一类拟线性薛定谔方程的H2(RN)-解的爆破现象

林振生, 龙群飞

( 1.福建工程学院 计算机科学与数学学院，福建 福州 350118；2.贵州师范大学 数学科学学院，贵州 贵阳 550025 )

0 引言

本文将考虑如下一类拟线性薛定谔方程

(1)

(2)

受到文献[8]以及不等式(2)的启发，本文在β∈R,θ∈R,2

1 主要结果及其证明

定理1设u(x,t)∈H2(RN)(N≥1)是方程(1)的解，并且满足：

假设参数满足下列条件之一：

注记3定理1中的条件(VI)也是文献[8]中的关键性条件，且本文采用的引入附加参数及逼近的证明方法同样适用于文献[8]中的定理1.1.

在证明定理1之前，首先给出引理1.

引理1设u是方程(1)在0≤t

(3)

(4)

(5)

(6)

为了证明方便，记：

(7)

(8)

由上式可得：

由上式可得：

对上式取实部即可证得引理1中的(II).

由上式可得：

对上式取虚部即可证得引理1中的(III).

4)由于u是方程(1)的解，则对式(8)关于t求一次导数可得：

(9)

由于

(10)

(11)

(12)

因此将式(10)、(11)及式(12)代入式(9)即得式(6),由此可知引理1中的(IV)得证.

下面验证E(0)≤0.根据检验函数u(x)的定义和引理1中的(II)有：

(13)

由以上可知，可以在不同允许取值参数范围内对E(0)≤0进行讨论.

第2种情形 因为β>0,θ<0，所以式(13)中的第2个和第3个积分项都是非正的，并且第3个积分项恒负.而p>2，故当λ足够大时，E(0)≤0成立.

第3种情形 因为β>0,θ≥0，所以在式(13)中只有第2个积分项是负的.而p>4，故当λ足够大时，E(0)≤0成立.

定理1的证明根据E(0)≤0的爆破理论，需要从式(6)中得到如下不等式：

(14)

为了能使爆破指数p在定理1中的3种假设((IV)、(V)和(VI))条件下均能使式(14)成立，本文引入了一个参数α(α>0).于是由式(6)可得：

(15)

由式(15)可知，只需得到式(16)即可得到式(14).

(16)

由于引入的常数α与方程(1)无关，所以不能将定理1的条件直接代入式(15)进行验算.因此，在满足式(16)的条件下，本文利用式(15)对p的取值范围进行如下分析：

根据D(t)、D1(t)的定义以及式(6)、(16)、柯西-施瓦兹不等式和变量分离法可得：

(17)

(18)

由式(18)可知，方程(1)的解在有限时间爆破.

推论1的证明根据定理1的证明可以得

(19)