空间RN的平移不变性知{vn}也是泛函I的一个有界(PS)c*序列.于是，可以假设v*∈H1(RN)满足vn⇀v*于H1(RN)，且vn→v*于L2(BR(0)).又因为

所以v*≠0.

在上式中，取φ=v*，则

(2)

再取t*=t*(v*)∈R+使得t*v*∈Λ，则

其中第2个不等式使用了Fatou引理，故I(v*)=c*.这表明v*≥0是问题(1)的非平凡基态解.再由标准的正则性提升方法和强极大值原理可知，v*>0.综上可知，v*是问题(1)的正基态解，定理1证毕.

注显然，文献[1-4]的Q(x)均满足本文的条件，因此本文的结果可以看作是文献[1-4]的补充.