利用图形直观 引导解题思路

戈晨曦

[摘   要]图形能很好地呈现数学信息，能让隐藏的一些数学结论和数学思想显露出来，借助图形直观对引导解题思路有着积极的作用.

[关键词]图形直观;解题思路;函数;数列

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）20-0016-03

一、图形直观的内涵和作用

史宁中教授提出：“几何直观是借助于见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（空间形式或数量关系）进行直接感知、整体把握的能力.”孔凡哲教授认为：“在中小学数学中，几何直观具体表现形式有四种，即实物直观、简约符号直观、图形直观、替代物直观.”从两位教授的观点可以看出，图形直观作为几何直观的一种形式，是一种利用图形研究数学对象的能力.它具有直接感知和整体把握的特点.图形直观是帮助解决数学问题的有效手段.数学问题中的很多条件往往是隐性的、片段性的，而图形直观则恰恰是利用图形把条件显性地、连续地表达出来，进而使解题思路直观化.图形直观是利用图形进行数学的思考和想象，图形直观能力在本质上是一种通过图形所展开的想象能力.

二、图形直观在引导解题思路中的应用

1.图形直观在函数中的应用

图像在函数中有着得天独厚的优势，因为图像本身就是函数的表达方式，是最为直观的表达方式.

[例1]已知函数[f（x）=ax+bx]，若[01]，函数[g（x）=f（x）-2]有且只有1个零点，求[a b]的值.

我们把解析分成两段.

第一段：[g（x）=f（x）-2=ax+bx-2]，[g'（x）=axln a+bxln b=axln bbax+ln aln b]，由[01]可得[ba>1]，令[g'（x）=0]得[x0=logba-ln aln b]，[x∈（-∞， x0）]递减，[x∈（x0，+∞）]递增，[g（x）]的最小值为[g（x0）].

由[g（0）=0]，可知0是函数[g（x）]的零点.

第二段：通过第一段的分析我们已经初步掌握了这个函数的一些已知信息和一些不确定的信息，整理如下.

已知函数信息：[g（0）=0]，[x∈（-∞， x0）]递减，[x∈（x0 ，+∞）]递增，[g（x）]的最小值为[g（x0）].

不确定的信息：函数的极小值点在哪里（和0比）？图像在除0以外的地方的零点有没有不清楚？

根据已知的信息，再结合需要探索的信息，我们可以画出这样的三种函数草图（如图1、图2、图3）.

图1 [x0=0]情形      图2 [x0>0]情形       图3 [x0<0]情形

图形直观帮助我们形成初步的感性结论：

图1符合题意，而图2、图3则不符合题意.结合这样的图形直观，我们得到如下的数学推理：

（1）当[x0=0]时，解得[ab=1]，函数[g（x）]在[（-∞， 0）]上递减，在[（0，+∞）]上递增，符合题意.

（2）当[x0>0]时，在[x∈（-∞， x0）]递减，[x∈（x0，+∞）]递增，所以在[x∈（-∞， x0）]有一个零点0，[g（x0）0]，根据零点存在定理可得，在以[x0]和[loga2]为端点的正开区间内必然存在一个零点，所以这样[g（x）]就有两个不同的零点，不符合题意.

（3）当[x0<0]时，在[x∈（-∞， x0）]递减，[x∈（x0，+∞）]递增，所以在[x∈（x0，+∞）]有一个零点0，[g（x0）0]，根据零点存在定理可得，在以[x0]和[logb2]為端点的负开区间内必然存在一个零点.这样，[g（x）]就有两个不同的零点，不符合题意.

2.图形直观在数列中的应用

数列是特殊的函数，图形直观在数列中的应用就显得水到渠成.

[例2]已知数列[an]，[bn]都为等差数列，数列[cn]满足[cn=an，n为奇数，bn，n为偶数，][n∈N?].且对任意[n∈N?]，[cn+1>cn]恒成立.求证：数列[an]，[bn]的公差相等.

分析：[an=a1+（n-1）d1，bn=b1+（n-1）d2]，[cn+1>cn]恒成立显示[an， bn]上的点交替上升.

已知信息：

①[an， bn]是关于[n]的一次函数，其图像是直线上的一系列点.

②[cn+1>cn]恒成立显示[an， bn]上的点交替上升.

不确定的和需要探索的信息：

[d1， d2]的大小关系未定.

根据上面的信息，我们可以画出如下图形.

图4 [d1=d2]情形                      图5 [d1

上面的图形直观帮助我们初步得到如下结论：

（1）图4是[d1=d2]情形，符合交替上升的题意.

（2）图5是[d1an+8]，不符合交替上升的题意.[d1>d2]情形类似.

说明：这里的图形是草图，图形绘制时需要结合我们的想象力，把尽可能多的情形绘制出来.如图5中[bn+7>an+8]，说明在无穷远处某个区间必然会有这样的两个点，不符合交替上升的规律.借助这样的图形直观，我们有如下的数学推理.

解：设数列[an]的公差为[d1]，数列[bn]的公差为[d2] .

①若[d1>d2]，则当n为奇数时，

[cn=an=a1+（n-1）d1]，[cn+1=bn+1=b1+nd2]，

则当[n>-a1+d1+b1d1-d2]时，

[cn+1-cn=（d2-d1）n+b1+d1-a1<0]，

即[cn+1

②若[d2>d1]，则当n为偶数时，

[cn=bn=b1+（n-1）d2]，[cn+1=an+1=a1+nd1]，

则当[n>-b1-d2+a1d2-d1]时，

[cn+1-cn=（d1-d2）n+a1+d2-b1<0]，即[cn+1

综上，[d1=d2]，原命题得证.

3. 图形直观在解析几何中的应用

[例3]已知椭圆[x25+y2b=1]和直线[y=kx+1][（k∈R）]总有公共点，则[b]的取值范围为.

分析：椭圆和直线都具有明显的图形特征，可用数形结合去试着解决问题.

已知信息：① [x25+y2b=1]与[x]轴的交点为[（5， 0）];

② [y=kx+1（k∈R）]过定点[（0，1）].

未知和需要探索的信息：

① [y=kx+1（k∈R）]的斜率可以任意变化.

② [x25+y2b=1]与[y]轴的交点为[（0， b）]，需要探求[b]的取值范围.

根据上面的信息，可得出如下可能的图形.

图6 [0

图8 [15]情形

由图形直观我们可以知道：图6不符合题意，图7至图9符合题意，所以[b]的取值范围为[b>1]且[b≠5].

三、图形直观能力的培养

认识论、逻辑学以及心理学的研究都表明培养学生的数学图形直观能力有助于学生对数学知识的掌握和应用.那么如何培养学生的图形直观能力呢？

1.善于利用图形描述数学问题

利用图形描述数学问题，有助于学生对事物关系产生直接的感知与认识.史宁中教授认为，数学的结果是“看”出来的而不是“证”出来的.所谓“看”是一种直觉判断，这种直觉判断建立在长期的有效能的观察和思考的基础上.例1中“函数[g（x）=f（x）-2]有且只有1个零点”用图形描述为“函数图像与[x]轴只有一个公共点”;例2中“[cn+1>cn]恒成立”用图形描述为“[an， bn]上的点交替上升”.这样的图形描述很直观.利用图形描述数学问题，正是为了让学生通过“看”形成直觉判断.

2.善于利用图形理解数学问题

数学问题一般都是以符号的形式给出的，要想解决数学问题，我们必须很好地理解数学问题.利用图形可以帮助我们更加直观而有效地理解题意.如上述问题“求证：数列[an]，[bn]的公差相等”即“要想[an， bn]上的点总是交替上升，则必然有[d1=d2]”.于是我们联想到了[d1

3.善于利用图形解决数学问题

数形结合是直观与抽象、感知与想象的结合.图形在解决一些不需要写出逻辑推理过程的数学问题中具有非常独特的魅力.如上述中的“已知椭圆[x25+y2b=1]和直线[y=kx+1（k∈R）]总有公共点”可以理解为“直线随便怎么画，都要和椭圆有公共点”，所以定点[（0，1）]必须在椭圆内或在椭圆上.

四、误区及反思

正确的图形直观可以引导学生正确的解题思路，错误的图形直观必然导致错误的引导.

例如，在分析函数[f（x）=xex]的性质时，通过求导后发现函数在[（-∞， 1）]上递增，在[（1，+∞）]上递减.图形直观表示如图10所示.

图10                             图11

事实上，当[x>0]时， [f（x）>0]，上面的图像是有问题的.当[x→+∞，  f（x）→0+]，借助数的分析我们把图像调整为图11所示.因为是直观，所以我们只关注一些主要信息，漏掉了一些次要信息，导致我们对图像的把握不准确，所以图形直观的精确度是值得关注的，不同的问题要求图形的精确度也不同.倘若上面的问题关注的是函数的最大值，那么图10的直观图就足够了.但如果是函数的零点问题，则需要用图11的直观图.这就要求我们在作直观图时，搞清问题是什么，所以在使用图形直观去分析时，务必要力求图形准确，分类全面.

[   参   考   文   献   ]

[1]  蒋海燕.中学数学核心素养培养方略[M].济南：山东人民出版社，2017.

（责任编辑 黄桂坚）