2020年山东卷21(2)之我解及文(1)纠正

许银伙

(福建省泉州外国语中学 362000)

原题再现已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范围.

我解方法二(特值代入法)由f(1)=a-lna≥1得a≥1，所以a<1不符合要求.

(1)当a=1时，f(x)=ex-1-lnx，要证f(x)≥1，即证ex-1≥1+lnx.易证：

ex-1≥x(当且仅当x=1时取等号)且lnx≤x-1(当且仅当x=1时取等号)，所以ex-1≥1+lnx成立.

(2)当a>1时，f(x)=aex-1-lnx+lna>ex-1-lnx，由(1)得f(x)>1恒成立.

综上得：所求a的取值范围是[1,+∞).

评注函数f(x)中含有ex-1和lnx很自然会想到取x=1代入尝试，以缩小关于参数分类讨论的范围.当a=1时，本解法中利用两个常见不等式结论解决；当a>1时，运用放缩法利用当a=1时的结论.本解答参考了文[3]和文[4]的技巧，也参考文[1]和2013年全国高考理科(Ⅱ)卷21题的解答.

综上得：所求a的取值范围是[1,+∞).

3.函数y=ex过原点的切线是y=ex，结合图形或者通过导数可以得出不等式ex≥ex恒成立，是解决函数导数问题的常用结论.

评注虽然上面的两种方法都是通过构造新函数解决，但因为构造的函数g(x)=xlnx并不是在原来函数f(x)定义域上的单调函数，因此必须分段讨论.构造的函数选择能在定义域内单调，通常是减少思维量和运算量的诀窍.

通过对文[1]的学习，可以大大加深对同构函数解决问题的印象和技巧的掌握，针对文[1]给出高考压轴题的同构函数的两类常见形式，笔者给出更宽泛的概括：凡是见到式子中同时含有三个变量x,ex,lnx，都可以考虑把式子变形成其中一侧含x,ex类型，另一侧含elnx,lnx类型，然后构造函数，且争取让构造的函数具有单调性.