分析认知冲突构建解题情境

2021-08-05 06:20曹传兴
小学教学研究·教研版 2021年5期
关键词:小丽周长线段

曹传兴

【摘 要】认知冲突常常存在于以学习者为中心的学习场境之中,在解题过程中发现并解决认 知冲突,建立同化与顺应的平衡,是学生在学习过程中必须要经历的过程,也是学生学会学习, 掌握所学知识的必然阶段。解题过程中常常有以下认知冲突存在:简便与烦琐、理解与水平、 已有观念与新知。逐渐形成的自主意识,将有助于培养学生的数学思维,激发他们解决数学问 题的兴趣。

【关鍵词】认知冲突解题情境数学思维

认知冲突常常存在于以学习者为中心的学习情境之 中。以学习者为中心的学习情境指的是构建一种学习情 境,让学习者将他们的知识、技能、态度、信仰带到其中, 学习者带来的东西在这里都必须得到足够的重视。它与 “诊断性教学”概念相吻合,试图发现学生对所面临问题 的看法、错误概念,给他们创设一种情境,使他们能够继 续思考,重新调整自己的看法。

建构主义认为:个体在遇到新刺激时,先尝试用自 己原有的认知结构去同化它,以求达到暂时的平衡;同 化不成功时,个体则采取顺应的方法,即通过调节原有认 知结构或新建认知结构,来得到新的平衡。在解题过程 中发现并解决认知冲突,建立同化与顺应的平衡,是学生 在学习过程中必须要经历的过程,也是学生学会学习、掌 握所学知识的必然阶段。

一、简便与烦琐的认知冲突

学生在做题时,有些题目往往会一再出现问题,在此 情形之下,学生对于数学方法的需求就更为迫切。有些 解题方法是需要在不断的练习中加以巩固的;有些解题 方法是需要在不断的实践中进行选择的;有些解题方法 是需要在不断的反思中灵活运用的。有些题目看起来并 不难,但学生一再出现问题,这往往就是因为常见且固化 了的方法不易掌握。

下面以一道练习题为例:

习题1 :小丽比小明高2cm,小丽比小刚高1cm,最 高的是( ),最矮的是( )。

常规做题方法是画线段图表示小丽、小明、小刚的身 高(见图1),正如书中的例题也是如此解题的。学生是 不会画图吗?答案是否定的。做不对的原因在于他们宁愿冒着做不对的风险,也不愿意大费周章地画图。因此,教师除了强迫他们用画图的方法以外,还应该开发或教学一些其他的便于学生 使用的方法。

例如,本题可以使用的举例法,发现在两个条件中都 有小丽,可以假设小丽的身高是100cm,这样小明身高是 98cm,小刚身高是99cm,从而完成填空。经过假设的教学 和训练,学生很快发现假设小明的身高或小刚的身高都可 以很快求解,三者的解题过程均優于画线段图。

举例的方法用途很广泛,无论是简单或复杂的,无论 是代数领域(习题2)还是几何领域(习题3 )都有广泛的 应用。

习题2 :小明去外婆家,去时每分钟走60m,回来时 每分钟走40米,求往返的平均速度。

平均速度需要用总路程除以总时间,在小明往返的 过程中,没有总路程的数据。要解决这个问题,可以假 设路程为360m (60和 40 的倍数),360 + 60=6 分钟,360^-40=9分钟, 360 x 2 ^-( 6+9 )=48m/ min,即平均速度。

习题3 :大长方形 中有一个正方形,求长 方形的周长。(见图2)

举例的方法在做题中有广泛应用,数值也可以取极 端数据来使计算更为简便,这其中便蕴含着极限的数学 思想。

《数学教育心理学》中关于极限的描述是这样的:用 以描述变量在一定的变化过程中的终极状态的概念。不 过,考虑极限数据并不等于极限的数学思想。

王永春老师在他的《小学数学思想方法解读及教学 案例》一书中谈到关于极限思想的两个关键语句:一个 是变化的量是无穷多个;另一个是无限变化的量趋向于 一个常数。本文中提到的极限思想无疑是属于后者,一 个变量与另一个已知量的无限逼近,以至于可以使用这 个已知量来反映这个变量的极限值。这往往又需要数感 作为基础,此类方法应用得较好的学生,通常表现为有较 优的数感。

仍旧以上述三道习题为例:

习题1 :如果假设小丽的身高为2,小刚的身高是1, 小明的身高是0。

习题2 :如果假设全程是1,那么去时时间是 寿,返回时时间是击,平均速度就可以用1x2 + (唸+击),同样可得到平均速度。

习题3可以看得更明显:

两种极值分别是0和32。

如果假设正方形的边长 等于长方形的宽等于32cm, 那么左边的小长方形就不存 在了(见图3),进而发现原题简化成了长方形中的最大正方形问题,将大长方形分割为一个正方形和一个小长方形, 从而赋予了 35与32的差一定的意义——小长方形的宽。 大长方形的周长就是(35+32) x 2。

如果举正方形的边长是0,35这条边可以向右延伸 到右端点,下面这条边也会向左延伸至左端点,同时长方 形的宽就没有了。这样长方形周长就只剩下了 35+32的 两条线段(见图4),周长等于(35+32) x 2。

从习题3的极限数据来看,举极端数据对学生的要 求很高。没有好的数感,学生完全找不到应用极端数据 使计算简便的方法。使用极端数据,往往会让题目完全 脱离情境。例如,长方形的宽为0、全程仅为Im、小丽的 身高仅为2cm等匪夷所思的数据,需要学生用抽象的眼 光来学习数学。

由此可见,该题型的熟练掌握对学生的数感培养、数 学思想的建立和运用、解题方法的熟练运用都有很大的 帮助,当数学知识体系进行不断扩充之后,这一点会不断 得到证明。

三、已有观念与新知的认知冲突

学生在接受一个新的概念之前,常常需要对原有概 念的传统认知进行重组,因为这些错误概念会严重干扰 学习。例如,学生对“长方形与正方形周长”一课中一道 习题的研究如下:

题目:从一个长18cm、宽12cm的长方形纸上剪去 一个最大的正方形,剩余部分的周长是多少?

生1信心满满地回答:我们知道这个最大的正方形 的边长是12cm,那么剩余部分的宽就是18-12=6cm,我 们可以用(18+12) x 2=60cm,先求出原来长方形的周长, 再求正方形的周长12 x 4=48cm,剩余部分的周长就是 60-48=12cmo

话音刚落,质疑便来了。

生2 :剩余部分是一个长方形,周长应该是(12+6) x 2=3 6cm,比 12cm 长多了。

剩余的等于原来的减去剪去的,这是学生从接触数 量关系以来就一直建立的一种概念,但在教学周长的概 念时,常常会产生已有认知与新的概念之间的认知冲突。 因此,教师需要创造新的情境来帮助他们继续思考。

可以分为以下几步:

第一步:长方形的周长、正方形的周长以及剩余部 分的周长是这样的(见图5)。

第二步:分析错因,讨论“长方形的周长能否减去正 方形的周长”。

将重叠的部分擦掉,可以帮助学生发现长方形的周 长剩余三条线段(6cm+12cm+6cm),正方形的周长剩余 一条线段(12cm),因此可以发现正方形的周长并不完 全包围于长方形的周长(见图6),因此不能相减,由此解惑。

第三步:讨论如何改正。

如果再做一步转化,长方形周长剩余的线段与正方 形周长剩余的线段中都包括12cm长的线段,相抵消后 可以理解为用长方形的周长减去正方形的周长剩余两条 6cm长的线段之和,只算了剩余部分的两条宽,因此如果 想用長方形的周长减去正方形的周长,算得结果12cm 后还得加上12 x 2,结果也就是36cm (见图7 )。

第四步:讨论算法优化。

在比较后可以发现,在长方形中剪去最大的正方形 剩余部分周长的算法是用大长方形的周长减正方形的周 长后,还需要加上原来长方形的两条宽,相比较而言,直 接求剩余部分长方形的周长简便得多,从而推荐给学生使用。

本题的讲解因为生1的错误示范多耗费了一些时 间,但是正是因为这个错误示范让这个认知冲突在课堂 得以呈现,从而帮助更多的学生掌握类似问题的正确做 法,明白其中蕴含的道理。

经过训练,学生会自主地选择合适的解题方法并在 解题的过程中推断问题的实际意义,这种自主意识,将有 助于培养学生的数学思维,激发他们解决数学问题的兴 趣。“错误从学生中来,疑惑自学生中起,讨论自学生中 生,结论自学生中定”,构建学习者中心的环境,需要关注 每一个学生知道些什么、关心些什么、能做些什么、想要 做什么,发现和解决认知冲突的过程,正是帮助学生建立 新的认知的必经之路。

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