基于有界干扰Hammerstein模型的化工过程的预测控制

胡本源， 彭 珂， 董宏光， 王克峰

(大连理工大学化工系统工程研究所， 大连 116024)

模型预测控制(model predictive control， MPC)因其能够处理复杂多变量约束优化控制问题的特点，已经成为最具代表性的先进控制算法之一，广泛地应用于化工、炼油等许多过程控制领域[1-4]。目前，在预测控制中多数工业过程系统采用线性模型进行预测和优化，然而在实际中未建模的动态模型、非线性、外部干扰等因素不可避免地存在于这些控制系统中，这无疑限制了线性预测控制的应用。所以针对这些问题非线性 MPC算法的研究和应用越来越受到重视[5-6]。

工业过程的非线性通常可以利用局部线性化方法或建模成具有某种特定结构的非线性函数来处理。其中，Hammerstein模型是一类由静态非线性输入函数和动态线性模型串联组成的非线性系统。该模型可以用来描述pH中和、空气分离、聚烯烃牌号切换等化工过程的非线性特性[7-9]。因此，基于Hammerstein模型的非线性 MPC方法在学术界和工业界得到了很多研究[10-14]。文献[10]为优化问题提供一组凸优化松弛条件，其中代价函数和约束可分别表示成优化变量的函数和其非线性函数。在文献[11]中，预测输出轨迹在线线性化，通过求解二次规划问题得到控制作用。为了准确的近似，此线性化和优化需要迭代进行。文献[12]考虑多模型预测控制，提出一种基于夹角的自调整分解方法。利用此方法和线性模型可逼近Hammerstein系统。与这些非线性MPC控制策略不同，两步法MPC首先用一个无约束的线性MPC计算期望中间变量(控制律)，然后求解非线性代数方程和采用解饱和方法来计算实际满足约束的控制输入。因此，两步法MPC的优点是计算量较小，很适合实际系统的在线建模。文献[13]对输入饱和Hammerstein模型提出一种两步法MPC方法。文献[14]针对干扰Hammerstein系统采用二次范数有界技术表征系统稳定性。中间控制变量通过求解Riccati迭代方程取得。文献[15]考虑具有状态和控制约束的有界未知扰动Hammerstein模型， 提出一种具有输入到状态稳定和有限L2增益性能的鲁棒非线性模型预测控制策略。

聚烯烃牌号切换是聚合装置从一种稳态切换到另一种稳态的过程[16-17]。它通常可用Hammerstein系统表述并涉及装置多个控制输入量的调整。上述的文献假设系统状态已知，然而在实际生产中，状态往往无法完全可测，而且普遍存在不确定性扰动，因此以此为背景，研究具有约束和未知干扰的多变量Hammerstein系统的非线性MPC控制方法。由于存在的干扰是未知的，这样就使得预测模型不再准确。为了保证稳定性，本文中研究的鲁棒MPC控制算法做了所有可能值的预测，从集合包含的角度，预测包含真实值。该方法采用两步法策略，第一步考虑到实际生产中系统状态往往不可测，所以对无约束受干扰的线性模型应用鲁棒输出反馈MPC方法计算中间变量，其中引入二次有界技术处理外部有界干扰，并设计估计误差界的在线更新公式来保证优化问题的递推可行性。第二步通过求解非线性代数方程和采用解饱和的方法得到最终的控制输入，同时保证输入约束满足，使闭环系统鲁棒稳定。

1 系统描述

考虑一非线性系统可被如下的离散时间多变量 Hammerstein模型描述:

(1)

式(1)中：x∈Rn，u∈Rm，y∈Rp，v∈Rm和w∈Rq分别为系统的不可测的状态向量、控制输入、输出向量、中间变量和不确定的有界外部扰动,其中Rn为n维欧式空间;k为采样时间;扰动满足‖w(k)‖≤1。本方法适用于模型(1)中的A、B、C、D、E为已知的常数矩阵且{A，B，C}是一致可控且可观。非线性函数φ(·)用来描述控制输入和中间变量之间的静态非线性环节，且有φ(0)=0。Hammerstein模型结构如图1所示。

图1 Hammerstein模型结构图

令φ=f∘sat，其中f∘ sat为复合函数，f为可逆的静态非线性函数，sat表示控制输入的饱和约束，即

(2)

MPC的控制目标是针对多变量约束系统模型(1)，设计预测控制器，使闭环系统在外部持续不确定扰动下，仍然可以保持系统鲁棒稳定，同时控制输入满足相应的约束。

2 鲁棒MPC策略

考虑式(1)线性模型

(3)

设计如下Luenberger观测器:

(4)

(5)

注意到通过MPC方法得到的中间变量可能无法准确通过控制输入u(k)执行，这是因为在求解非线性方程和解饱和作用过程都存在误差[18]，所以引入期望中间变量v(k)。那么实际的控制输入设为

u(k)=g[v(k)]

(6)

式(6)中:g(·)为φ(·)的可逆部分(或是近似可逆)。由式(1)和式(6)得v(k)=φ[u(k)]=φ∘g[v(k)]。假设φ∘g=1来消除输入非线性，不考虑φ中的不确定影响。

2.1 离线估计器设计

e(k+1)=(A-LC)e(k)+(D-LE)w(k)

(7)

Ve(k)≥‖w(k)‖⟹Ve(k+1)-Ve(k)

(8)

(9)

(10)

根据Schur补引理，式(10)由如下不等式保证:

(11)

(12)

成立，那么e(k)将收敛到原点的邻域εTe并且以后都属于该邻域。

2.2 二次有界性条件

(13)

对于k≥0，v(k)可由式(14)计算得到。基于式(4)的作用，扩展系统(13)的闭环预测模型为

(14)

根据前述的鲁棒控制目标，设计经典min-max优化问题来最小化代价函数的上界，即

(15)

式(15)中:代价函数J∞(k)定义为

(16)

V(i|k)≥γ⟹V(i+1|k)-V(i|k)≤

(17)

将式(17)从i=0加到∞,得到J∞(k)≤V(0|k)-V(∞|k)≤V(0|k)。如果令

V(0|k)≤γ

(18)

标量γ>0 可作为代价函数J∞(k)的上界。为保证闭环系统的稳定性，优化问题式(15)进一步化为

(19)

(20)

证明:由于‖w(k+i)‖≤1，i≥0，将式(14)代入式(17)，那么二次有界性条件等价于

(21)

应用S-procedure方法，当且仅当存在一个标量ρ>0使得(为书写简便，省略时间标识)：

(22)

(23)

(24)

需要注意的是估计误差e(k)是不确定的，所以需转而研究e(k)的界以代替e(k)本身。假设e(k)属于下列集合:

e(k)∈E(k)={e∈Rn|e(k)TH(k)·

e(k)≤1}

(25)

式(25)中:为了保证优化问题的地推可行性，H(k)在线计算公式可设计为

(26)

e(0|k)≤1

(27)

(28)

综合上述的分析，优化问题(19)最终可表示为

(29)

定理1假设优化问题式(29)在初始采样时刻k=0是可行的，那么在所有未来时刻k>0，优化问题式(29)都是递推可行的，同时闭环系统也是鲁棒稳定的。

定义李雅普诺夫函数γ*(k)，并选择一个候选函数γ-(k+1)=γ*(k)。由于优化问题式(29)在采样时刻k≥0都是递推可行的，得到γ*(k+1)≤γ-(k+1)， 进一步有γ*(k+1)≤γ*(k)。所以可以得出结论随着k时刻的增加，γ*(k)将会收敛，即闭环系统是鲁棒稳定性的。

2.3 实际控制输入

(30)

这样使得输入约束能够满足。需要注意的是本文中直接用期望中间变量来计算实际控制输入，没有充分考虑整个设计过程带来的误差。

下面给出MPC算法的实施步骤。

步骤2选择合适的α，根据式(12)找到Te、Ye，从而计算出L。

步骤3对于采样时刻k≥0， 求解优化问题[式(29)]计算鲁棒反馈律F(k)， 进一步得到中间变量v(k)；根据式(26)更新H(k+1)。

步骤5令k=k+1，转到步骤3。

3 实例仿真

聚丙烯双环管工艺采用液相预聚合、液相本体均聚和/或气相共聚相结合的方式生产丙烯均聚和/或共聚牌号产品，其聚合单元如图2所示。聚合反应过程的原理可参考文献[19]。聚丙烯牌号切换是聚合装置从一种稳态切换到另一种稳态的过程，如果切换时间越长不合格的产品就越多，经济损失也就越大。在实际生产中，均相聚丙烯(均聚物)的牌号一般用熔融指数(MI)，而共相聚丙烯(共聚物)的牌号用MI和乙烯含量Et来描述。假设环管反应器为连续搅拌反应器，根据丙烯聚合反应机理，建立牌号切换过程的质量指数状态空间模型:

图2 双管聚丙烯工艺聚合单元原理图

(31)

(32)

式(32)中：常数τ为聚合物平均停留时间(τ=2 h);MIc和Etc分别为聚合物的累积熔融指数和累积乙烯含量；MIi和Eti分别为聚合物的瞬时熔融指数和瞬时乙烯含量；T、CH2、Cm和Cm2分别为反应器里的温度、氢气浓度、丙烯浓度和乙烯浓度；模型K1，K2，…，K6和r1，r2，…，r6一般都随着牌号变化。

由于累积熔融指数和累积乙烯含量通过离线化验或利用软测量技术获得，所以不可避免存在着误差，设测量误差范围是±10%，并将误差看作模型(31)的外部干扰，即w=[w1，w2]T=[ω1lgMIc，ω2Etc]T，-0.1≤ω1，ω2≤0.1。那么基于式(31)和式(32)，变化过程的动态方程为

(33)

设控制周期Ts=0.5 h，可以得到离散时间状态方程为

(34)

根据线性理论，容易验证模型[式(34)]可控且可观。在仿真中，选择均聚牌号A、B和无规共聚牌号C及切换顺序A→B→C，切换控制组态采用双层控制结构[19]，MPC控制器位于上层用来计算稳态目标作为下层回路控制器的设定值。底层控制一般采用比例积分微分(proportional-integral-derivative， PID)控制器直接控制生产过程回路。现不考虑A、B生产工艺中的乙烯输入量。牌号规格及切换约束如表1所示。

表1 三种牌号规格切换过程约束

假设生产装置在第15小时进行切换A→B，在第35小时再次进行切换B→C，控制结果如图3～图5所示，图3为牌号切换过程中累计质量变化曲线，图4是瞬时质量变化曲线，图5为控制输入曲线。表2表示在鲁棒MPC控制下牌号切换过程的过渡时间。表3给出了各个控制量的偏差平方和，此性能指标有关于底层PID器的平稳运行。如果切换目标牌号的合格检验标准是聚丙烯物性规格指标5%，那么仿真图表明尽管存在不确定测量误差的影响， 但在均聚牌号A、B和无规共聚牌号C的两次切换过程中，共聚物MI和乙烯含量Et都能从生产牌号的合格品区进入废料生产区， 并最终进入目标牌号的合格品区， 同时在整个运行过程中控制输入亦能满足相应的约束。

表3 控制量偏差平方和

图3 累计质量曲线

图4 瞬时质量曲线

图5 切换过程控制曲线

4 结论

针对具有输入约束和干扰的Hammerstein模型，提出一种两步法预测控制策略。第一步对无约束受干扰的线性模型采用鲁棒输出反馈预测控制方法来计算中间变量，首先设计离线观测器增益，再引入二次有界技术处理外部有界干扰，并设计估计误差界的在线更新公式。第二步通过求解非线性代数方程和解饱和的方法得到能保证约束满足的控制输入。本文中提出的控制策略经过实验验证能够保证优化问题的递推可行性和闭环系统的鲁棒稳定性。