高峰期轨道交通廊道出行均衡模型及算法

袁乐凯, 石超峰, 张 玺

(1.重庆交通大学交通运输学院, 重庆 400074； 2.重庆交通大学经济与管理学院, 重庆 400074)

随着城市经济的迅速发展,交通供给与需求之间的矛盾日益突出。找到早晚高峰通勤者的出行模式和规律会有效缓解高峰期轨道车厢内的拥挤,减少时间延误,有效提高轨道服务质量,因此近些年来公共交通系统中通勤者的动态出行行为成为研究的热点问题。

Arnott等[1]在研究高峰时段交通拥堵的空间平衡动力学方面向前迈出了一大步,提出了可能具有连续时间和空间的最简单的模型,同时对交通廊道做了研究。之后又有不少学者对交通廊道展开了相关研究。Depalma等[2]探讨了交通动态模型,以实现社会最优状态和用户最优状态。Li等[3-4]研究了交通廊道中不同情况下的一系列相关问题,得出了社会最优(system optimum, SO)和用户均衡(user equilibrium, UE)分配解决方案。目前对交通廊道的研究主要集中在道路廊道方面,但也有部分学者对轨道廊道做了相关研究。王欣宇[5]对高峰期轻轨廊道出行动态特性和空间分布均衡做了研究。此外,陈培文等[6]考虑路径尺度因素的影响对城市轨道交通客流分配模型进行了研究。也有许多学者对公共交通系统的动态均衡做了研究。Tian等[7]对多起点单讫点的公共交通系统动态均衡状态进行了研究,发现了多到单系统乘车均衡性质。田琼等[8]分析了公交车厢最大容量约束对不同居住地乘客动态出行行为的影响。韩烈等[9]推导出了单起点多讫点公交系统早高峰乘车均衡状态的五条性质。田琼等[10]和张玉洁等[11]都推导出了乘客异质性的高峰期公交出行均衡性质,并全面分析了不同类型通勤者的出行特点和规律。韩烈等[12]分析了早高峰时段多起点多讫点公共交通系统乘客乘车行为。孔雪等[13]考虑了城市轨道交通规划对城市公交线路运行效率的影响,对轨道交通规划有一定指导意义。

虽然学者们已经做了大量研究,但是对于单起点多讫点轨道交通廊道中出行均衡模型及算法的研究较少,也没有学者分析不同时间价值对此类廊道中乘客出行行为的影响。现以单起点多讫点轨道交通廊道为研究对象,首先建立出行动态均衡模型,然后将Frank-Wolfe算法与迭代算法结合求出用户均衡出行分布结果,最后通过算例分析不同出行时间价值对乘客出行行为的影响。

1 轨道交通廊道模型

1.1 模型建立

首先基于Arnott[1]的廊道定义给出轨道交通廊道定义:考虑一条轨道线路将生活区与工作区相连,每天早(晚)高峰期通勤者通过轨道交通廊道从居住区到单位上班。通勤者可能因为出行时间不同存在早到或晚到的现象,但达到均衡状态时,没有通勤者能再通过选择出发时间来获得更低的出行成本。

随着城市的迅速发展以及人们对便捷生活的需求,在居民聚集居住的区域是有轨道交通线路的。每天早上会有很多通勤者从居住区出发,但由于他们的目的地不一样,所以会在不同的地方下车。本文选取单起点多讫点轨道交通廊道为研究对象,如图1所示,一条轨道线路(以地铁为例)由生活区H0出发,先后在H1、H2、H3、…、HK等目的地下车,早(晚)高峰期各站点分别有N1、N2、N3、…、NK个通勤者下车。假设所有的乘客同质,即乘客上班时间相同、期望到达目的地的时间相同、时间价值相同、对车内拥挤敏感性相同。同时,所有通勤者经过长期的适应,对地铁班次信息熟悉,不存在站台等车时间。假设地铁以固定速度行驶,因此相邻站点之间的运行时间是固定的,分别用τ1、τ2、τ3、…、τK表示。用t表示相邻班次的固定发车时间间隔。

图1 单起点多讫点轨道交通廊道示意图

乘坐j班次轨道、工作地为Hl(l=1,2,3,…,K)的乘客上班的出行总成本为

1≤l≤K,j∈Z

(1)

(2)

(3)

式(1)中δ(l,j)为乘客乘坐j班次从H0到Hl所承受的延误成本,可表示为

(4)

式(4)中:β为单位早到误时成本；γ为单位晚到误时成本。

乘客通过权衡拥挤成本与延误成本来选择最佳轨道班次,从而使得个人出行总成本最小。在均衡状态时,所有目的地相同的乘客出行成本相同,且没有乘客能通过单方面改变乘坐班次来减少出行成本,即

(5)

式(5)中:TCl为从H0出发到Hl的乘客出行总成本。式(5)表明,通勤者通过长期乘车通勤,已经得到了使自己的通勤出行成本最小的乘车方案。

1.2 等价数学优化模型

(6)

(7)

(8)

优化目标函数式(6)是所有乘客车厢内拥挤成本函数的积分与他们所承受的所有延误成本之和,优化变量为乘客出行分布n。与经典用户均衡模型相同,G(x) 没有具体实际经济意义。式(7)是站点Hl处乘车人数的守恒条件,式(8)保证乘客数量非负。目标函数(6)是严格凸函数,约束条件(7)、(8)为线性约束,则模型(6)～模型(8)为严格凸规划,其一阶条件为

j∈Z,l=1,2,…,K

(9)

j∈Z,l=1,2,…,K

(10)

(11)

(12)

2 求解算法

2.1 Frank-Wolfe算法

2.2 均衡求解算法

利用Frank-Wolfe算法对讫点的各班次进行配流,只是均衡求解算法的一部分。求解均衡状态时乘客班次选择结果的算法具体步骤如下。

步骤1初始化

步骤2用户均衡分配

步骤2.1

……

步骤2.k

……

步骤2.K

步骤3收敛性检验。

3 算例及时间价值参数分析

3.1 数值算例

为了验证本研究提出的模型和算法的可用性,设计了一个数值算例。考虑了单位晚到成本增大和单位早到成本减少两种情况,分析了轨道交通廊道中乘客出行时间价值改变对乘客出行分布的影响。参数设置如下:票价Pl=2 元,K=6 站,发车时间间隔t=0.05 h,τ1=0.15 h,τ2=0.1 h,τ3=0.05 h,τ4=0.1 h,τ5=0.15 h,τ6=0.05 h,N1=540 人,N2=900 人,N3=540 人,N4=720 人,N5=900 人,N6= 450 人,(α,β,γ)=(20,10,30)(元/h), 拥挤成本函数为g(n)=0.005n2(元/h),ξ=60,ζ=29,乘客人数更新权重μ=0.5,收敛精度ε1=0.1、ε2=0.1。单位晚到成本增大时,(α,β,γ)=(20,10, 100)(元/h)；单位早到成本减少时,(α,β,γ)=(20 ,0,30)(元/h)。不同出行时间价值下,均衡状态的乘客出行分布图,如图2～图4所示。

图2 均衡出行分布结果

图3 单位晚到误时成本增大时均衡出行分布结果

图4 单位早到误时成本减少时均衡出行分布结果

3.2 单位晚到误时成本增大

由图3可以看出,单位晚到成本增加时,均衡结果为不同讫点的乘客连续分布在不同班次之间,人数分别在各自误时成本最小的车次上达到峰值,这一分布状态与图2类似；乘客分布较为集中,尤其对于近讫点而言,并且没有乘客选择晚到的班次。

3.3 单位早到误时成本减少

本文算例中,将早到误时成本减少到0,即β取值为0,相当于不考虑早到成本。由图4可以看出,不考虑早到成本时,乘客全部选择早到班次,此时乘客只权衡拥挤成本来选择班次,均衡结果为各班次车的载人总数趋近于相同以及各站点选择各班次车的人数也趋近于相同；均衡状态时没有乘客愿意选择有晚到误时成本的班次,结果与增加晚到误时成本的结果一样,这也说明了乘客在早到和晚到班次之间进行权衡选择。

4 结论

通过研究高峰期轨道交通廊道出行均衡问题，首先建立了轨道交通廊道模型,然后给出了均衡求解算法,最后通过数值算例说明了模型的有效性,并分析了不同出行时间价值的情况下,动态用户均衡出行流量分布结果。得出以下结论。

(1)均衡状态时,不同讫点的乘客连续分布在不同班次之间,人数分别在各自误时成本最小的车次上达到峰值。较早的车次上,一般由远讫点的乘客乘坐,近讫点的乘客分布比较集中。

(2)均衡状态时,增大单位晚到误时成本,乘客分布较为集中,尤其对于近讫点而言,并且没有乘客选择晚到的班次；减少单位早到误时成本,各班次车的载人总数趋近于相同以及各站点选择各班次车的人数也趋近于相同。

(3)政府可以鼓励各行各业错峰上下班,通过调整延误成本来影响拥挤成本,实现乘客利益和社会利益的统一。在运营管理有必要的情况下,可以倡议工作单位增加上班迟到惩罚成本来减少乘客对晚到班次的选择,从而改变乘客出行分布状态,有利于对城市轨道的发车频率、车厢容量等方面进行规划与管理；也可通过变动票价以及其他优惠政策,将各站点的早到误时成本平衡为0,那么各班次的乘客会趋向于稳定均匀分布,有利于提高车厢利用率,降低最大拥挤程度。

本文研究没有考虑通勤者时间价值和拥挤敏感度的异质性,这将是下一步的研究方向。