“铅垂高”的最值在二次函数中的应用

万旭光

《中小学数学》多期刊文对“铅垂高”的定义、应用进行了探讨，本文沿用他们的定义，将夹在抛物线和直线之间与x轴垂直的线段称为“铅垂高”，并就其存在最大值或最小值的性质及其应用作一个粗浅的探究.

一、“铅垂高”的最大值、最小值的探究

例1：如图1，已知二次函数y=-x2+2x+3与y=-x+3直线交于B、C两点，P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，垂线PH交抛物线于点D，求PD的最大值。

解：设P（x，y），其中0

∴x=时，PD的最大值为

例2：如图2，已知二次函数y=-x2+2x+3图象与直线y=x+4无交点，P为抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，垂线PH交直线y=x+4于点D，求PD的最小值。

解：设P（x，y）

∴x=时，PD的最小值为

小结：从以上两个例子可以发现，线段PD夹在抛物线与直线之间，当P点在抛物线上运动时，PD的长度是以P点横坐标x为自变量的二次函数，这样PD长度的最值问题就转化成了二次函数的最值问题，进一步研究发现无论抛物线开口方向如何，当直线与抛物线无交点时，夹在直线与抛物线之间的“铅垂高”，存在最小值;当直线与抛物线有交点时，夹在直线与抛物线之间的“铅垂高”，在两交点横坐标之间的区间上存在最大值.

二、“铅垂高”最值的应用

1.利用“铅垂高”最大值，求三角形面积的最大值

例3：（2008·深圳） 如图3，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a>0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB=OC ，tan∠ACO=.

（1）求二次函数的表达式;

（2）若点D（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AD下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APD的面积最大？求出此时P点的坐标和△APD的最大面积.

分析：（1）先求A、B、C三点坐标，代入即可求得二次函数表达式;（2）如图4，作PH⊥轴，垂足为H，交AD于点E，作DG⊥PE，垂足为G，因为S△APD=S△APE+

S△DPE=PE×（AH+GD）=PE×

=PE×3=PE，而“铅垂高”PE有最大值，所以S△APD有最大值。

解：（1）y=x2-2x-3（过程略）

（2）设P点横坐标为x，如图4，作PH⊥x轴，垂足为H，交AD于点E，作DG⊥PE，垂足为G，

∵xD=2，∴yD=-3

∴  D（2，-3），而A（-1，0）

∴直线AD为：y=-x-1

∴x=时，PE的最大值为 ，此时，P（，）

∵S△APD=S△APE+S△DPE=PE×（AH+

GD）=PE×=PE×3=PE

而PE最大值为，∴S△APD的最大值为.

变式：（2016·淮安）如图5，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（﹣4，0）.

（1）求该二次函数的表达式;

（2）点D的坐标为（0，4），点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S，求S的最大值.

分析：（1）略;（2）如图6连接DF ，因为平行四边形CDEF的面积S等于△FDC面积的2倍，所以求S最大值就转化为求△FDC面积的最大值，而△FDC面积可以用“铅垂高”法来求.答案请读者自行完成。

2.利用“铅垂高”，求点到直线距离的最大值

例4：如图7，平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=-x2+bx+c交于A，B两点，点A在y轴上，点B的横坐标为，点P是直线AB上方的抛物线上的一动点（不与点A，B重合），作PC⊥AB于点C.

（1）求抛物线的解析式;

（2）求PC长的最大值;

分析：（1）略;（2）如图8作PH⊥x轴，垂足为H，交AB于点D，因为PC=PDcos∠DPC，而∠DPC=∠AEO，cos∠AEO是定值，所以只要求出“铅垂高”PD的最大值，就可以得到距离PC的最大值。

解：（1）y=-x2+4x+1（过程略）

（2）如图作PH⊥x轴，垂足为H，交AB于点D，

设P点横坐标为x，则PD=（-x2+4x+1）-

（x+1）=-（x-）2+.

∴x=時，PD的最大值为，

在Rt△AEO中，cos∠AEO=，而∠DPC=∠AEO，∴cos∠DPC=.

在Rt△PCD中，PC=PDcos∠DPC=

PD.

∴当PD取最大值时，PC的最大值为.

变式：如图9，y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=3OA，点P是抛物线上的一个动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点D.

（1）求抛物线的解析式;

（2）当动点P只在第一象限的抛物线上运动时，过点P作PF⊥BC于点F，求△PFD周长的最大值.

分析：（1）略;（2）如图9由PH⊥x轴，PF⊥BC，可证△PDF∽△BCO，由△BCO三边之比，可得△PDF三边之比，所以只要求出“铅垂高”PD的最大值，就可以得△PFD周长的最大值.答案请读者自行完成。

3.利用“铅垂高”，求点到直线距离的最小值