“圆”来如此简单——“辅助圆”构造的解题探究

黄 磊

(江苏省泰兴市济川中学教育集团阳江校区 225400)

面对一些“直线型”图形问题，如果忽视图形的几何特征，直接解答往往会增加出错的可能.但是，如果注意挖掘和利用其中的一些隐藏条件，巧作“辅助圆”，往往能简便地解决问题.

一、问题引入，对中考题四种解法的教学反思

泰州中考数学卷案例：第25题.已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC.若点P在线段AB上，如图1，设AB=a,BP=b.当EP平分∠AEC时，求a∶b及∠AEC的度数.

图1

本题当年中考得分率较低，主要失分点是有好多同学第一问就求不出a：b，或者在求出a：b后，绝大多数考生被卡在第二问“求∠AEC的度数”上.

第一种：考卷参考答案的解法.

图2

教者评析此解法综合运用了等腰三角形的性质定理、角平分线性质定理的逆定理，及相似三角形和正方形的性质等，但过程繁琐，考生拿到题目也不容易想到辅助线的作法.

第二种：所教学生的解法.

教者评析此法在求∠AEC的度数时，综合用到正方形的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等.

第三种：所教学生的解法.

∵PE∥CB,∴∠PEG=∠BCE=22.5°.

∴∠AEG=2∠PEG=45°

教者评析此法综合用到三角形外角的性质、等腰三角形性质定理、平行线的性质.

第四种：笔者的解法.

同样先连接BE.

教者评析总结反思上述4种解法，对比之下发现最简洁的思路还是解法4.

二、“辅助圆”应用的情境分析

1.江苏常州中考数学模拟卷案例一

如图3，直线y=x+b(b>0)与x、y轴分别相交于A、B两点，点C(1，0)，过点C作垂直于x轴的直线l，在直线l上取一点P，满足PA=PB，点A关于直线l的对称点为点D，以D为圆心，DP为半径作⊙D.其中第 (3)小题，请试说明：直线BP与⊙D相切.

图3

教者分析回答第(3)小题，如果按照一般思路，要证直线BP与⊙D相切，只要证BP⊥PD.要证BP⊥PD，大多数人的思路是：过点B作直线l的垂线，通过证明三角形全等来证明∠BPD=90°，而证明三角形全等的条件又不齐备，还需证明PC=OC=1，解题过程非常繁琐.仔细分析题目条件，如果结合图形的性质加以解决，则可找到证明∠BPD=90°的简便方法：因为点D是点A关于直线l的对称点，所以根据轴对称图形的性质可以得到PA=PD，再结合已知条件PA=PB，所以PA=PD=PB.以点P为圆心，PA的长为半径作⊙P，则点A、点B和点D都在⊙P上.根据∠BAC=45°，由圆周角定理便能快速证到∠BPD=90°，从而证得BP⊥PD，所以直线BP与⊙D相切.

2.江苏常州中考数学模拟卷案例二

在平面直角坐标系中，已知点A(4，0)、B(-6，0)，点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为____.

教者分析本题直接求解较难，但如果注意到题目中的关键条件“∠BCA=45°”，可以把∠BCA看作圆周角，构造以AB为弦，且弦AB所对圆心角为90°的圆：以AB为斜边作等腰直角三角形——△ABP(有两种可能：直角顶点P在x轴上方(如图4)或直角顶点P在x轴下方(如图5)，以点P为圆心，PA的长为半径作圆，⊙P与y轴的交点即为符合条件的点C，故点C也有两种可能的位置)，过点P作PE⊥x轴，PF⊥y轴，垂足分别为E、F，进而结合题目条件，利用垂径定理和勾股定理求得点C的坐标.

图4 图5

不难发现，“辅助圆”应用题型中的隐藏条件，具有3类共同特征：一是图中包括几条共有端点的相等线段；二是图中含有90°、45°的角或者其他倍角关系的角；三是图中有对角互补的四边形，可利用四点共圆来解题.如果题目条件具备以上三点特征，就可以考虑是否需要构造“辅助圆”，问题解决相应也简洁快捷得多，让人感叹“圆”来如此简单.