一类非齐次Schrödinger- Poisson系统解的存在性

蔡武晋 边 慎 赵雷嘎

(1.北京化工大学 数理学院， 北京 100029； 2.北京工商大学 数学与统计学院， 北京 100048)

引 言

本文研究非齐次Schrödinger- Poisson系统

(1)

式中V(x)和φ(x)分别表示有效势和电势。系统(1)首先在文献[1]中被提出，用于描述三维空间中与静电场相互作用的非线性Schrödinger方程的驻波，f(u)用于模拟多个粒子间的相互作用，g(x)为非齐次扰动。

近年来，在对非线性项和位势条件进行的各种假设下，系统(1)受到广泛研究[2-10]。文献[2]、[4]的研究表明，f(u)关于u的增长阶p的范围会对泛函的紧性和解的存在性产生影响。

当位势函数为常数时，Ruiz[4]研究了带有参数的一类自治Schrödinger- Poisson方程

式中，λ>0,2

本文对一般的非线性项f(u)以及位势函数V(x),研究系统(1)解的存在性和多解性。特别地，允许f(u)的增长性包含3

1 定理的提出

设势函数V(x)∈C(R3,R)满足：

(V1)V(x)=V(|x|)；

其中(·,·)表示R3的内积。

设g(x)∈C1(R3,R)∩L2(R3,R)为非负函数，满足：

(g1)g(x)=g(|x|)≢0；

这里(V1)和(g1)为函数满足径向对称的条件。

对非线性项f(u)∈C(R,R),设

(f1)f(0)=f′(0)=0；

(f2) ∃C>0，使得|f(u)|≤C(|u|+|u|p), ∀u∈R,其中p∈(2,5)；

本文的主要结果是如下定理。

定理1设(V1)～(V3)、(f1)～(f3)和(g1)～(g2)成立，则存在Cp>0，当‖g‖2

进一步对非线性项f(u)，设

(f4)f(-u)=-f(u),∀u∈R；

(f5) ∃θ>4，使得0≤θF(u)≤uf(u),∀u∈R。

定理2设(V4)、(f1)～(f2)和(f4)～(f5)成立，则对任意的g(x)∈L2(R3)，系统(1)在HV×D中存在无穷多解。

本文利用变分法进行证明。由于p的范围会对泛函的几何结构和紧性条件产生影响，当3

2 变分框架及预备引理

首先将系统(1)转化为单个方程[4]。对任意的u∈H1(R3)，可得到方程-Δφ=u2在空间D1,2(R3)中的唯一解φu，此解可表示为

将φu带入到系统(1)的第一个方程，得

-Δu+V(x)u+φu(x)u=f(u)+g(x)

于是定义变分泛函为I：H→R

(2)

根据文献[1]中的命题4，易证I∈C1(E,R)和(u,φ)∈H×D是方程(1)的解当且仅当u∈H是I的临界点，且φ=φu。引理1收集了φu的一些性质[4]。

引理1

(Ⅰ)对任意的u∈H，φu(x)≥0,x∈R3；

(Ⅲ)对t>0，有φvt(x)=t2φv(tx)，其中vt(x)=t2v(tx)；

(Ⅳ)若在H中un⇀u，则在D中φun→φu。

3 定理1的证明

定理1的证明分为两步：一是通过Ekeland’s变分原理证明其负能量解存在；二是通过结合单调性方法的山路定理证明其正能量解存在。

由(f1)～(f2)知，对任意ε>0，存在Cε>C，使得

|f(u)|<ε|u|+Cε|u|p

(3)

由(f3)知，存在C>0，使得

F(u)≥C|u|θ,θ>3

(4)

引理2设(f1)～(f2)成立，则存在Cp>0，t0>0和ρ0>0，使得当‖g‖2

证明由式(3)可知

式中S为H嵌入到Lp(R3)的最佳Sobolev常数，故对任意的u∈H，有

令A(t)=t/4-Ctp/[(p+1)Sp+1]，t≥0，则A(t)在[0,+∞)存在最大值。

当‖g‖20，使得对任意满足‖u‖=t0的u，I(u)≥ρ0成立。证毕。

引理3设(f3)和(g1)成立，令c0=inf{I(u):u∈Bt0}，其中Bt0={u∈H:‖u‖≤t0}，则c0<0，且存在u0∈H，使得I(u0)=c0。

由Ekeland’s变分原理易得序列{un}⊂Bt0满足

(Ⅰ)I(un)→c0；

(Ⅱ)I′(un)→0，在H-1中(H-1为H的对偶空间)。

因为{un}⊂Bt0，显然有界，则{un}是泛函I的一列有界(P.S)序列。

由H嵌入到Lp(2

易知F(u)的增长性在(3,6)之间，当θ∈(4,6)时容易证明泛函(P.S)序列的有界性，但在θ∈(3,4)时难以证明(P.S)序列是有界的，所以我们引用如下单调性方法来构造θ∈(3,4)时的泛函的特殊(P.S)序列。

命题1(L.Jeanjean’s引理[12]) 假设(H,‖·‖)为Banach空间，J∈R+是一个区间， (Φμ)μ∈J是定义在空间H上的一列C1泛函并且有如下形式

Φμ(u)=A(u)-μB(u),∀μ∈J

式中，B(u)≥0，∀u∈H。当‖u‖→∞时，B(u)→+∞或者A(u)→+∞。如果存在v1、v2∈H，使得对任意的μ∈J，有

式中，Γ={γ∈C([0,1],H):γ(0)=v1,γ(1)=v2}则对几乎处处的μ∈J，存在序列{vn}⊂H满足：

(Ⅰ){vn}是有界的；

(Ⅱ)Φμ(vn)→c(μ)；

(Ⅲ)在H的对偶空间中Φ′μ(vn)→0。

为应用命题1寻找系统(1)的正能量解，构造近似问题

引理4设(g1)成立，则

(Ⅰ)存在ρ0、t0>0和满足‖e‖>t0的函数e∈H使得对任意的‖u‖=t0,Φμ(u)≥ρ0成立；Φμ(e)<0,其中μ∈[1/2,1]；

(Ⅱ)对任意的μ∈[1/2,1]，有

式中Γ={γ∈C([0,1],H):γ(0)=0,γ(1)=e}。

证明

注意到θ>3，存在与μ∈[1/2,1]无关且充分大的常数t0>0，使得Φμ(wt0)<0对μ∈[1/2,1]一致成立。所以取e=wt0，(Ⅰ)得证。

(Ⅱ)由cμ的定义可知，对μ∈[1/2,1]有cμ≥c1≥ρ0>0，其中ρ0>0由(Ⅰ)给定，既然Φμ(0)=0且Φμ(e)<0对μ∈[1/2,1]一致成立，则(Ⅱ)得证。证毕。

0<ρ0≤Φμk(uk)=cμk≤c1/2

(5)

对任意的k∈N，有

Φ′μk(uk)=0

(6)

在定理1的假设条件中，仿照文献[13]的方法，可以证明uk满足下列Pohozaev恒等式

下面证明序列{uk}的有界性，有如下引理。

引理5在定理1的条件下，{uk}在H中有界。

证明将证明分为两步。

步骤1 证明{‖uk‖2}有界。

这里ο(1)表示k→+∞时的无穷小量。解上述方程组可得

Bk=4(3Dk-Ek)+ο(1)

结合(f3)，由于θ>3，则当k充分大时Bk<0,此时与(V3)矛盾，所以{‖uk‖2}有界。

定理1的证明由引理3知，u0为系统(1)的负能量解；由引理5和μk→1易知，{uk}是I=Φ1的有界(P.S)序列，再由H紧嵌入到Lp(20。证毕。

4 定理2的证明

本节中，定义变分泛函为IV：HV→R。

为证明定理2，给出如下定义。

定义1((P.S)c条件) 设I∈C1(E,R)，其中E是Hilbert空间。如果一序列{un}⊂E满足I(un)→c且I′(un)→0，则称序列{un}在水平c上是一(P.S)序列，记为(P.S)c序列。如果任何(P.S)c序列包含一个收敛子序列，则称I满足(P.S)c条件。

定义2((sP.S)c条件[11]) 设I∈C1(E,R)，E是一Hilbert空间，I满足(P.S)c条件。若序列{un}⊂E满足：

(Ⅱ)存在实数λn，使得

则称序列{un}在水平c上是一对称(P.S)c序列，记为(sP.S)c序列。如果任何(sP.S)c序列在E中包含一收敛子序列，则称I满足(sP.S)c条件。

命题2(对称山路引理[11])I是一C1泛函，在Hilbert空间HV=X⊕Y上满足(sP.S)c条件且dim(X)<∞，设I(0)=0且满足：

(Ⅰ)存在ρ>0和α≥0使得infI(Sp(Y))≥α；

则I具有一趋于无穷的临界值序列。

定理2的证明将分为下面3个引理。

引理6设(V4)和(f4)成立，则泛函IV满足(sP.S)c条件。

证明先证IV对任意的c满足(P.S)c条件。设{un}为一(P.S)c序列，结合(f5)则有

(7)

故‖un‖有界，再由(f4)、引理1与Hölder不等式易知

N(un)→N(u),〈N′(un),v〉→〈N′(u),v〉,∀v∈HV

结合Nemytski算子的连续性[14]易推导出{un}的强收敛性。证毕。

由HV嵌入到L2的紧性，特征值问题

具有一趋于无穷的特征值序列，记为0<λ1≤λ2≤…≤λk≤…，设ek表示特征值为λk时对应的特征函数。

引理7设(f1)～(f2)成立，则对足够大的k0∈N，存在ρ0>0，使得对∀u∈Y:=span{ek;k≥k0}，当‖u‖=ρ0时，IV(u)≥1。

证明令A=‖g‖2，因为N(u)≥0，由式(3)再结合Hölder不等式，则对u∈Y有

式中，r=3-θ/2>0。

引理8设(f5)成立，令X=span{ej;jρ，使得supIV(SRn(En))≤0。

证明由引理3得

N(u)≤C1‖u‖4

则对u∈En和R>0，由(f5)，有

由于θ>4，再由有限维空间范数的等价性，可得结论。证毕。

定理2的证明由引理6～8，可知所有关于命题2的条件满足，所以得到IV具有一趋于无穷大的临界值序列，从而系统(1)具有无穷多解。

至此，定理1和定理2已全部证明。