深耕细作，培数学学习之沃土

林婕

摘要：“2、5、3倍数的特征”是小学生初次接触数论，标志着小学数学逐步走向数学化和抽象化，且对学生的逻辑思维和理解能力提出了较高的要求。在此基础上，本文以位值原理的教学为中心，探索易于学生理解的倍数特征原理教学，旨在引导学生进行深度学习。

关键词：小学数学  倍数特征  位值原理  探究

“2、5、3倍数的特征”是人教版五年级下册第二单元的内容，教材提供了百数表作为探究学习的依据，并加入了学生对话的插图，在思维转折处设问，进行提示。在教学第一课“2和5的倍数特征”时，教师通常以百数表为工具，通过“观察—猜想—验证”三步，让学生发现并掌握2和5的倍数特征。在教学“3的倍数特征”时，教师则继续依靠百数表让学生自主探究，沿用上一课时的“三步法”，引导学生发现并验证3的倍数特征。然而，同样的方法在第二课时竟出现了一些问题。

一、朝耕暮耘却“歉收”

基于“掌握倍数特征，能判断相应的倍数”这两个教学目标，笔者课后在本校五年级和六年级学生中抽取了100名进行了问卷调查。调查结果如图1所示：

可以看出，学生对学过的数的倍数特征掌握得较好，绝大多数都可以清楚地表达数的倍数特征，并判断一个数是不是2、5、3的倍数。从这个角度来看，教学目标落实得较好，说明教师在教学过程中花费了大量的时间和心血让学生理解和记忆，并安排了一定数量的练习，加深了学生对这些特征的掌握，一定是“朝耕暮耘”。

同时也可以看到，虽然教师在课堂上让学生通过操作、观察、发现和总结规律，并列举验证，但是大多数学生只记住了结论，并没有具备举一反三的能力。从这个角度来看，学生的收获远远不够，甚至可以说是“歉收”，这也说明学生对原理的理解是模糊的，甚至是空白的。因此，他们无从得知其他数的倍数特征，无法找到突破点进行推理，更没有办法用自己的方法去验证。

二、寻根究底溯本源

1.素材有局限

教材编写者选择了百数表作为教学素材，笔者通过分析发现，表中容易找到2和5的倍数及其分布特点，但是在探究3的倍数时，百数表并没有起到一定的辅助作用。学生容易受到前一课时的影响，在个位上找特点，发现3的倍数个位从1到0都有分布，从而陷入困境。学生能否像教师预设的那样，发现它们都是斜着分布的，每一斜行从上往下看，个位减少1而十位增加1呢？在笔者听过的数节公开课中，都没有出现这样的情况，说明学生没有给教师这样“循循善诱”的机会。

2.方法难“服众”

小学生主要是靠不完全归纳法总结和验证规律，然而随着年龄的增长，学生逐渐不满足于不完全归纳法带给他们的结果。在小学数学课堂上，越来越多的学生开始问：“我们举出的例子符合，就一定都符合吗？”“还有无限的数，会不会有反例呢？”“到底为什么会是这样的规律呢？”由此可见，学生对于原理产生了强烈的学习兴趣。由于思维水平、知识积累和接受能力的限制，很多原理只能等到学生在今后的学习中才能逐渐揭示，但面对这样刨根问底的学生，教师能否以自学、自查资料等方式搪塞过去呢？答案显然是否定的。

3.探究要素缺失

首先，方法的缺失。教师把3的倍数特征原理留给学生作为课外自学的探究项目，可操作性很低。3的倍数特征原理涉及数的位值及乘法分配律的方法，学生很难自主探究出这样的思路。同时，在2和5的倍数特征原理学习中，学生学到的方法无法迁移到3的倍数特征原理中，所以留给学生的课后探究作业只能流于形式。也就是说，学生非常想探究，但苦于不具备探究的能力。

其次，自主探究学习体系的缺失。在布置课后作业时，很多教师并没有在之后的学习中进行系统反馈和方法提炼。长此以往，学生对于这样的作业听过即止，在惰性的影响下，很少有学生会把思考带到课后，并潜心探究。即便有学生进行了探究活动，由于没有反馈和评价环节，也会让用心思考寻求答案的学生觉得索然无味。

三、春耕夏种得秋收

1.春耕——重视位值培沃土

位值原理是小学数学数与代数领域非常重要的原理之一，更是2、5、3倍数特征原理的核心，教师必须抓住这一重点进行教学。

（1）强化位值教学

一年级上册第六单元安排了“20以内数的认识”这一内容，在教学时，教师要强调位值的概念。这一课就是位值原理的“种子课”，也是学生第一次学习位值的概念，明白同样的数写在不同的位置所表示的大小是不同的。“1写在个位表示1个一，写在十位则表示1个十”，教师需要对每一个学生完整地说一说，并借助小棒说明两个“1”的不同。有了这一课的铺垫，在一年级下册第四单元“100以内数的认识”中，学生对于不同数位上数字的理解将会非常深刻。这一单元的最后是实践活动“摆一摆，想一想”，要求学生用不同数量的小圆片摆出不同的数，其中一个重要目标就是加深学生对位值的理解。

（2）注意原理渗透

在二年级上册第六单元“表内乘法（二）”中，课本安排了这样两个内容，如图2、图3所示：

这两个内容都是对9的乘法口诀中积的规律的探究，同时希望通过规律帮助学生记忆9的口诀。对于这些课后内容的教学，很多教师选择了点到为止，即学生只要能发现并说出规律即可，并没有追问学生“你知道为什么会有这样的规律吗？”这就错失了一个提高学生探究能力和强化位值概念的机会。

2.夏种——优化素材更添肥

（1）调整素材深施肥

围绕学生最感兴趣的“为什么3的倍数要看各个数位上的数字之和”这一问题开展教学，教师可以在百数图的基础上，开发其他能让学生体会数值概念的素材，如圆片、小棒、数字卡、计数器等，再通过摆一摆突出位值意义。

在探究环节中，教师可以让学生在计数器上拨一拨，拨出3的倍数，并记录下所用珠子的数量。教师也可以用小棒在数位表上摆一摆，此时给学生的小棒数量应不尽相同，让学生想一想为什么有的数量用小棒不管怎么摆都可以摆出来，有的小棒却始终不行，从而让学生意识到：决定是否为3的倍数的根本，不是每个数位上摆几根，而是小棒的总根数。这样比让学生在表上圈一圈更能获得直观感受，进而猜想出3的倍数特征。

相比计数器，笔者更偏好小棒这一教具。作为从一年级一路陪伴学生成长的“老朋友”，小棒比计数器更直观，并且用10个一捆来表现“10个一”和“1个十”的转换十分清晰。

（2）面向全体广撒种

在第一课时“2和5的倍数特征”中，教师安排学生在百数表中通过圈一圈，自主观察发现这一活动，学生都能积极参与其中。当笔者提出探究倍数特征原理的问题时，能回答的学生寥寥无几。因为5的倍数特征原理和2的倍数特征原理类似，经过几次举例，学生对这一原理尚能理解，差距在“3的倍数特征”一课继续拉大。

笔者认为，教师应该在学生猜想出3的倍数特征原理之后，用不完全归纳法进行初步验证，并鼓励学生踊跃表达自己的疑惑。由于原理比较晦涩，教师可以让学生利用小棒拆一拆、分一分来帮助理解。有了动手操作和总结交流的经验，结论的原理也会变得非常清晰，绝大多数学生都能理解3的倍数特征的原理，而不再需要机械记忆，2和5的倍数特征也得到了巩固。

3.秋收——延伸拓展自然熟

（1）拓展练习手到擒来

教材中有这样一道题目，如图4所示。教师应有意识地引导学生自主探究4的倍数。从一年级扎实的位值教学、二年级的乘法口诀规律探寻，再到2、5、3倍数特征面向全体的深入探究，学生深度经历了各个阶段的学习过程，这个时候再出现这样的拓展题，学生一定会信心满满，兴趣倍增。

（2）课后思考源源不绝

课堂接近尾声，有的学生表示根据4的倍数特征想到了8的倍数特征，想和同学们分享。其实，不只是8，在明晰了位值原理与倍数特征原理的关系之后，学生完全具备自主探究6、8、9的倍数特征能力，到达了“丰收”的目的。

参考文献：

[1]付娜.小学数学探究学习实践研究[D].长春：东北师范大学，2012.

[2]张诗雅.课堂有效学习的指导策略研究[D].上海：上海师范大学，2015.

（作者單位：浙江省温岭市横峰小学）