漫话数学文化

晏 鸿

(新疆乌鲁木齐市新疆实验中学 830001)

数学作为一种文化，已得到了社会的认可，数学文化不同于语言，艺术，技术一类的文化，它属于科学文化.数学文化源远流长，在远古时期产生的人类语言中就蕴含了丰富的数学元素，出现了“有”、“无”两个朦胧的数学概念，可用来表示食物的无或有.进而“有”生“一”、“一”生“二”、“二”生“三”与“多”，产生了多个不同的原始数学概念.大约1万年前，人们在日常的农耕生活中，经常会碰到关于怎样记录年份、季节、日期，怎样计算猎物数，种子数的问题.为了便于交流，还需要有数的名称，这就出现了埃及人和美索不达米亚人的划印、刻痕的原始数字标记，产生了最早的书写自然数的方法.约5000年以前，埃及人已会用其他符号表示“十”和更大的自然数.我国从上古时期开始，也创造出了属于自己的，具有本民族特色的计数方法.随着经济的发展，社会的进步，现实的需要为数学的发展提供了不竭的动力，数学必须同步于社会的发展，解决人类生活中出现的新问题，反之数学又在解决这些新问题的过程中，不断地丰富、发展和充实自身.总之数学是伴随着人类的出现而诞生的.人类通过劳动，不但创造大量的物质财富，也创造了数学学科与数学文化.

数学作为一种文化的主要特征有以下几点：(1)数学的思维性；(2)数学的量化性；(3)数学的发展性；(4)数学的应用性.

一、数学的思维性

数学是人类探索现实世界存在的数量关系和空间形式的研究成果，并将这些思维成果进一步丰富和推广，应用于人类本身的科学.因此，数学是思维的成果，思维是数学的核心，思维推动着数学的发展.

例1如果两个边数相同的多边形，对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.同理对于高中阶段的圆锥曲线来说，虽然圆是相似的，但是椭圆(或双曲线)是不相似的.那么所有的抛物线是否相似呢?

图1

从这个例子就足以说明思维是数学的基石，思维推动着数学的发展.

二、数学的量化性

数学是一种科学文化，它同时又渗入人文科学之中，数量化是数学文化区别于其它文化的显著特点之一.其中数学运算是许多科学研究、日常生活、工农业生产中所必须用到是数学核心素养，它是解决许多疑难问题的钥匙，这种量化性在人文科学中也显示出它的魅力.

在日常生活中，人们常常喜欢用数量化来论理喻事.例如，如果我们将时间当做横轴，价值当做纵轴，把自己的人生价值刻画在坐标系上.就会发现一些“时间点”处于高峰，一些“时间点”置于低谷.如果高峰的点密密麻麻，连成价值的“实线”，就会感到欣慰，没有虚度光阴；如果处于低谷的点比比皆是，构成无为的“虚线”，就难免叹息惆怅；如果横轴的下方还存在“点”，那将会是人生的悔恨耻辱.

数学的量化性在人文科学中刻画得最深刻的莫过于中国的一句古语：“三个臭皮匠，顶一个诸葛亮”.其实这句名言是可以用统计概率的方法加以证明的.

假设有3个臭皮匠，独立解决一个问题的可能性分别为：P(A)=0.45，P(B)=0.55，P(C)=0.60，则他们三人在一起至少有一个人能解决一个问题的可能性为：

P(AUBUC)=0.45+0.55+0.60-0.45×0.55-0.55×0.60-0.60×0.45+0.45×0.55×0.60=0.901

0.901说明三个“臭皮匠”也能够解决百分之九十以上的问题，足足可以顶个“诸葛亮”.由此产生另一句名言“一个好汉三个帮”.

在自然科学中，数学的量化性更是功不可灭，没有准确的计算，人类怎么能发射火箭，登上月球并顺利返回；没有量化的计算，更没有汽车、高楼、手机、互联网、大数据、区块链等等现代文化.数量化是每个人必须具备的基本数学核心素养之一，每个人都应当具备运用这种数学素养的能力，它包括良好的数学直观、对数据信息的敏感度、以及把具体问题数量化的能力，都是日常生活中不可缺少的解决问题的工具，是美好生活的必需品.

三、数学的发展性

数学始终处于“否定—创新—再否定”的循环发展过程之中，而每一个否定，都使得数学得到加深拓宽、增维添元，都使得数学进一步走向完善，并涌现出新数学分支且由此得到进一步广泛的应用.

无理数的产生，打破了任何两个数的可公度性，使数扩大到实数，虚数的产生破坏了人们的常规理念，但数系又扩大到复数.19世纪末，德国数学家康托尔创立的集合论曾被认为是理想状态，而几个集合悖论的出现，就使它的基础产生了动摇，但数学并没有停止发展，一门新的学科，“模糊数学”由此产生了.

空间的维数分为一维、二维、三维、四维的整数维数是如此根深蒂固地扎根于人们的大脑之中，但随着“雪花曲线”的出现，我们得到面积有限的雪花，它的周长却可趋于无限，那么“雪花曲线”的维数是一维还是二维呢？在一块有限的空间里怎样才能放进一条要多长就有多长的曲线呢？如果我们放下了，由于它被压挤在一起，势必密密麻麻地完全覆盖了一块面积.如果是这样，边界曲线已经没有我们直观中的线状形象了，这样的曲线你还能称它为曲线吗？如果不称为曲线，又不称为面，那应称为什么呢?随着这个问题的产生，数学家们创造了专论分数维数的学科—分形学.并为工程、化学、测量、物理、机械等许多领域里提供了无穷无尽的应用.

数学从河图洛书到八卦文化，从勾股定理到几何作图，从黄金分割到圆周率的计算，从哥尼斯堡到莫比乌斯，从平面镶嵌到离奇分形，无不充满着变化和发展.“变”是数学的本质，数学唯有不断改变，才会越来越强大.

四、数学的应用性

数学的价值在于它的应用性.它具备简捷而不繁琐，互补而不互斥，相容而不矛盾，以及或可近似或可精确的诸多禀性，使得数学与其它学科水乳交融，你中有我，我中有你，和谐共处，象石榴籽一样紧紧抱在一起.正如美国数学家克莱因说：“诗歌能动人心弦，绘画能使人赏心悦目，音乐能激发和抚慰情怀，哲学能使人获得智慧，而数学却能提供以上的一切.”

数学的应用性还体现在我们学过见过的一些古诗词中，从中能找到一种数学意境，让人遐想，让人品味.如：“大谟孤烟直，长河落日圆”；“孤帆远影碧空尽，惟见长江天际流”；“会当凌绝顶，一览众山小”；“随风潜入夜，润物细无声”；“白发三千丈”；“日行八万里”等诗文，都隐含着数学的思想，数学的理念.甚至连玩的游戏，若用数学来进行指导，也会使人耳目一新.

例2 有5张扑克牌分别是红桃A、K、Q、L、10，将它们从左到右依次按AKQL10序排列，每次可平行移动一张或相邻的二张牌(移两张时这两张不能分开)，移动三次，要将它们的次序从左至右变成10LQKA的次序.试问应该怎样移动呢？

下面我们用数学观点来看待这个问题如下：从已知排序到结果的排序，A改变了四个位置，K改变了二个位置，Q没有改变，L改变了二个位置，10改变了四个位置，故一共改变了12个位置.如果只能移动三次，则最佳移动应该每次移12÷3=4个位置，即每次移二张牌，平移两个位置，顺着此思路可简捷地找到下列解法：

AKQL10→QLAK10→QK1OLA→10LQKA

此外，数学具有育人的价值，它在培养人的思维能力，良好的个性品质和辨证唯物主义的世界观方面，与人文科学和其它自然科学起着相辅相成的作用.至于它的其它一些价值(包括预见和对人力、物力、时间的节省)，也不断转化为巨大的社会效益和经济效益，这就是数学文化的实用性.

数学发展到今天已成为人们不可或缺的知识，这也是数学工作者既平凡，又伟大之处，愿数学伴随着我们每一个人.