基于Givens变换的广义旁瓣相消器的设计

冀文辉，原浩娟，秦 琨，徐 恒，朱保安

(上海航天电子技术研究所，上海 201109)

0 引言

自适应阵列天线要求消除接收信号中的干扰和噪声的影响，获得最大输出信干噪比。线性约束最小方差准则(Linearly Constrained Minimum Varience，LCMV)是常用的自适应波束形成方法之一。广义旁瓣相消器是LCMV的一种等效实现结构。不同GSC方法的核心区别在于阻塞矩阵B的构造方法不同。常见的阻塞矩阵构建方法有二项式对消、奇异值(SVD)分解等[1]。

文献[2]利用Householder变换实现降维，构造阻塞矩阵，提高了GPS接收机的快速抗干扰性能。文献[3]利用信号子空间特征矢量和期望信号的投影导向矢量构造稳健降维阻塞矩阵，达到降维效果，运算比较复杂。文献[4]利用波束形成无法对加性白噪声进行抑制的特点，设计出一种新的阻塞降维矩阵，增强主辅通道关于干扰信号的相关性，更有利于抑制干扰，但运算量较大。

Givens变换可以构造旋转矩阵，使得向量在空间中旋转，利用此数学性质，对来波信号的导向矢量进行旋转，使得旋转后的矢量在一些维度上的大小为零，即实现了对期望信号的阻塞。基于此，本文提出一种新的基于Givens变换[5]的阻塞矩阵B的构造方法，利用Givens变换生成的B来构造一种新的广义旁瓣相消器。另外，此算法实现简单，易于实现调用，可以提高信号处理的实时性。

1 基于Givens变换的GSC方法

1.1 研究思路

通过Givens变换，可以将期望信号的导向矢量α(θ0)旋转为e1的‖a(θ0)‖2倍，其中e1=[1 0 … 0]T为N×1维单位矩阵，则可以利用有限个Givens矩阵的乘积的后N-1×N维的矩阵元素构造GSC中的阻塞矩阵B。

1.2 信号模型

设均匀线阵由N个阵元组成。接收到的信号在奈奎斯特采样率下进行采样，在时刻k各个天线采样得到样本，构成矢量x(k)∈C(N×1)，表示为：

(1)

(2)

1.3 算法原理

1.3.1 GSC结构

在GSC结构中，阵列接收信号经GSC上支路的静态权矢量，保留了期望信号、干扰和噪声，且期望信号无失真响应约束得到保证，各干扰分量的复幅度变化为各干扰和期望信号的空间相干系数；阵列接收信号经GSC下支路，首先将期望信号阻塞，只剩余干扰和噪声，再通过最小均方误差准则获得下支路的权矢量，使得上下支路相减后的差值最小，也就意味着最大限度地消除接收信号中的干扰和噪声的影响，获得很纯的信号分量，即获得最大输出信干噪比[6-8]。广义旁瓣相消器如图1所示。

图1 广义旁瓣相消器(GSC)Fig.1 Generalized sidelobe canceller

输入信号x(k)通过GSC上支路的静态权矢量a(θ)，获得期望信号：

d(k)=a(θ)Hx(k)。

(3)

此外，下支路首先通过阻塞矩阵，将期望信号阻塞掉。经N×M维阻塞矩阵B后，输出信号矢量为：

x0(k)=BHx(k),

(4)

其中，1

下支路的最佳动态权矢量wGSC可由下式得到：

(5)

那么，广义旁瓣相消的自适应权向量为：

w=a(θ)-BWGSC，

(6)

要求阻塞矩阵满足BHa(θ)=0M×1。

1.3.2 基于Givens变换的阻塞矩阵的构建

阻塞矩阵的构造在广义旁瓣相消中至关重要。如果阻塞矩阵B构造的不合适，在经过阻塞矩阵后会出现期望信号的阻塞剩余。常见的阻塞矩阵构建方法有二项式对消和奇异值分解(Singular Value Decomposition，SVD)主分量法等。下支路阻塞矩阵输出信号的协方差矩阵为：

(7)

选用Givens矩阵能使向量a(θ)某些元素变为零，又能保持该向量的长度或范数不变。具体的说，Givens矩阵U可以将非零向量a(θ)变成e1的‖a(θ)‖2倍，其中e1=[1 0 … 0]T为N×1维单位矩阵，若将Givens矩阵写作

(8)

存在Givens变换，使得:

(9)

可以达到U2…Na(θ)=0(N-1)×1的目的，实现对期望信号的阻塞。

a(θ0)=(ξ1,ξ2,…,ξn)T≠0,a(θ0)∈Cn，则存在有限个复数形式的Givens矩阵的乘积，记为U，使Ua(θ0)=‖a(θ0)‖2e1。构造U的方法文献[5]已经给出，此处不再赘述，得到Ua(θ0)=‖a(θ0)‖2e1。

(10)

从计算复杂度考虑，该阻塞矩阵由多个N×N维复Givens矩阵的乘积得到，矩阵乘法的运算复杂度为O(N3)，而主分量法阻塞矩阵的运算复杂度同样也为O(N3)。本文所提的阻塞矩阵不需要依赖接收信号来构造，实际应用中，可以将与期望信号来波方向对应的阻塞矩阵事先计算好存储起来，后续使用时直接调用即可。而主分量法需要根据接收信号来进行奇异值求解，求取特征向量，与Givens法相比，增加了旁瓣相消的处理时间。

2 计算机仿真

2.1 仿真方法

仿真程序框图如图2所示。

图2 程序框图Fig.2 Program block diagram

2.2 仿真条件

在不同的仿真条件下，比较二项式对消GSC、奇异值分解主分量法GSC和基于Givens变换的GSC这3种方法的仿真结果。需要注意的是，在本文的仿真实现中，这3种方法的阻塞矩阵的维数都是N×M维，其阻塞矩阵都有降维的作用。

仿真1：期望信号1个，来波方向20°，信噪比变化范围[-10∶5∶30] dB；稀疏旁瓣干扰信号4个，来波方向-45°，0°，-25°，30°，干噪比INR=30，35，40，45 dB，每信噪比Monte Carlo实验次数500。

仿真2：期望信号1个，来波方向20°，信噪比变化范围[-10∶5∶30]dB；稀疏旁瓣干扰信号4个，来波方向-45°，0°，-25°，30°，干噪比INR=30，35，40，45 dB，每信噪比Monte Carlo实验次数500次。引入阵列幅相误差，幅度误差均方根为1 dB，相位误差均方根为10°。

仿真3：期望信号1个，来波方向20°，信噪比变化范围[-10∶5∶30]dB；主瓣干扰信号1个，来波方向25°，干噪比INR=30 dB，每信噪比Monte Carlo实验次数500。

仿真4：期望信号1个，来波方向20°，信噪比变化范围[-10∶5∶30]dB；密集旁瓣干扰信号4个，来波方向-35°，-37°，-39°，41°，干噪比INR=30，35，40，45 dB，每信噪比Monte Carlo实验次数500。

2.3 结果与说明

仿真1：

不同信噪比条件下3种GSC输出信干噪比如图3所示。

由图3可以看出，SNRin越大，性能损失越大，与理想曲线值相差越大。干扰抑制效果变差。分析原因是由于接收信号协方差矩阵里面含有信号分量，输入信噪比越大，信号分量的影响越大，并且由于样本数为有限样本带来协方差矩阵估计不准，以及约束向量的非鲁棒性，造成信号相消现象。

图3 仿真1条件下，不同信噪比条件下3种GSC输出信干噪比Fig.3 Under the condition of simulation 1,output SINR of 3 GSCs under different SNR conditions

当稀疏旁瓣干扰个数为4时，Givens GSC法稍微差于SVD主分量法，二者的性能曲线很接近。而二项式对消法在低信噪比情况下，与前2种方法有大约3 dB的性能损失。在高信噪比情况下，三者的输出信干噪比曲线趋向重合，性能接近。Givens GSC法和SVD主分量法在多个稀疏旁瓣干扰情况下性能较好。仿真1条件下，当SNR=30 dB时3种GSC自适应方向图如图4所示。

图4 仿真1条件下，当SNR=30 dB时3种GSC自适应方向图Fig.4 Under the condition of simulation 1,the adaptive pattern of 3 GSCs when SNR is 30 dB

由图4可以看出，三者都在期望信号方向形成主瓣。二项式对消法的旁瓣电平最高，Givens GSC次之，主分量法的旁瓣电平最低。三者的自适应波束方向图有明显差异。

各算法调用阻塞矩阵耗时对比如表1所示，算法耗时为Monte Carlo实验后所得的平均耗时。

表1 各算法调用阻塞矩阵耗时对比Tab.1 Comparison of the time consumed by each algorithm to call the blocking matrix

可以看出，主分量法调用阻塞矩阵所用的时间是Givens法的17.7倍，是二项式对消法的39.8倍。这是因为二项式对消法和Givens法调用的是已经事先计算好所存储的阻塞矩阵，这2种方法的阻塞矩阵的构造不需要通过对接收信号做处理来得到，而SVD法由于需要将接收到的信号向期望信号方向的信号补空间做投影后，再对投影后的信号做奇异值分解来求取阻塞矩阵，上述过程无疑大大增加了GSC算法调用阻塞矩阵的时间。

仿真2：

在仿真1的仿真条件基础上加入了阵列幅相误差，不同信噪比条件下3种阻塞矩阵的GSC输出信干噪比如图5所示。

图5 仿真2条件下，不同信噪比条件下3种阻塞矩阵的GSC输出信干噪比Fig.5 Under the condition of simulation 2,output SINR of 3 GSCs under different SNR conditions

通过对比图5和图3可以得出，当SNRin>15 dB时，阵列幅相误差使得3种GSC的性能都有所下降，当SNRin<15 dB时，阵列幅相误差对3种GSC的性能几乎没有影响。分析原因是，当SNRin较大时，附加在接收信号中的期望信号分量上的阵列幅相误差绝对值变大，利用GSC法处理时更容易将期望信号分量当作干扰和噪声而进行抵消，造成输出信干噪比的下降。雷达接收信号的SNRin在实际情况下都较小，为此只需关注小输入信噪比的情况。

当SNR=30 dB时3种阻塞矩阵的GSC自适应方向图如图6所示。

图6 仿真2条件下，当SNR=30 dB时3种阻塞矩阵的GSC自适应方向图Fig.6 Under the condition of simulation 2,the adaptive pattern of 3 GSCs when SNR is 30 dB

仿真3：

考虑干扰信号来波方向位于指向期望信号的静态方向图主瓣内的情况，不同信噪比条件下3种GSC输出信干噪比如图7所示。

图7 仿真3条件下，不同信噪比条件下3种GSC输出信干噪比Fig.7 Under the condition of simulation 3,output SINR of 3 GSCs under different SNR conditions

由图7可以看出，二项式对消法GSC不能够抑制主瓣内的干扰，几乎失效。在SNR=-5 dB时，Givens GSC与SVD主分量法相比有5 dB左右的性能损失，随着信噪比的增加，二者的性能曲线趋向接近，Givens法能够一定程度的抑制主瓣内的干扰信号，但其性能差于SVD主分量法。

分析原因是，SVD法的阻塞矩阵是通过对接收信号做奇异值分解求得的，阻塞矩阵的构建是建立在采样的接收样本的基础上。而Givens GSC的阻塞矩阵的构建只与期望信号导向矢量有关，与采样的接收样本无关，构造阻塞矩阵的先验信息较少，导致Givens GSC差于SVD主分量法。而二项式对消法构建的B矩阵，其每列只有2个矩阵元素非0，导致每一列阻塞信号的过程只利用阵列的2个阵元的接收信号，其他的N-2个阵元的接收信号在阻塞信号的过程里加权后为0，二项式对消法的阻塞矩阵在阻塞期望信号的同时也阻塞了其他阵元的接收信号，导致构造阻塞矩阵的先验信息不足，使得其不能够抑制主瓣内的干扰。

当SNR=30 dB时3种GSC自适应方向图如图8所示。

图8 仿真3条件下，当SNR=30 dB时3种GSC自适应方向图Fig.8 Under the condition of simulation 3,the adaptive pattern of 3 GSCs when SNR is 30 dB

由图8可以看出，二项式对消法在期望信号方向没有形成主瓣，Givens GSC法和SVD主分量法在期望信号方向形成了主瓣，干扰方向形成了零陷。Givens GSC法的旁瓣电平较高，在-10 dB左右。

仿真4：

考虑密集旁瓣干扰的情况，不同信噪比条件下3种GSC输出信干噪比如图9所示。

图9 仿真4条件下，不同信噪比条件下3种GSC输出信干噪比Fig.9 Under the condition of simulation 4,output SINR of 3 GSCs under different SNR conditions

由图9可以看出，Givens GSC在SNR=-5 dB时，与SVD主分量法相比有大约7 dB的性能损失，随着信噪比的增加，二者的性能曲线趋向接近，Givens法能够抑制密集旁瓣干扰信号，但其性能差于SVD主分量法。二项式对消法对密集旁瓣干扰信号的抑制效果很差。仿真4条件下，3种方法的性能好坏排序为：PC GSC>Givens GSC>二项式对消法GSC。

当SNR=30 dB时3种GSC自适应方向图如图10所示。

图10 仿真4条件下，当SNR=30 dB时3种GSC自适应方向图Fig.10 Under the condition of simulation 4,the adaptive pattern of 3 GSCs when SNR is 30 dB

由图10可以看出，3种方法都在干扰方向形成很深的零陷，SVD主分量法在期望信号方向形成主瓣，其他2种方法在期望信号方向没有形成主瓣，反而在期望信号方向形成较浅的零陷，抑制了接收信号中的期望信号分量。

3 结束语

本文提出的基于Givens变换构造阻塞矩阵的GSC法与SVD主分量法在稀疏旁瓣干扰情况下性能接近，在主瓣干扰和密集旁瓣干扰情况下，性能差5 dB左右，但其优点在于不需要依赖接收信号构造B矩阵，实际应用中，可以将与期望信号对应的阻塞矩阵事先计算好存储起来，后续使用时直接调用即可。基于Givens变换构造阻塞矩阵的GSC法在各种仿真条件下的性能都优于二项式对消法GSC，并且前者的阻塞矩阵输出噪声为白噪声，而后者的阻塞矩阵输出噪声为色噪声。色噪声使得经过阻塞矩阵的输出信号的条件数变大，当利用LMS法来迭代求解最优权矢量时，条件数越大，收敛速度越慢，条件数过大会使得矩阵病态，导致最终求得的解与真实值误差很大。经过本文的理论分析和性能仿真，可以得出基于Givens 变换的GSC兼顾处理速度快和性能良好的优点，是一种有效的自适应抗干扰方法。