数学教材研究性备课，数学思维多样性提升——“八省(市)联考”数学试题的创作源泉与教学策略

浙江 余继光

任何一道数学命题都有创作背景、文化内涵和信息来源，高考数学命题原则上来源于创作者头脑中积累的某一数学思维构思——改编或创造.按照规定，高考数学命题专家手中只有高中数学教材，然而现在的高考数学命题可以来自多个途径的改编或创作，由特殊到一般地创作；由某一数学模型的“母鸡下蛋”式创作；高等数学初等化创作等.

1.来自教材“由特殊到一般”的创作

1.1问题及解：

(八省联考模拟试卷第1题)已知M，N均为R的子集，且RM⊆N，则M∪RN=

( )

A.∅ B.M

C.N D.R

解析：(特殊化处理)设集合N={1,2,3,4,5}，RM={1，2，3}，

则M=R-{1，2，3}，RN=R-{1,2,3,4,5}，RN⊆M，所以M∪RN=M.

(画Venn图)

第一道集合题就不是送分题，集合由一直以来命题的“简单的算”到今日的“深入的思考”，举例构造的思考，画图构造的思考.

1.2设计来源:

(人教A必修1P12第10题)已知集合A={x|3≤x<7}，B={x|2

命题手法：A，B均是R的子集，将具体集合转化为一般情形，设计一个特殊类型而成题.

1.3教学策略：

教材中数学经典例题与习题均要进行研究性学习，由特殊到一般的研究，或变式引申创作，丰富学生的数学知识，提升数学思维的层次与水平，如挖掘人教A必修1P82第6题“比较log67与log76大小”形成的问题串：

变式1:比较大小：logn(n+1)与log(n+1)n，n为正整数.

变式2:比较大小：loga(a+1)与log(a+1)a，a>0，a≠1.

问题1：当0

问题2：当0

变式3：比较aa+1与(a+1)a(a>0，a≠1)的大小.

问题1：如何把指数式转化为对数式？

问题2：当a>1时，如何比较两个指数式的大小？

设计意图：指数式的大小比较、对数式的大小比较是数式比较的难点，其数学思维层次高、综合性强，正在成为高考数学命题中的一道风景线.

2.来自教材“相同二阶线性递推模型”的创作

2.1问题及解：

(八省联考模拟试卷第17题)已知各项都为正数的数列{an}满足an+2=2an+1+3an.

(Ⅰ)证明：数列{an+an+1}为等比数列；

解析：(Ⅰ)由an+2=2an+1+3an，得an+2+an+1=3(an+1+an)，

所以数列{an+1+an}是以a1+a2为首项，3为公比的等比数列.

(Ⅱ)因为a1+a2=2，且an+2+an+1=3(an+1+an)，

所以an+1+an=3n-1(a1+a2)=2·3n-1，

从而an=2·3n-2-an-1=2·3n-2-(2·3n-3-an-2)=4·3n-3+an-2(n≥3).

2.2设计来源：

(人教A必修5P69第6题)已知数列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2(n≥3)，对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式.

对于二阶递推式求通项问题，可采用方法类比，用两个待定系数将求二阶线性递推数列通项公式的问题，转化为求一阶线性递推数列通项公式的问题来处理.

命题手法：在对课本习题的变式后，让学生寻找途径探求数列{an}的通项公式.

2.3教学策略：

由数列递推关系探求数列通项公式是数列学习中的重要内容，主要涉及递推关系结构识别，相关方法运用，总结规律模型，比如，对于一般数列{an}中，a1=a，a2=b，an+2=pan+1+qan(n∈N*)，根据特征方程x2-px-q=0(*)得到下列规律：

3.来自高考数学题相同情境的创作

3.1问题及解：

(八省联考模拟试卷第7题)已知抛物线y2=2px上三点A(2，2)，B，C，直线AB，AC是圆(x-2)2+y2=1的两条切线，则直线BC的方程为

( )

A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0

解析：因为点A(2，2)在抛物线y2=2px上，所以p=1，则y2=2x.

则点B在直线3x+6y+4=0上.

同理点C也在直线3x+6y+4=0上，

故直线BC的方程为3x+6y+4=0，故选B.

3.2设计来源：

(2011·浙江卷·21)已知抛物线C1:x2=y，圆C2:x2+(y-4)2=1的圆心为点M.

(Ⅰ)求点M到抛物线C1的准线的距离；

(Ⅱ)已知点P是抛物线C1上一点(异于坐标原点)，过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂足于AB，求直线l的方程.

同类题：过抛物线C1：y=x2上一点P(-2，4)作圆C2：x2+(y-1)2=1的两条切线分别交C1于点A、B，求直线AB的方程.

命题手法：“借鸡下蛋”式创作.

3.3教学策略：

4.来自高等数学的初等化创作

4.1问题及解：

(Ⅰ)求四棱锥的总曲率；

(Ⅱ)若多面体满足：顶点数—棱数+面数=2，证明：这类多面体的总曲率是常数.

解析：(Ⅰ)由定义可得多面体总曲率=2π×顶点数-各面内角和，而四棱锥有5个顶点，5个面分别为4个三角形和1个四边形，所以四棱锥总曲率=2π×5—(π×4+2π×1)=4π.

(Ⅱ)设该多面体有m个顶点，k个面，每个面依次有ai条棱(i=1,2,3,…,k)，

又每个面内角和为(ai-2)π，

4.2设计来源：

(北京大学数学系学生作业)设P是一个凸多面体，A是P的一个顶点，记θ(A)为所有以A为顶点的面在A点的角的总和(以弧度计算)，定义多面体在A点“离散曲率”K(A)=2π-θ(A)，显然，曲率越大，θ(A)越小，顶点A越尖.

(Ⅰ)五种正多面体在顶点处的曲率各是多少？

(Ⅱ)五种正多面体在所有顶点处的曲率之和各是多少？

(Ⅲ)设P是一个凸多面体，证明它在所有顶点处的曲率之和为4π.

命题手法：高等数学初等化创作.

4.3教学策略：

用数学眼光观察世界是培养数学应用意识与数学建模能力的重要途径，以大兴国际机场这一现实情境为例，可以从多个角度去挖掘其数学模型:

( )

直线AB的斜率为1，

解读：大兴机场的“六芒星”的六个支叶是一对对共形几何图形——双曲线，此处只能根据初等数学现状进行简化，从应试角度而言，只需把字母换成数字进行运算很容易就能得到答案.因为对于一般成立的结论，在特殊情形下也一定成立.

比如，令a=4，b=3，则c=5，

5.来自高校自主招生题的二次创作

5.1问题及解：

(Ⅰ)求C的离心率；

(Ⅱ)若B在第一象限，证明:∠BFA=2∠BAF.

解得曲线C的离心率e=2(舍负).

此时，∠BFA，2∠BAF均为锐角，所以∠BFA=2∠BAF；

当x0=c时，BF=AF，此时∠BFA=90°=2∠BAF；

当x0>c时，同理可证，tan∠BFA=tan2∠BAF，

此时，∠BFA，2∠BAF均为钝角，综上所述∠BFA=2∠BAF.

解得双曲线C的离心率e=2.

故有∠BFA=2∠BAF.

5.2设计来源：

(Ⅰ)求C的离心率；

(Ⅱ)设A为C的左顶点，Q为第一象限内C上任意一点，问是否存在常数λ(λ>0)，使得∠QF2A=λ∠QAF2恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.

命题手法：“借鸡下蛋”式创作.

5.3教学策略：

圆锥曲线中有一类问题，定值定点问题，展示圆锥曲线的几何性质.事实上，“三几”(平面几何、立体几何、解析几何)是高考数学的主要检测内容，将“三几”与三角融合的综合题也层出不穷，如:

( )