例谈“通性通法”与“特殊技巧”的对立统一*

华南师范大学数学科学学院(510631)曾培林 韩彦昌

1 引言

解题方法按照通用性可以大致划分成“通性通法”和“特殊技巧”,其各自的支持者也形成了两种对立的思想流派.“通派”倾向于解题为知识服务,要求建立扎实的数学知识体系,使学生逐步养成从基本概念、基本原理及其联系性出发思考和解决问题的习惯[1],注重解题方法的推广价值;而“巧派”认为解题应为考试服务,强化学生对数学问题的编码和表征能力,通过引入创造性、高观点、高效率的解题技巧以实现有限时间内得分最大化.

“通派”和“巧派”的理念碰撞引发了长期的学术争鸣[2],近年来通派逐渐占据上风,以文[3]最具代表性,其主要观点为“淡化特殊技巧,重视通性通法”,相反,鲜有学者为“特殊技巧”背书.个中原因,首先在于当今数学教学的主导精神是科学化、体系化,“通解”自然而然被视为解题的首选;其次,“巧派”有不顾学生发展水平,生搬硬套解题技巧的倾向,逐渐背离了创造性的宗旨.“通派”的优势一定程度反映出数学教育者开始对过往唯分数论的功利学风进行反思与批判,是我国数学教育事业在进步的体现;但另一方面,解题教学中,“通性通法”与“特殊技巧”相比是否存在不足之处?二者互为补充是否更有助于学生能力的提升?本文援引一个经典问题对它们进行比较研究.

2 “卡当旋轮问题”的通解与巧解

2.1 问题背景概述

文艺复兴时期的意大利数学家、物理学家及医生卡当(Girolamo Cardano,1501-1576,亦译作卡尔达诺)被誉为“百科全书式学者”.卡当于1545年出版的《大术》(拉丁文Ars Magna,亦译作《伟大的艺术》)是其最主要的数学论著,在数学史上具有重要地位,它开创了代数方程的理论研究,首次系统地给出了三、四次多项式方程的一般解法,并且最早讨论了虚数及其运算[4].

除此之外,卡当曾提出过著名的“卡当旋轮问题”[5].如图1,一个可动的小圆在一个固定的大圆的内沿做无滑动滚动,且大圆的半径为小圆的2 倍,试问当小圆回到最初位置时,小圆自身转过多少圈?

图1

解决该问题的关键在于如何将“无滑动滚动”转化为数学语言.小圆的“无滑动滚动”可以分解成“自转”和“公转”两个过程,运动状态比较复杂.部分人想当然地认为小圆公转一周时,自转圈数就等于大圆和小圆周长的比值,即小圆自转圈数为而事实上,小圆只自转了1 圈.为此本文分别用“通性通法”和“特殊技巧”对“卡当旋轮问题”进行解答,试图比较二者在思路、效率和可推广性上区别.

2.2 “卡当旋轮问题”的通解

“卡当旋轮问题”属于动点轨迹问题,解析几何中的参数方程法是解决这类问题的通用方法,解题思路概括为:问题理解⇒建立坐标系⇒选取参数⇒解决问题.

王俊超在文[6]中使用参数方程的方法将“卡当旋轮问题”一般化,对大圆与小圆半径之比为的情况进行研究,证明了3 个结论,本文对其解法进行简要介绍.

如图2,设⊙O1和⊙O2半径分别为R和r(R >r),以⊙O1的圆心点O1为原点建立平面直角坐标系,设O2的初始位置在x轴正半轴上,标定O2最右端的点为研究对象,记作点P.

图2

当⊙O2滚动到位置,点P运动到P′处,记令P′相对所在直线转过的角度为η,则令P′相对水平方向(x轴)转过的角度为µ,由图2 易知µ+θ=η.

其中“内摆线”是指本问题中,点P的轨迹,此处仅给出内摆线闭合性的条件,详情请参见[6].

评述从参数方程的视角出发研究圆的滚动问题,不仅能求出点P的轨迹方程和小圆自转圈数,而且给出了内摆线闭合的充要条件,将原本“卡当旋轮问题”的研究范围拓宽到新的领域.由此可见,“通性通法”解题,除了解决问题本身之外,还有助于知识迁移,拔高了问题本身的价值,使其中涉及到的数学思想方法具有可推广性.但另一方面,该方法变量繁多,对学生的计算能力的要求较高.在笔者向学生讲解的过程中发现,他们容易受困于对问题直观想象能力的不足,无法理解结论2——“为什么小圆自转了圈,而不是圈?”.参数方程方法虽然可以证明结论2,但缺少对小圆滚动过程的直观解释,导致学生只知其然而不知其所以然.

2.3 “卡当旋轮问题”的巧解

在“卡当旋轮问题”中,小圆“公转”以大圆圆心O1为参考系,而其“自转”则以O1和O2所在的整个平面为参考系,恰是因为两种转动的参考系不一样,使未能认清这一点的学生得出“大圆和小圆周长之比就是小圆自转圈数”的错误结论.

小圆的滚动同时包含了“自转”与“公转”两种运动,容易联想到地球和太阳之间也存在类似的关系.笔者发现,将“卡当旋轮问题”类比成地日关系,恰好可以解释小圆自转圈数为什么是圈.

如图3,简化模型,将大圆圆心O1视作太阳,将小圆视作地球,小圆圆心O2为地球球心,地球绕太阳公转的轨道视作一个圆周.

图3

地球上除了南北两极之外的地区都存在昼夜交替的现象,这是地球自转的结果.如图4,在地球上任取一地点Q,一天有24 小时,令其处于当地时间正午12 点时,则此时Q恰好距离太阳最近,即地球上的“近日点”;与此相对的,Q关于O2的对称点P恰好在当地时间午夜0 点,即“远日点”.24 小时后,地球球心从O2运动到处,Q运动到Q′处,Q(Q′)再次成为“近日点”.

图4

评述此处的特殊技巧可以描述成:问题理解⇒联想天体之间的关系⇒类比推理⇒解释结论.和“通性通法”相比,计算难度更低,直观性更强,易于被学生接受.但另一方面,“巧解”并不能如“通解”那般得出结论1 和结论3,即对问题的推广性上不如通解,这也是巧解的局限性之所在.

3 “通性通法”与“特殊技巧”的哲学关系

数学解题中的“通性通法”与“特殊技巧”构成一对矛盾体,矛盾双方具有对立性与同一性.

“通解”和“巧解”的对立性始于对“解题究竟应该为什么服务?”的大讨论,从解题思路上看,通解偏向知识的体系性,巧解偏向解题的创造性;从解题效率上看,巧解有时候比通解更加迅捷;从可推广性上看,通解对问题具有更广阔的拓展空间.

“通解”和“巧解”的同一性则在于,二者能联袂产生“1+1>2”的效果.当今数学教学的主导精神是科学化、体系化,通解自然被视为解题的首选,但要求学生只学习通性通法,一定程度限制了他们的创造力和个人表达的空间;而寄希望于向学生灌输解题技巧,铤而走险追求需要苛刻的天资才能支撑起来的创造性思维,则有悖可靠性的原则.兼顾通解和巧解,学生的数学素养得以更好地发展.它们就像雕刻家的手中的两中种工具,通解如同凿子,用于揭示问题的大致轮廓,巧解如同刻刀,在细节的刻画上更加精确,缺少凿子和刻刀中任何一个,雕像终究是有缺憾的.总而言之,通解与特解虽然对立,但二者统一于数学的大体系中.