基于相平面法的一类瑞利方程的研究

周小燕,杨 惠，赵春艳，梁青青

(兰州文理学院 传媒工程学院， 甘肃 兰州 730000)

自然界中很多现象都可以利用非线性振动方程来描述,因此,求解非线性振动方程就有非常重要的意义.目前已有多种求解非线性振动方程的方法：如PL摄动法[1-2]，平均法和渐进法[3]，多尺度法[4]等,但这些方法都是对非线性振动方程进行定量研究.如果系统中有强非线性，则这些方法就不适用了，但可用相平面法来对该系统进行研究.相平面法是研究非线性振动的有效方法之一，它是一种几何方法，也称定性方法.它可将振动系统的运动都表示在相平面上，可一目了然地了解运动情况.2000年，Wang和Yan[5-6]利用巧合程度理论从理论角度给出了含延时的非自治瑞利方程周期解的存在条件.2012年，吕堂红[7]利用相平面法及其分支理论研究了具时滞物价瑞利方程的动力学性质，文章中就系统平衡点附近的稳定性、局部Hopf分支的存在性发生条件等方面进行了研究.基于文献[8-10]，本文应用相平面法研究了一类瑞利振子的平衡点和极限环，并且研究了不同ε情况下系统的振动情况.

1 瑞利方程

英国数学物理学家Lord Rayleigh为了模拟芦笛、簧片等单簧管的振动提出了一个含非线性阻尼的振子方程，即瑞利方程：

(1)

当f(t)=0时，方程变为一Lienard型方程，即：

(2)

在(1)(2)式中，A、B都为非线性系，考虑当k=ω02,A=-ε,B=ε时方程(2)则变为：

(3)

在(3)式中，其中ε是系统中的非线性相互作用系数，ω0表示系统的频率.

2 系统的平衡点及其相迹

非线性方程解的形式或性质与其定态解的稳定性密切相关，所以研究其定态解的稳定性是非常必要的，而描述系统运动方程的解是否稳定，主要取决于系统在扰动下偏离此解所表征的状态能否回到此状态.为此，李雅普诺夫提出判断动力系统的两种方法，即李雅普诺夫直接法和李雅普诺夫间接法，本文将依照后者对系统的平衡点进行分析.

2.1 系统的平衡点

(4)

显然，(4)仅有一个平衡位置(u*,v*)=(0,0).根据李雅普诺夫间接法(即线性稳定性分析法)可知，非线性方程(4)的雅可比矩阵为:

(5)

因而系数矩阵(5)的行列式必须满足条件：

(6)

方程(6)所对应的特征方程为：

λ2-λε+ω02=0.

(7)

由方程(7)得到对应的特征根为：

(8)

下面根据特征根的各种不同情况，讨论系统在平衡点附近相迹的分布规律，并决定奇点的各种类型.为方便讨论，令q=ω02,p=-ε.

(1)当p2-4q≥0时，此时系统存在两个相异的实根λ1,λ2.

如果λ1,λ2为同号时，此时奇点为结点.当特征根全为负时,(即p<0，q<0)结点是稳定的.当特征根全为正时，(即p<0，q>0)结点是不稳定的.

当两个根λ1,λ2是符号相异的实根时，(即p<0,q<0)这种情况下,奇点称为鞍点，平衡位置是不稳定的.因为在本文中始终有q=ω02>0,所以平衡位置是结点且不稳定.

(2)当q=ω02>0,p2-4q≤0时，此时两个根λ1,λ2为复数，此时平衡点为为焦点或螺旋点.当p<0时，奇点为稳定焦点.当p>0时，为不稳定焦点.

2.2 振动系统的相迹

为了研究系统相迹，由方程(4)中两式相除即可得到系统相迹的微分方程：

(9)

为了得出瑞利系统(9)的相迹图形，利用Mathematica软件对方程(9)编程，进而得出图1.

图1 不同ε值时系统的相迹

由图1可知，系统存在一个极限环，其形状不仅和系统的非线性特征有关，而且还和数值ε的大小有关.可以从图1中看到不同ε时极限环的形状变化.同时不同ε值时都得到一个孤立的封闭相迹(即极限环),无论起始条件在何处，经过一段时间后运动都向极限环趋近.极限环的形状取决于参数ε的大小,当ε→0时，极限环趋近于一个圆，这与线性保守系统的封闭相迹相对应.随着ε的增大，极限环的形状和圆的差别就越来越大.当ε>0，所有相迹不论从环外还是环内都趋近于极限环,因此ε>0时极限环是稳定的.

当ε<0时的情况如图2所示，发现随着ε参数的变化，所有的相迹都将从环外或环里离开极限环，此时极限环是不稳定的.

图2 当ε<0系统的相迹

2.3 系统的振动情况

为了研究系统振动情况的变化，利用Mathematica软件对方程(3)编程,做出了不同ε情况下，u随时间t振动的图形，如图3所示.从图3中发现随着ε增大，振动波形较简谐波的失真也越大，振动规律与正弦型运动的偏离也愈大，当ε=10时，此时对应的运动其快慢是极端不均匀的.

3 结束语

本文应用李雅普诺夫间接法验证了瑞利方程的平衡点及其相迹所满足的方程.利用Mathematica软件实现了当ε>0 和ε<0 时瑞利方程的极限环，并得出当ε>0 时系统趋于稳定，当ε<0 时系统趋于不稳定.最后利用Mathematica软件绘制了不同ε值时的系统振动方程，结果显示ε值越大系统的振动波形较简谐波失真越大.本文中存在的不足之处是：把频率对系统的影响考虑较少，在以后的研究中，要结合频率综合考虑整个振动系统的稳定性.

图3 不同ε时系统的振动波形