中数不等式的高数解读与教学建议

黄燕红

(福建省厦门第一中学 361009)

随着时代的需要和课程的改革，中学教材中逐渐出现高等数学中一些基础知识，也渗透着经典高等数学的思想和方法，以考察学生的学习潜力和培养学生的思维能力.关注近几年的高考试题，为了实现高考的选拔功能，往往考查一些基于高等数学背景的问题，并且这些问题通过转化总能用中学知识与方法求解.因此在实现对学生知识传授的完善外，要如何对中学数学知识进行高观审视的同时又不忽视双基的学习与巩固，已经成为一线教学关注的焦点.

一、中学数学中不等式的常用证明方法

1.用综合法和分析法证明不等式

综合法是基于所给的已知条件或者某些定义、定理、公式，经过一系列的推理论证，最后推出题目所要证明的不等式成立.分析法则是从题目给定的结论入手，进行逆向推导，使得每一步都要是上一步的充要条件，最终达到题目给出的已知条件.

2.用放缩法证明不等式

在证明过程，对不等式一端进行恰当的放大或缩小.利用此方法来证明不等式的技巧性很强，主要是寻找中间变量c，使得a

3.反证法证明不等式

反证法在证明不等式问题中也被经常使用.当用此方法来证明不等式时，第一步，假设题目中的结论不成立；第二步，依据题中所给条件，结合相关的概念和性质，逐步导出与这些概念、定理、性质、已知条件中的任一个都矛盾的结果，从而肯定原结论是正确的.

4.数学归纳法证明不等式

对于一些包含n(n∈N*)的不等式，验证n取值时不等式成立，如果假设不等式n=k(n∈N*)时成立，将n=k+1代入不等式，并运用n=k时所得到的结论，证明n=k+1时也成立.则可以说明对取得的初始值后面的任一自然数该不等式都成立.通常情况下，在此种方法中要用到放缩法.

5.导数法与函数单调性证明不等式

当x属于某个区间，有f′(x)≥0，则f(x)单调递增；若f′(x)≤0，则f(x)单调递减.这种证明方法技巧性比较低，有一定的套路可循，也是学生在证明不等式中常用的证明方法.

在中学数学里不等式的应用很广，除了上述介绍的以外，还有构造法、借助几何法、函数极值法等等，在看到题目时，学生要根据所给的条件分析不等式的类型，选取最优的方法来证明，这不仅可以提高准确性也大大的减少了运算时间.

二、高等数学中不等式的常用证明方法

用高数的知识和方法审视中学不等式，从更高知识层面上解不等式，不仅可以使我们居高临下地观察问题，确定解题思路，剖析问题实质，寻求简单方法，还可以提高教师把握教材的能力，开拓师生的思路.

1.利用特殊不等式的结论证明不等式

(2)伯努利不等式：对-11或r<0，则(1+x)r>1+rx；②若0

一般来说，不等式的证明都要经过复杂的变形、运算，但通过不等式巧妙变形并且引用一些众所周知的结论比如上述说的柯西不等式定理或者伯努利不等式定理加以演算，不仅方法新颖，而且简单明了.

2.利用微分中值定理证明不等式

利用微分中值定理为不等式的证明带来了许多方便之处.如果不等式经过简单变形后，与任一定理结构相似，就可以在所给区间上构造一个函数，保证该函数符合中值定理可实现的前提条件.其中的关键是对ξ点的处理，分析函数或者导数在该点的性质即可得到结论.

3.泰勒展开式在不等式中的应用

泰勒展开式证明不等式虽然步骤比较复杂，但是准确率较高.具体做法为在区间内的一些特殊点(端点、中点、零点)展开函数f(x)，发现其余项在ξ点具备的性质，得到结论.

4.概率在不等式证明中的运用

在概率论中，所有事件的发生概率都处于0与1之内，则有了不等式的存在.解决这类变量取值在0与1之内的不等式，通常要完成一个不等式问题与概率问题的转变，也就是将这些变量当相关事件的概率，应用概率相关知识来解不等式问题.此种做法的主要步骤分析数学问题的种类，找到匹配的概率模型，依据两者的概念和性质来解答.

三、不等式证明在中学数学和高等数学中的差异

例2若a,b∈(0,1)，证明：a+b-ab<1.

证法一因为00，则(a-1)(1-b)<0.即a-ab-a+b<0，即a+b-ab<1.题设中的a,b∈(0,1)容易引发联想——a,b可以视为事件A，B发生的概率，进而可借助概率的相关知识审视欲证不等式，得如下证法：

通过例题可见，在《课程标准》的指导下，许多中学不等式试题的命题设计往往以高等数学的某些内容为背景，通过对高等数学的一些问题进行改造和转化，使得问题均可以用中学的方法来解决，立意虽高，但落点低，需要学生扎实的基础以及一定的逻辑思维能力.

在中学数学领域，不等式的解题步骤经常显得繁、难、偏.因为题型多变、解题方式变通性强，加上无固定的规律可循，因此，解题的关键就落到不等式的基本定义和性质上来，只有基础打的牢，才能达到活学活用的效果.事实上，也正是因为不等式证明求解中技巧性高、综合性强的特点，给学生学习带来一定的难度，所以课标课程对不等式学习要求有所降低.

在高等领域，解题方法通常是，运用精确的定义对高中的某些结论进行证明，这是一个里程碑式的飞跃，而且大学的证明方法更加简便快捷，使我们一目了然，不等式证明过程虽然简洁明了，但技巧性强.在证明过程中能够更加重视理论推导和抽象思维.因此，在解答题目的时候，应重视解题策略的使用.

四、教学建议——“合理前凸”与“奠定基础”

“合理前凸”指教师应该从中学教学大纲和教材出发，以应用广泛且易于理解的高等数学内容为背景，用高等数学观点做必要的拓展，如在知识联系面上常规方法的综合运用拓展，题型创新程度上的拓展，而非偏离教学大纲的拓展，不可走形式主义，生搬硬套地将高等数学的知识下放，异化成教材的扩充教学.

“奠定基础”指教师教授新知时对相关旧知识进行回顾，适时地对中学数学问题系统地加以思想上的总结和数学方法方面的提炼，使得中学数学中存在的松散状态得到改善，帮助学生改变题海战术，引导学生构建属于自己的解题和学习方法.

五、教学策略应用

教师要适时地用较高的观点来解释和研究中学数学中的问题.同时要注重比较、回顾已学知识来统一数学中比较松散的体系，不要一味追求高观点而忽视双基的巩固.教师可以在讲授新课或者平时的习题讲评中把涉及到的高数背景并联系以往的旧知讲解给学生听，这不仅能为学生奠定基础还能提高一定的数学素养，提高思维能力.以下通过案例说明“合理前凸”、“奠定基础”教学策略的应用.

案例1基本不等式

奠定基础：

案例评说：上述的案例通过情景的引入，几何画板的运用，利用几何直观让学生自主建构了公式的形成过程，强调了数形结合的思想方法.在公式的证明过程中，强化了作差法，深化了数列的横向应用.这些活动过程都有利于学生巩固相应的数学基础.并且在不背离《课程标准》的前提下，合理的前凸——与高数中n维空间等内容进行了对接，同时也体现了特殊与一般的思想方法，有利于学生对公式的掌握与应用.

案例2柯西不等式

已知x1,x2,x3,…xn∈R，n∈N*求证：

合理前凸(向量的内积不等式)：

令a=(1,1,…,1),b=(x1,x2,x3,…xn)，根据向量数量积的定义有a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉.

案例评说在本案例中，以柯西不等式为桥梁，充分体现了合理前凸，奠定基础的教学策略.通过概率中平均值与方差的性质和关系来证明不等式，不仅巩固了概率相关知识也促进新知识与学生认知结构中的已有的知识网络的融合.在不影响学时并在学生能够接受的范围内，引入高等数学中n维向量内积，拓展了学生数学视野、丰富了学生的数学解题方法.

总之，合理前凸，奠定基础的教学策略，能够潜移默化地帮助学生初步认识初等和高等知识间密切的关联，进而在恰当的时候养成用高等知识审视中学知识的习惯，在思维方式上，达成现代与经典数学之间的相辅相成，能使学生头脑中的知识结构更加细节化，整体化.教师通过梳理中学数学和高等数学中相关联的知识，将这二者的思维方法有机结合，运用在课堂中，不仅能使学生接受高等知识的同时，巩固初等知识，也有利于教师提升教学水平和科研能力.