基于“分数除法”算理理解水平的教材比较研究

葛敏辉

[摘 要]学习分数除法的关键在于理解运算算理，即为什么可以通过颠倒相乘来实现除法向乘法转化。以巩子坤教授提出的4种有理数运算理解为理论依据，深入分析A、B、C三个版本教材在“分数除法”中的算理理解编排部分，意图借助同一把理论的标尺进行分析，更好地把握教材的编排逻辑，使教学更有效。

[关键词]教材;分数除法;算理;理解水平;编排逻辑

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）20-0015-04

各个版本教材对分数除法的算理理解达到了怎样的水平？学生对分数除法算理理解的局限性是否与教材编排有关？教材是如何对分数除法运算进行说理的？本文以巩子坤教授提出的4种有理数算理理解为标尺，对三个不同版本教材进行分析。

一、什么是算理理解水平

巩子坤教授在《程序性知识教与学研究》中提出有理数运算理解的4种类型：

程序理解，是按照计算法则得出正确的计算结果。如：20×0.1= 2.0。

直观理解，是用画图等直观方式说明运算结果的合理性。如：20×0.1=2。

抽象理解，是提取认知结构中的已有知识，用语言、算式等说明运算结果的合理性。如：求20×0.1 就是把20平均分成10份，取其中的1份，结果是2。又如：20×0.1=20÷10=2。

形式理解，是用已知规则、规律证实运算结果的合理性。如：20×0.1=（20÷10）×（0.1×10）=2，利用的是商不变的规律。

巩教授通过实验研究发现，学生对分数除法运算的理解水平层次由低到高依次为程序理解、直观理解、抽象理解、形式理解。

二、不同版本教材的分数除法算理理解水平如何

A、B、C三个版本教材的编排都分为两个层次：第一个层次是分数除以整数，第二个层次是一个数除以分数。在具体编排中细化为分数除以整数、整数除以分数、分数除以分数三部分。

1.分数除以整数的算理理解编排

遵循从特殊到一般的原则，A、B两个版本教材在分数除以整数部分都安排了两道例题，分别是分子能被整数整除和不能被整除两种情况。

A版本教材（如图1）对4/7 ÷2的算理理解为第二水平直观理解：借助直观图，利用整数除法到分数除法的迁移来帮助学生理解算理。在算理一般化的部分，即4/7 ÷3，教材直接舍弃了第二水平直观理解，递进为第三水平抽象理解。在此学生需要从已有认知中调取三种知识来帮助理解，分别是除法的意义（平均分）、分数的意义以及分数乘法的意义，此处直观图的作用在于唤醒学生对分数乘法的已有认知。

B版本教材（如图2）为了在两道例题之间进行逻辑衔接，对特殊数据4/5 ÷2的算理理解同时呈现了第二水平直观理解和第三水平抽象理解，目的是体现从直观理解到抽象理解的优化过程，进而一般化。

可以发现，两个版本教材在分数除以整数的算理理解编排中都有这样一种假设：抽象理解比直观理解更容易，因为抽象的意义解释具有一般性，可以把对b/a ÷2等于b/a×1/2的解释应用到分数除以整数的一般情形，而直观理解的方法是有条件限制的，即分子必须能够被整数整除。

教材编排中有这样的两点需要引起关注：

第一，出场即“消亡”的直观理解是不是真的不具有一般性？直观理解在A版本教材中毫无衔接地递进到抽象理解，出场后就无声无息地消失了;在B版本教材中存在的价值也仅仅是为了凸显抽象理解的普适性。

第二，学生真的是这样思考的吗？根据《直观表征与形式表征，孰难孰易——师生选择的分数除法算理表征方式比较研究》一文，巩子坤教授等人通过问卷调查法和访谈法，对学生理解分数除法算理进行研究，结果发现，学生对算理的理解有三个水平，其中直观表征最容易，其次是抽象表征，最难的是形式表征。显然教材的假设与学生的实际理解情况不相符，教材回避了直观表征，这不太符合学生的认知习惯。

2.整数除以分数的算理理解编排

A、B两个版本教材的算理理解都是第二水平直观理解。所不同的是，如图3所示，A版本教材借助两种面积模型帮助学生逐步深化算理理解，但是在说理的过程中选用的数据都是单位分数;如图5所示，B版本教材遵循从特殊到一般的原则，在数据上有了一般化的处理，除数包含单位分數（如1/2、1/3、1/4）和一般分数（如2/3）;如图4所示，C版本教材直接出示一般分数，理解水平包含抽象理解和形式理解。其中抽象理解包含两种，一是把分数转化为小数进行计算，二是根据题目中的数量关系进行抽象的意义解释：3/4分行的路程为900米，900÷3等于900×1/3，也就是1/4分行的路程，1分钟包含4个1/4分，所以1分钟行的路程为900×1/3×4。此处直观图的作用是提供解决问题的思路。形式理解则表现为借助商不变规律解决问题，但与为什么颠倒相乘的算理理解无关。

通过分析笔者得出以下两点思考：

第一，直观理解的结论具不具备一般性？A版本教材采用特殊的单位分数，获得的结论并不能走向一般化;B版本教材在编排整数除以几分之一时借助直观理解提出颠倒相乘的猜想，但是在一般化（整数除以一般分数）时的直观图并不直接指向为什么可以颠倒相乘，它的作用在于展示直观图显示的计算结果与颠倒相乘的结果与是相同的，从而利用等量公理间接证明颠倒相乘这一算理。因此A、B两个版本教材在直观理解颠倒相乘的算理过程中都出现了局限性。

第二，教材中的算理理解水平有递进吗？C版本教材看起来理解水平更高，但实际上这里的形式理解（商不变规律）以及抽象理解（将分数转化为小数进行计算）均不指向颠倒相乘的算理理解，而是作为一种解决问题的方法呈现。

3.分数除以分数的算理理解编排

如图6、图7所示，A版本和C版本教材都是第一水平程序理解，即直接用规则解决问题;而B版本教材，如图8所示，则是第二水平直观理解，教材选取了同分母分数除法的特殊数据，借助直观图，说明直观图显示的计算结果与颠倒相乘的结果是相同的，这与该版本在整数除以分数中的编排思路一致。

还一个很重要的问题值得思考：为什么三个版本教材在分数除以分数这里都直接跳过了说理、证明的过程？虽然B版本教材在分数除以分数的算理理解上试图借助图像来解释说理，但也不难发现，这里用的都是特殊数据，即同分母分数相除，那么这样理解和得到的结论并不具有一般性。其他版本的教材更是完全省略，只是在练习中让学生直接用法则计算。

通过对分数除法的三个学习任务（分数除以整数、整数除以分数、分数除以分数）的算理理解编排进行分析，研究教材的算理理解水平，在思考中深入把握教材的编排逻辑。

三、教材的算理理解中要处理好哪几个关系？

用同一把理论的标尺分析研究教材，在理性的把握中，笔者把目光聚焦在如何处理好以下几个关系上：

1.如何处理好从特殊到一般的关系

教材编排一般都是先从特殊数据出发，再走向一般化。在这个过程中，只是通过一个例子就得到一个法则是可怕的，用一个特殊的例子得到了结论就更可怕了，都不利于学生对于算理的理解，也不利于学生数学推理能力和数学思维习惯的培养。因此，处理好从特殊到一般的关系是教材编排要重视的问题。

2.如何处理好教材假设与学生认知之间的关系

教材对于算理理解更关注的是抽象理解，而学生更容易接受直观理解。巩子坤教授通过研究发现，多数学生对分数除法的算理理解是以程序理解为主，直观理解和抽象理解都比较少。可见，单纯的抽象说明对學生来说有一定的难度，而教材、教师对于以直观的方式理解算理不够重视，造成直观理解不能成为学生的有效学习路径。笔者认为，学生的思维水平有差异，因此教材编排在遵循学生认知的基础上可以有多路径的设计，尽可能让学生在直观理解的基础上发展更高的理解水平。

3.如何处理好直观理解和其他理解水平间的转化与递进

直观理解真的不具有一般性吗？答案是否定的。然而不同教材在“分数除以整数”一般化的过程中，都回避了直观理解，这与学生是以直观理解为主的特点是相违背的。

对于算理理解来说，我们还是希望学生能够往更高水平去发展。直观理解真的不能走向更高水平的理解吗？如何才能实现算理理解水平的递进？我认为，在算理一般化的过程中，理解水平的递进需要学生充分经历对已有知识的改造和对思考过程的优化，这样，学生就可以从直观理解走向更高水平的理解。

以上分析说明，教材的编排本身是一种学习路径，不一定适用于所有学生。在教学实践中，教师要加强对教材的分析研究，更要基于学生的认知基础优化学习路径，尽可能让不同层次的学生都能选择合适的方式去理解算理，让学生在原有的理解水平上发展更高的理解水平。

（责编 吴美玲）