例谈高考函数与导数类压轴题巧妙解法

侯思路

(江苏省运河中学 221300)

函数与导数是高中数学的重点内容，在高考试卷中分值约占22～27分，函数与导数知识在高考试卷中多以压轴题的形式出现，它也是高中数学中的难点内容，能否突破函数与导数题是高考得高分的关键.下面结合高中数学教学实践，例谈破解高考函数与导数压轴题的小妙招.

一、利用导数研究函数的单调性、极值与最值

利用导数研究函数的性质是高考命题的常见形式，每年高考命题中都会有所涉及.常见的命题形式包括：

1.判断函数f(x)的单调性或单调区间；

2.求函数f(x)的最值；

3.已知函数的单调区间、最值求参数的值.

典型例题已经函数f(x)=ax,g(x)=lnx.

(1)若函数F(x)=f(x)-g(x)有极值-1，求实数a的值；

(2)若函数G(x)=f[sin(1-x)+g(x)]在区间(0，1)上为增函数，求实数a的取值范围.

思路分析(1)求函数F(x)的解析式，并求导，对实数a进行分类讨论，判断F′(x)的符号，利用函数F(x)有极植-1，求出关于参数a的方程，解方程，求出实数a的值；

(2)求函数G(x)的解析式，并求导，由函数G(x)在区间(0,1)上为增函数转化为G’(x)≥0对x∈(0,1)恒成立，再将恒成立问题转化为求参数的取值范围问题，从而求出实数a的取值范围.

解析(1)因为f(x)=ax,g(x)=lnx且F(x)=f(x)-g(x),所以F(x)=ax-lnx(x>0)，

(2)因为f(x)=ax，g(x)=lnx，且G(x)=f[sin(1-x)]+g(x),

所以G(x)=asin(1-x)+lnx，

所以h(x)在(0，1)上单调递减，所以h(x)>h(1)=1，所以a≤1，所以实数a的取值范围是(-∞，1].

破题策略本题设计意在考查分类讨论和方程思想，检验学生的化归与转化能力和运算求解能力.破题关键：(1)方程思想，即对于含有参数的可导函数有极值的关键是对参数进行分类讨论，并寻找其导数为零的根，以及在根的左、右两侧导数的符号；(2)转化思想，即可导函数f(x)在某个区间D内单调递增(或递减)，则有f′(x)≥0或f′(x)≤0在区间D内恒成立，由此，将求函数的单调性转化为恒成立问题.

二、函数、导数与零点相交汇

函数、导数与函数的零点(方程的根)相交汇的考题在近年的高考中经常出现，命题考查形式：

1.判断函数的零点的个数问题；

2.已知函数在给定区间的零点(方程在给定区间的解)的情况，求参数的取值范围或证明不等式成立.

典型例题已知函数f(x)=ex-x-m(m∈R).

(1)判断函数f(x)的零点个数，并说明理由；

(2)若函数f(x)有两个零点x1，x2，证明：x1+x2<0.

思路分析(1)求f′(x)，判断函数f(x)的单调性，得最小值，并对函数f(x)的最小值进行分类讨论，即可判断函数f(x)的零点个数；

(2)不妨设x1

解析(1)f′(x)=ex-1，令f′(x)<0，得x<0；

令f′(x)>0，得x>0，所以，函数f(x)的单调递减区间为(-∞，0)，单调递增区间为(0，+∞)，故当x=0时，函数f(x)取得最小值f(0)=1-m.

当1-m>0，即m<1时，函数f(x)没有零点.当1-m=0时，即m=1时，函数f(x)有一个零点.

当1-m<0时，即m>1时，构造函数g(x)=ex-2x(x≥1),则g′(x)=ex-2，

当x∈[1，+∞)时，g′(x)>0，所以，函数g(x)在[1，+∞)上单调递增，所以g(x)≥g(1)=e-2>0，因为m>1，所以g(m)=em-2m>0,又f(m)=em-2m(m>1),故f(m)>0.

又f(-m)=e-m>0，所以必存在唯一的x1∈(-m，0)，唯一的x2∈(0，m),

使得x1，x2为函数f(x)的两个零点.故当m>1时，f(x)有两个零点.

(2)若x1，x2为f(x)的两个零点，设x10.

因为f(x1)-f(-x2)=f(x2)-f(-x2)=(ex2-x2-m)-(e-x2+x2-m)=ex2-e-x2-2x2.

又x1<00，即ex2-e-x2-2x2>0，故f(x1)>f(-x2)，又x1<0，-x2<0，且由(1)知f(x)在(-∞，0)上单调递减，所以x1<-x2，所以x1+x2<0.

破题策略本题重在检验考生的推理能力、运算能力和创新思维.破解此类题型的关键是：

(1)牢固掌握函数、函数与导数相关知识，熟练运用导数法求函数单调性、最值.

(2)转化思想是解决函数类题目的重要途径，将判断函数零点个数问题转化为求函数求最值问题.

(3)通过构造函数，将比较大小问题转化为函数的单调性问题.

总之，关于导数与函数的压轴题类型很多，而且每年的命题角度都会有所不同，对学生的逻辑思维能力有较高的要求.但是，只要我们掌握了基本的数学解题思想，注重积累和反思，对“函数与导数类”压轴题常见类型心中有数，把握其实质，掌握其规律，规范其步骤，做到“胸中有法”，那么不论高考“函数与导数类”压轴题的构思多么新颖，我们都能做到以不变应万变，此类压轴题就能迎刃而解.