重视数学本质淡化命题形式 选拔德才兼备人才——2021年新高考全国I卷数学试题评价

华南师范大学数学科学学院(510631)苏洪雨 冯伟贞

1 试题的命题思想分析

高考具有两大功能:第一,为国家、为高校选拔合格人才;第二,引导中学教学,助力优秀人才的培养.高考数学就是要发挥数学学科特点,以测试数学综合能力、发展数学核心素养为目标,通过创新试卷结构与试题形式,更好地实现高考立德树人、服务选才、引导教学的核心功能[1].高考数学具有良好的区分效果,其选拔功能历来被重视和认可[2],这主要体现在数学学科的独特性,能够较好地考查学生的理性思维;除此之外,选择优秀的数学人才是国家科技发展的根本,而优秀的人才不仅要具有很好的数学思维品质,还要具备良好的道德品质.

2021年高考数学试题(新高考I 卷)根据《普通高中数学课程标准(2017年版)》(简称《课标2017》)、《中国高考评价体系》和《新高考过渡时期数学学科考试范围说明》(教基厅函[2019]44 号)进行命制.试题以立德树人、服务选才、引导教学为基本思想,考查学生为进入高等教育必备的数学知识、核心价值、关键能力和核心素养(“四层”).试题体现了“基础性、综合性、应用性、创新性”(“四翼”),即注重考查学生对数学基本概念、原理、技能和思维方法掌握情况,将数学知识、能力和素养整合的能力,应用数学解决实际问题的能力及探究、创新能力.

根据高校人才选拔要求和国家课程标准,高考的目标是“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”的“四层”.2021年高考数学试题聚焦“四层”,考查内容既界限清晰明确且相互连接贯通,始终突显核心价值在育人中的重要地位;既符合高中数学课程的基本要求,又具有前瞻意识,充分考虑了高校对学生数学学科核心素养要求.

高考评价体系的“四翼”考查要求立足于素质教育应达成的内容表现与形式表现,是在高考中对素质教育进行评价的基本维度.2021年高考数学试题基于“四翼”要求,也就是“基础性、综合性、应用性、创新性”,体现了素质教育在高考中的评价维度,既落实了高考“服务选才”的功能,又发挥了高考“引导教学”功能.

2 试题的设计分析

2021年新高考数学全国I 卷在设计方面基本保持了适应性考试命题的方式,只是去掉了开放性问题;与2020年及以前的高考试题相比较,在试题的题型和结构方面都发生了一些改变,充分体现了新高考的命题思想和新课程的理念.在题型方面,出现了一题两空的填空题,多选题的评分规则发生改变,而主观题考查的知识领域顺序不确定.在考查的主干知识点分布方面,也适当进行了调整,知识点的考查难度和关键能力的考查也有所变化.

在2020年新高考全国I 卷中,六道解答题的顺序依次是三角、数列、概率统计、立体几何、解析几何、函数与导数;在2021年适应性考试中,则是数列、三角、概率统计、立体几何、解析几何、函数与导数,即三角与数列两道大题顺序调换.2021 新高考I 卷六道大题的顺序发生了较大的调整,顺序依次是数列、概率统计、三角、立体几何、解析几何、函数与导数.即数列、概率统计、三角这三道解答题的顺序有所变动,而立体几何、解析几何、函数与导数顺序相对固定.这说明新高考解答题顺序没有一个固定的顺次,相对灵活,旨在提醒考生不必过于关注解答题次序,而应该关注知识点和数学能力本身.

2021年高考数学试题考查了高中数学的主干知识,函数与导数、数列、三角、立体几何、解析几何和概率统计等6 大知识板块的分值为135 分,占比90.0%,体现了主干内容重点考的试卷设计思路.表1 和图1 为2021年高考数学试卷考查内容与分值分布.

表1 2021年高考数学试卷考查内容与分值分布

从表1 可以看出,函数与导数、几何、三角、概率统计是此次考查的主干内容,分值在120 分左右.尤其是几何方面,解析几何的分值是27 分,立体几何是22 分,如果把解三角形也归入几何领域,那么分值达到了61 分,占比接近全卷的三分之一.与2020年高考试题相比较,概率统计的份量也有所增加,在单项选择题、多项选择题和解答题三种类型的题目中各有一题,考查的内容包括独立事件的判断和计算公式、用样本估计总体(样本平均数、中位数、标准差、极差)、离散型随机变量的分布列和数学期望,倾向于概率,统计内容减少.试题降低了文字的阅读量,数学情境比较清晰.

3 试题特色

2021年新高考全国I 卷数学试题是广东省首次使用文理不分科的数学试题,虽然和以往文理分卷考试有所不同,但是依然继承了以往全国卷试题的优点,并进行了改革尝试,增加了多选题、一题两空的题型.试题兼顾文理考生数学学习的特点,注重基础性的考查和问题解决的通性通法,强调数学本质,降低运算技巧难度,适度考查数学应用和创新,提升题目的区分度.

3.1 兼顾文理不分科,注重基础和区分

试题在兼顾文理科不同的情况下,适度降低技巧难度;题目重视考查学生对基础知识、基本技能和基本的数学思想掌握情况;同时,适当设计问题的梯度,提高试题的区分度,对学生的数学学科核心素养合理评价.

例如,单选题集合、复数、函数性质等基本问题属于基础性问题,但是第8 题却是考查独立事件的定义,难度不大,但是考查数学本质;多选题的第1 题考查基本的统计量,但是后3 题的难度逐步增加,特别考查了直观想象的核心素养,同时隐含了参数方程、三角函数、平面几何等知识.再例如,填空题第1 题不是简单的考查偶函数,还包括了幂指数的运算,考点较多;而第2 和3 个填空题较为综合,较好地考查了抛物线相关概念和绝对值函数的最值;第16 题包括两个问题,第一个比较直接,学生观察、操作或实验就可以得到结果,第二问则是考查学生的数学抽象能力,探讨数学模型,要求学生能够归纳、推理和运算,综合考查了学生的核心素养.在解答题中,第一问相对比较基础,但是考查能力,例如数列通项的递推关系、离散型分布列、正余弦定理、立体几何推理、圆锥曲线定义、导数与函数单调性等;第二问则具有一定的数学深度和高度,考查学生思维的深刻性、严谨性、广阔性等,学生要理解相关的数学思想,例如数列中的函数思想、概率思想、方程思想、数形结合、化归思想等,同时,能够运用递推、类比、转化、构造等方法解决问题.这样的命题设计,不仅让学生能够较好理解问题,又要进行多角度地探究,严谨细致地推导、准确地运算才能解决问题.这样的命题,既能考查文理不同倾向的学生的数学基础情况,又能对他们进行合理区分,有利于人才的选拔.

3.2 基于新题型命题,强化梯度的设计

在2021年新高考数学I 卷中,比较合理的设计了多选题、一题多空题的新题型.基于这些新题型,在考查数学知识和关键能力的方面,强化了试题的梯度,从而能够使不同水平的学生获得不同的分数,提高了学生的得分率,有助于学生更好地发挥数学潜能.

例如,多选题的第11 题,题目的已知清晰简单,圆上有一点P,另外有两个特殊的点A,B分别在x轴和y轴,选项A 和B 是属于同一层次的问题,也就是圆上的点到直线AB的距离问题,考点是圆与直线的位置关系;而选项C 和D 又是更高层次的问题,考查角、直线和圆的位置关系、勾股定理等,是考查动态几何的问题.这两个梯度对于不同的考生有着不同的要求,比较全面的考查了学生的数学素养.

再例如第16 题,共有两个填空,第一个是基于学生的观察、实验、操作就可以得到答案,是属于基础性的考查;第二个是基于第一个的结果,进行归纳、探究规律,通过数学抽象,得到一般的数列模型,通过数学运算才能获得最后的结果.问题的难度逐步上升,考查的学生核心素养也不同,后者更加注重数学思维的深度与广度,强调数学抽象、建模和运算.

不仅仅是新题型的问题有着梯度的划分,在解答题中,第一问和第二问也有着比较清晰的梯度.一般的,第一问都是考查最基本的数学概念、原理或方法,第二问数学思维层次加深,综合考查学生的数学核心素养.

3.3 淡化命题的形式,注重数学的本质

从2021年高考数学全国I 卷整体分析,命题的形式比较平实,都是学生日常练习过的类型,即使是新增的多选题和一题两空题;而解答题也没有超出学生的预期,数列、概率统计、三角函数、立体几何等依然是解答题的主要内容,解析几何和导数的应用问题作为最后的压轴.

尽管试题形式比较常规,但是试题重点考查了数学的本质,通过这些问题的考查,也恰恰体现了学生数学学习的薄弱环节,也揭示了数学教学的不足之处.

新高考I 卷试题除了增加多选和一题两空的新题型之外,其他题目在形式上与往年的高考题没有太大区别,都是学生比较熟悉的“类型”,这给人一种错觉,试题与往年的高考题没有太大改变,甚至不如2020年山东省使用的新高考试题新颖(除了多选题,还有开放性问题);然而,在考查概念、原理和方法方面,2021年新高考试题确实考查了数学本质问题,如同许多老师说的,“考到了学生的‘痛点’”!什么是学生的“痛点”?当前,为了应对高考,许多学校把高中三年的课程压缩为两年完成,这就形成了“概念照本宣科,原理记忆就过,方法只为结果”.在高三复习阶段,暴露的很多问题都是概念理解不深刻,数学公式、定理不求甚解,解题方法倾向套路.针对这样的现象,试题从基本概念、原理出发,考查学生是否掌握了其思想与方法.

例如第7 题,若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则( )

A.eb

此题设问简单,函数模型也是学生熟悉的常用指数函数,考点是切线问题.这道题目看似比较常规,但是却隐含着多个概念问题,例如指数函数的图像、性质、切线、导数、斜率等,解答此题,可以从函数图像直观获得信息,并且要理解指数函数图像的性质特征,理解切线的含义及a,b,ex对应的图像;另一种解法就是写出切线的方程,讨论a,b的取值,要用到导数的概念,甚至极限的思想,有可能“小题大做”!此题考查的数学本质就是指数函数性质、图像和切线概念(水平渐近线).

多选题中的12 题,考查的是向量数量积的坐标表示及两角和差公式,也是基本的数学公式;填空题的14 和15 题,一个是抛物线的概念,另一个是分段函数的概念与最值问题.

解答题中的数列、概率、解三角形等,都是以常见的题型命题,考查的却是数学的本质.例如第17 题数列问题.此题的题干简洁清晰,问题也不难理解,尤其是第(2)问,求前20项的和,看似比较基础,题目考查的却是数列的基本概念和递推关系,给出的an+1与an递推关系是奇偶项的交叉递推关系,这和往常试题的奇偶项分别讨论不同,也为学生制造了解题的障碍,而试题本质考查等差数列的概念,体现了数列是一类特殊的函数.

3.4 动点动线重直观,归纳猜想强探究

在2021年新高考I 卷的试题中,“变化”的数学随处可见,很好的体现了高中“变量”数学的特征;另外,在考查学生逻辑推理能力的同时,注重考查学生观察、实验、列举、归纳和猜想的能力,其实,归纳猜想也是学生应该具备的数学核心素养[3].

从动态研究数学是此次高考数学的显著特点,例如第3题,已知圆锥的底面半径为,其侧面展开图为一个半圆,求该圆锥的母线长.这个题目要求学生头脑有圆锥侧面展开的直观表象,这样就可以发现圆锥母线和底面圆周的关系,问题也就容易解决,当然画个草图更好;第7 题,点(a,b)是动态的,切线也是动态的,但是一旦位置确定了,a和b的值也就得到了;第11 题,是直线与圆的位置关系,以及∠PBA的大小变化,也是动直线的问题;第12 题将二维空间转换到三维空间,根据两个参数,考虑P点的运动轨迹,既有考虑二维平面上点的动态过程,也要讨论三维空间的直线的变化;解答题中的立体几何问题,也就是第20 题,同样也是动态的点和线,最后拓展到二面角的问题;第21 题,设点T在直线上,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率的关系,通过动点给出两条割线的关系,探讨最后的结论.

除了几何的变化之外,数量的变化比较常见,例如,三角函数的诱导公式、正余弦定理、韦达定理的应用、量的代换和构造等.正是由于形和数的“变”,提高了试题的质量,改变了死记硬背的套用公式或“模式”.

试题的另一个特点是注重考查学生归纳猜想和数学探究能力.在第16 题,通过折纸的特殊情况,一次、二次、四次,让学生发现其中蕴含的数字规律,归纳猜想数列通项:第n次对折后的图形面积为猜想,继而就可以求得结果;这个归纳猜想的数学探究过程,考查了学生对特殊与一般的数学思想的理解,也考查了数学抽象的素养.在第21 题的第(2)问,也可以先从特殊入手,猜测出结论,然后再进行严格的论证.

这样的命题方式使得试题变得比较灵活,既注重了数学的理性思维,强调逻辑推理,同时也注重了类比、归纳和猜想,培养学生的数学创新意识.

3.5 情境设置较合理,数学阅读恰适当

高考评价体系中的“四层”考查内容和“四翼”考查要求,是通过情境与情境活动两类载体来实现的.在高考数学试题中,主要包括学习探索情境和生活实践情境,合适的情境可以有效地考查学生的数学基础、应用和创新.相对于2020年的高考数学试题,2021年的试题中的情境设计比较合理,体现了数学学习探索情境和生活实践情境.数学学科有着与其他学科显著的不同,那就是高度的抽象性,过于复杂的情境可能干扰考查学生的数学理解,不一定能够评测学生的数学学科核心素养.除了第16 题和第18 题两个具有一定特殊生活实践情境的试题,其他都是学生熟悉的学习探索情境,这有助于学生正确理解问题.

试题在数学阅读方面也适当降低了复杂性,学生能够比较快速地读懂问题,并且转化为数学语言,表征为数学符号.阅读难度的降低也有利于学生在短时间内应用合适的数学知识、技能解决问题,展现真实的数学能力.

3.6 落实新高考政策,加强教学的导向

新高考是新课程改革以来的检验方式,落实新高考政策,有助于推进新课标和新教材的实施.新高考结合新课标和高考评价体系进行命题,对未来的数学教学起到引导作用.

《课标2017》在命题建议中指出:考查内容应围绕数学内容主线,聚焦学生对重要数学概念、定理、方法、思想的理解和应用,强调基础性、综合性;注重数学本质、通性通法,淡化解题技巧;融入数学文化.应有一定数量的应用问题,重点考查学生的思维过程、实践能力和创新意识,适度增加试题的思维量;关注内容与难度的分布、数学学科核心素养的比重与水平的分布;努力提高试卷的信度、效度和公平性[4].

从前5 点分析可以发现新高考试题落实了相关的政策,严格按照教育部提出的“要优化情境设计,增强试题开放性、灵活性,充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用,引导减少死记硬背和‘机械刷题’现象”.这对于未来的数学教学有着良好的引导作用.

4 学生答卷情况分析

2021年新高考全国I 卷的平均分和2019年全国I 卷文科卷的平均分相似,考虑到文理不分科,2021年广东省考生得分偏低.从题型上分析,选择题得分比往年的都要低,这是增加了多选题之后,学生的得分率创下新低.填空题的得分也不高,比2020年的文理科都要低,不过比较三年的变化,填空题的得分没有较大变化.在解答题方面,得分最高的是第18 题概率问题,比往年的都要高;数列和三角的得分都比往年低,尤其是三角,明显低于2019年和2020年的得分;立体几何得分和以往类似,得分率也不高;解析几何和导数的应用属于压轴问题,相对往年偏低.

选择题的前两题比较简单,但是从第3 题开始,题目增加了难度,需要从动态的角度研究问题,综合性也有所提高,很少对单一知识点的考查.表面看,题目和2020年的类似,但是综合程度有所增加,类似于2021 的适应性考试题,只不过运算、推理难度有所降低;第7 题和第8 题都是考查学生对数学概念的理解,是对数学本质的考查;多选题第9 题相对比较简单,但是后三题的难度逐步增大,综合程度较高.

填空题难度稍大,其中0 分卷达到了11%,5 分卷17%左右,7 分的也在17%左右,10 分的在14%左右;15-18 分的学生在13%左右;满分的学生仅仅0.7%.

解答题一共6 个,都是学生熟悉的数列、三角、概率等问题,并没有出现看似“新颖”的问题,但是除了概率问题之外,其他题目的得分率都不算高.第17 题考查数列通项和求和,看似很普通,但是这个题目暗藏“机关”,奇偶项互为递推关系,这就把很多考生绕晕了,零分的考生达到近20%,4-6 分的学生达到25%,能够完成第(1)问的学生不到一半,7 分以上也只有22%,满分的仅有2.5%左右.此次的概率问题是比较简单的问题,但是得分也不是十分理想.有20%的考生得了0 分,10%的学生只得到1 分,得到11 分以上的占到了40%,相对比较好.第19 题是解三角形的问题,近30%的学生得0 分,仅得到3 分达到了32%,得到10 分以上的学生不到2%.此题的难度超过了很多人的预期,正如数列问题一样,由于学生对基本概念理解不够深刻,对于相关的数学运算素养不过关,对于这类数学思维层次并不高的问题,不能顺利解答.第20 题也是常规的立体几何问题,此题得4 分的学生最多,占到了20%左右,其次得0 分得也有18%,其次1 分和2 分也有较多学生,而得到6-11 分的学生相对比较平均,都在3%-4%左右,得到满分的达到了7%.此题的区分较好.第21 题考查了一个关于双曲线的问题,学生的得分集中在3 分,达到了38%,其次有33%的学生得到了0 分,得到10 分以上的仅有0.2%.同样,第22 题也是难度较大的导数应用问题.此题的零分率达到了43%,其次,得分最多的是4分,达到了35%;得到10 分以上的仅有0.07%.

5 学生答卷典型错误及分析

从数据分析可以发现,新高考数学I 卷难度接近2019年全国I 卷的文科卷难度,但是学生在数列、三角、解析几何、导数的应用等问题表现不佳.下面结合学生的典型错误进行分析.

5.1 填空题典型错误及分析

第13 题典型错误:−1,±1,1 或−1.错因分析:数学运算能力较差,或者粗心大意.

第14 题典型错误:.错因分析:审题不仔细,看错题目,答非所问;对抛物线准线定义不清楚,或者审题不仔细,画图出现错误.

第15 题典型错误:.错因分析:求不出x=1时函数有最小值,错误认为时,函数有最小值.

第16 题典型错误:第一空答题情况较好,从考生答题情况的抽样结果看,这一空的得分率为0.7.第二空难度较大,从考生答题情况的抽样结果看,有大约50%的考生没有作答这一问,在作答的考生当中,有如下典型错误:写出答案是一个常数,如错因分析:没有读懂题意,不能理解结果和折叠次数n有关;求出Sn的表达式,但没有求和,审题不仔细.计算出错,常数项不是720;2 的幂指数不正确;书写不规范,将幂运算写成了乘积运算形式;将n的表达式错误写出k的表达式,不熟悉数列前n项和的定义.

5.2 第17 题(数列问题)典型错误及分析

第一问典型错误:(1)递推两步不完整或者完全没有递推,由合情推理(归纳推理)得到a2n−a2n-2=3,d=3.或者得到(2)当n为奇数时,an=3n−2;当n为偶数时,an=3n−1;(3){bn}=3n−1或bn是以b1=2 为首项,公差为3 的等差数列;(4)把题目中的奇数项加1,偶数项加2 颠倒过来.

错因分析:数学符号语言表达的能力欠缺;通项和项数n之间的对应关系搞不清楚,本质上是对于数列的函数特征理解不透彻,搞不清楚自变量(项数n)与函数值(对应的通项f(n))之间的对应关系.

第二问典型错误:(1)采用全部罗列出来的方法,没有罗列完整,不全;计算前20 项时出现计算错误;(2)a1+a2=3,a3+a4=9,……不完全归纳得到an+an+1=6n−3;(3)分类奇数项和145,偶数和155,计算145+155 都易出现计算错误;(4)n为奇,an=3n−1,n为偶,an=3n−2;(5)n为奇,,n为偶,.

错因分析:(1)不完全归纳得出结论;(2)下标与项数对应关系错误;(3)跳步太严重推导过程不完整;(4)书写规范性问题;(5)计算错误;(6)公式记忆错误.

5.3 第18 题(概率问题)典型错误及分析

第I 类错误(基本概念理解错误):(1)P(X=0)=错因分析:(1)把两个不同的“两点分布”合在一起,误认为是二项分布,同时又错误运用二项分布概率计算公式求相关概率;(2)错误运用二项分布期望计算公式求相关期望.

第II 类错误(基本符号使用错误或者不规范):(1)符号理解错误或者有偏差,如将概率中的期望E(X)写成统计中的样本均值,期望比较大小直接简写为“A 类

第III 类错误(不认真审题,没明确题目要求):没进行期望大小的比较就下结论.错因分析:不认真审题,没明确题目要求,逻辑推理缺乏依据,不够严谨.

第IV 类错误(计算错误或不懂得利用性质检验):(1)随机变量可能取值、随机变量对应概率或者期望计算错误;(2)不懂得利用分布列性质中“概率和为1”进行检验或者计算.错因分析:(1)题目理解不到位,基本计算方法掌握还不扎实或者计算时不够专注;(2)分布列性质不够熟悉,缺乏应用相关性质的意识.

第V 类错误(省略关键运算步骤):(1)第(I)问直接写P(X=0)=0.2,没有必要运算过程,没有体现互斥事件概率的计算;(2)省略算期望的必要运算过程.错因分析:(1)思维跳跃,数学表达不够严谨细致;(2)思维跳跃,数学表达不够严谨细致.

5.4 第19 题(三角函数问题)典型错误及分析

典型错误:(1)不能正确写出(或省略不写)正弦定理的表达式;(2)只写定理公式;(3)认为a=sinA;(4)计算错误;(5)证明题逻辑错误;(6)∠ABC写成∠B,不对舍根的原因做出判断说明(未写),构造方程后跳不严重,……

错因分析:(1)这与知识的熟练程度、平时训练的书写习惯、教师的教学示范都有关系;(2)没有掌握解答本题的相关方法,只能尽可能写出与本题相关的定理公式,碰运气看能否写中采分点;(3)平时训练时多数是根据齐次等式两边同时进行边角互化,由此产生误解;(4)第二问中根据余弦定理构造出三元方程以后,需进行数字及多符号的混合运算,过程比较复杂,没有扎实的运算能力,导致代换化简计算出错;(5)把证明的结论当做已知条件,混淆了分析法和综合法;(6)书写表达规范性问题,不能辨析关键步骤,解答过程有瑕疵.

5.5 第20 题(立体几何)问题典型错误及分析

典型错误:(1)由平面ABD⊥平面BCD,直接证得OA⊥OC,从而证出OA⊥平面BCD;(2)以O为原点,以OA,OB,OC为轴建系求解;(3)将求错,导致法向量求错;(4)体积求错;(5)几何法把二面角找错,

错误分析:(1)错误运用面面垂直的性质;(2)OA,OB,OC两两不互相垂直,建系出错;(3)点的坐标出错;(4)公式不熟;(5)对二面角的定义不熟.

5.6 第21 题(解析几何问题)典型错误及分析

5.7 第21 题(导数的应用问题)典型错误及分析

第一问典型错误:(1)求导法则错误;(2)求导过程运算错误;(3)函数定义域错误;(4)单调性与函数导数关系混乱至函数单调性错误;

6 教学建议

根据2021年新高考数学I 卷的命题,我们大致可以预测未来高考命题的方向,也就是注重数学基础考查的同时考查学生理解数学的水平,考查学生的数学学科核心素养和创新意识;作为过渡期的试题命题,承担着承前启后的重任,而高考改革创新的步伐会越来越坚定,这就需要我们在数学教学中进行适当调整,从而适应新高考.从广东省考生的数学答题分析,我们也发现当前数学教学存在的问题,例如,学生对概念理解不清晰,代数运算能力不高,缺乏思维的灵活性,等等.因此,根据高考试题和学生答卷情况,我们提出下面六点教学建议.

6.1 教学回归数学本质,注重数学学习过程

现象是事物的外部联系,是本质的表层呈现,具有丰富性、多样性和表面性的特征,由感觉器官即能感知:本质是事物的内部联系,是现象的深层结构,能决定事物的性质和发展的趋向,具有单一性、稳定性和深刻性的特征,需由思维才能把握[5].从此次高考试题可以发现,考查数学的基本概念、原理、方法等将是一个重要的方向,命题者尽量避免考查学生表面的数学形式,更加重视数学本质的考查;另外,从学生答卷可以发现,很多学生的错误就是概念、定理的理解偏差,只重视问题的表面,不理解数学的本质.所谓数学本质,张奠宙先生认为主要是:数学知识的内在联系,数学规律的形成过程,数学思想方法的提炼,数学理性精神的体验.因此,数学教学体现数学本质就是要揭示知识的内在联系,让学生理解数学概念、命题的形成过程,掌握相关的数学思想方法,经历“做数学”再创造的过程.例如函数的概念,其本质是数集之间的对应关系,是一类特殊的“映射”,那么学生学习函数必须理解“对应”的概念,与此紧密相连的还有集合、定义域、值域等,而其重要的思想就是“对应思想”,“函数思想”是建立在此基础上的,通过解决相关的问题,让学生建立函数概念,理解对应思想.通过函数概念教学“再创造”,帮助学生理解了函数的本质特征,掌握了函数思想和方法,这必然会提升他们的数学学科核心素养.

回归数学本质的教学必须注重学生的数学学习过程,提高学生的数学思维水平.

首先,在数学概念、定理、公式、命题等学习过程中,注重形象思维、逻辑思维、分析思维等多种思维方式的培养,提高学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数据分析等关键能力.例如集合的概念和性质学习中,通过直观,让学生感知集合的概念和运算过程,抽象出集合的定义、运算法则,建立集合运算的推理原则,形成关于集合的知识体系和认知结构,并能够和其他数学领域的知识(不等式、方程、函数、几何等)建立联系.

其次,在问题情境中,发现其中蕴含的数学关系,用数学的眼光找到合适的研究对象,用恰当的数学语言予以表达,并运用数学思维进行分析,提出数学问题;能够借助图形探索解决问题的思路;能够在得到的数学结论基础上形成新命题.问题情境是多方面的,可以是数学情境,例如基本的数学习题;也可以是现实情境或科学情境,例如以生活背景或者科学情境设计的问题.无论是哪种类型的问题情境,要注重习题的层次性、由浅入深,帮助学生在掌握知识技能的同时,进一步感悟数学的基本思想,积累数学思维的经验;思考题要关注情境和问题的创设,有利于学生理解数学知识的本质,提升数学学科核心素养.

最后,在数学建模和探究中,经历发现数学关联、提出数学问题、构建数学模型、完善数学模型、得到数学结论、说明结论意义的全过程.发现、提出问题和数学关联是数学抽象的过程,是形成理性思维的重要基础,反映了数学的本质特征,贯穿在数学产生、发展、应用的过程中.运用数学的逻辑推理得到数学结论,构建数学体现,是数学思维严谨性的基本保证,是学生在数学活动中进行交流的基本思维品质.直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段,是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础.通过运算促进数学思维发展,形成规范化思考问题的品质,养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.数据分析则是获取有价值信息并进行定量分析的意识和能力;适应数字化学习的需要,增强基于数据表达现实问题的意识,形成通过数据认识事物的思维品质;积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验.

6.2 加强数学四基训练,培养学生关键能力

当前,数学教学还是倾向于表面的方法传授,以训练学生的数学基础知识和基本技能为主,但是在培养学生基本的数学思想和基本的数学活动经验方面存在不足,在落实“四基”方面都存在着一些问题,与“四基”关联的知识部分的教学、提高技能的教学设计、培养数学思维能力的意识等方面,各自存在着问题[6].四基教学的不足导致学生仅仅记住了相关的数学名词或公式,但是没有掌握数学思维方法,形成数学关键能力.

基本的数学思想对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识,是现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中,经过思维活动而产生的结果.数学思想是数学教学的核心和精髓,数学教学中应该努力反映和体现数学思想,让学生体会和领悟数学思想,提髙数学素养.数学思想也是数学本质的体现,在数学教学中,在学生熟练掌握基础知识和基本技能的同时,要让学生领悟数学思想,提炼数学思想,并运用数学思想学习新的数学知识和方法,训练数学思维,提高数学能力.

基本活动经验指学生亲自或间接经历了活动过程而获得的经验.基本活动经验是个体在经历了具体的学科活动之后留下的具有个体特色的内容,既可以是感觉知觉的,也可以是经过反省之后形成的经验[7].数学教学是数学活动的教学,教师的教学应该体现数学活动的过程,并鼓励学生参与课堂,体验数学,经历数学发现、发生的过程,渗透基本数学思想,训练基本技能,掌握基础知识.在教学中,避免仅仅开展基础知识、基本技能训练,在学习数学概念、进行问题解决中,例如解决数列或者函数问题,学生必然经历数学活动过程,通过研究特殊的数列或函数,探析函数的共性内涵或者数列的通项,从而形成建模、化归、数形结合等思想方法,提高数学建模、抽象、直观想象能力.

6.3 关注高考数学改革,把握复习备考方向

在高考改革的新时期,我们要时刻了解政策的实质,学习相关的文件,从而把握高考复习备考的方向.例如,在2021年2月,教育部发布的教学〔2021〕1 号文《教育部关于做好2021年普通高校招生工作的通知》中,明确指明了深化考试内容改革.2021年高考命题要坚持立德树人,加强对学生德智体美劳全面发展的考查和引导.要优化情境设计,增强试题开放性、灵活性,充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用,引导减少死记硬背和“机械刷题”现象[8].

在高考数学复习中,我们主要依据的就是《课标2017》和《中国高考评价体系》,课程标准给出了考查的范围,并提出了基本的要求,虽然比以往的《考试大纲》复杂,但是在课程理念、教学建议、高考命题建议等方面都有明确的指导意见,尤其是高考命题方面,提出考查内容应围绕数学内容主线,聚焦学生对重要数学概念、定理、方法、思想的理解和应用,强调基础性、综合性;注重数学本质、通性通法,淡化解题技巧;融入数学文化.应有一定数量的应用问题,还应包括开放性问题和探究性问题,重点考查学生的思维过程、实践能力和创新意识,适度增加试题的思维量;关注内容与难度的分布、数学学科核心素养的比重与水平的分布;努力提高试卷的信度、效度和公平性.这对于高考复习备考有着一定的参考价值,也是未来高考的命题方向.而高考评价体系从具体的命题操作方面给出了思想与方法,这有助于我们了解未来高考试题的命题基础与策略.

6.4 文理不分科的数学,既重通法又有区分

文理不分科是新高考命题的方向,为数学教学提出了挑战,不同数学层次的学生面对同一份试题,如何合理应对,并开展有效的复习?

针对新高考试题的特点,既要重视试题的基础性、通性通法;又要注意到试题的梯度和有效区分.对于试题的基础性我们在前面已有叙述,那么什么是通性通法?章建跃先生认为,“通性”就是概念所反映的数学基本性质,“通法”就是概念所蕴含的数学思想和方法[9].王明山、邰日昶两位认为:师生熟知、核心可广泛应用、明确的知识结论称通性;在知识结构相对稳定的时期内,由通性自然得到的,能解决一类问题的普通方法称通法[10].在高三复习备考中,教师要整理高中数学中每个专题内容中的“通性通法”,帮助学生掌握数学基本性质,理解数学思想和方法,熟练应用常用的解题方法,为学生的专题复习指明方向;另外,避免学生通过刷题掌握“通性通法”,学生组织归纳能力有限,疲于奔命的刷题只会让学生脑海中的碎片堆积得更多更快.不得当的、太过强势的重复刷题,使学生形成思维定势.思维定势在应对熟悉问题情境时有效,但不利于变通.

在复习过程中,关注对数学知识脉络的完整性的考查,做好复习的节奏及问题梯度设置,提升学生的数学关键能力.学生在复习中,对于数学知识要有整体观念,注重数学的联系,建立系统的知识结构;遇到问题能够展开联想,从不同层次思考,能够深入浅出,稳扎稳打,从而能够快速思考,获得解决问题的方向.

6.5 合理适量选择问题,掌握策略防止套路

在复习备考中,选择合适的数学问题进行教学是至关重要的,同时学生所作的题目也要适量,过多过少都会影响复习的效果.在解题中,要掌握数学解题的策略,而不是解题的套路,套路容易导致思维的僵化,当面对新问题的时候,思维僵化的学生将“一筹莫展”.

选择合适的问题进行解题可以结合微专题整卷练习相结合的方式.对于整卷练习,建议以“四翼”为命题基本维度,调整日常的测验、考试命题维度.微专题的设计可以是:(1)知识板块专题(第一轮复习常用);(2)通性通法专题(重点突破);(3)关键能力提升的专题;(4)针对题型的专题;(5)针对学生学习痛点的专题:符号运算能力提升专题、概念理解专题、数学阅读专题等;(6)拔尖学生专题:数学建模问题专题、探索创新性问题专题.

在解题策略方面,学会审题,能够把文字、符号、图形转换,提升数学阅读能力.理解算法,选择有助提升符号运算能力的专题,在运算有效性上下功夫.欣赏通性通法的优点,促进通性通法的内化,而不是陷在解题技巧或仅仅套路化.在例题之后,练习题、测试题适量选择对学生而言是基于新模型或针对学生学习的薄弱的题目,教学上多使用最自然的问题解决办法(虽然不一定是最优的方法),提高分析问题能力.练习“小题小做”技巧,在提高解题速度上下功夫.另外,重视应用性和创新性.随着高考改革的稳步推进,对这两个维度的考查会逐步加强,会逐步落实到每套试题“四翼”考查维度,使应用性、创新性考查真正成为区分人才层次选拔的“特征量”.关于这两个维度的备考应对,有两点建议:以数学建模片段题的方向设计生活实践问题情境,不应停留在传统应用题;以胜任新知识学习、具备基本数学探究发现能力的方向设计学科探索问题情境.

6.6 学会规范解题方法,形成良好答题习惯

从学生的答卷可以发现,很多学生解题不规范,书写潦草.因此,在复习备考中,要提高学生数学语言的规范性,在数学表述的逻辑性和清晰性.还有的学生习惯省略步骤,不习惯作图,这些对于解答的规范性和完整性都会有影响.这也要求教师在课堂教学中,要以规范的数学书写为学生进行示范,避免误导学生使用简写或者自己创造的符号.